书名：矩阵论札记
定价：98.0
ISBN：9787030416315
作者：梁昌洪 著
版次：1
出版时间：2014-08

内容提要：
本书的核心主题是矩阵？矩阵理论又是代数和几何的完美结合？本书 在侧重矩阵代数的同时,强调了矩阵几何的应用,由此引出了矩阵空间？矩 阵变换等？书中附录也可以给广大工程技术人员在工作中带来很大的 方便？

作者简介：


目录：
前言 **部分 线性基础 第1章 线性思想…………………………………………………………3 1.1 引子…………………………………………………………3 1.2 线性代数实例…………………………………………………………6 第2章 行列式…………………………………………………………16 2.1 二元线性方程组…………………………………………………………16 2.2 三元线性方程组…………………………………………………………17 2.3 行列式对角线法的局限…………………………………………………………19 第3章 行列式性质…………………………………………………………22 3.1 全排列与逆序数…………………………………………………………22 3.2 n阶行列式定义…………………………………………………………23 3.3 元素对换…………………………………………………………25 3.4 行列式的性质…………………………………………………………27 3.5 Laplace定理…………………………………………………………31 第4章 Gramer法则…………………………………………………………32 4.1 行列式按行(或列)递推展开…………………………………………………………32 4.2 Gramer法则及定理…………………………………………………………36 4.3 齐次线性方程组的解…………………………………………………………38 4.4 解的几何意义…………………………………………………………40 第二部分 矩阵代数 第5章 矩阵概念…………………………………………………………45 5.1 引子…………………………………………………………45 5.2 矩阵是一个变换…………………………………………………………47 5.3 矩阵运算…………………………………………………………49 5.4 矩阵的意义…………………………………………………………54 第6章 逆矩阵和分块矩阵…………………………………………………………57 6.1 逆矩阵…………………………………………………………59 6.2 分块矩阵…………………………………………………………63 第7章 矩阵的秩…………………………………………………………67 7.1 概述…………………………………………………………67 7.2 矩阵方程…………………………………………………………69 第8章 n维向量…………………………………………………………75 8.1 从三维向量谈起…………………………………………………………75 8.2 n维向量定义…………………………………………………………76 8.3 向量组的线性相关…………………………………………………………76 第9章 问题…………………………………………………………185 9.1 行列式计算…………………………………………………………85 9.2 矩阵概念…………………………………………………………88 9.3 线性方程组与线性变换…………………………………………………………90 9.4 行列式与矩阵…………………………………………………………91 9.5 行列式的几何意义…………………………………………………………92 第三部分 线性方程组 第10章 矩阵的初等变换…………………………………………………………97 10.1 引子…………………………………………………………97 10.2 Gauss消元法…………………………………………………………98 10.3 矩阵初等变换…………………………………………………………99 10.4 初等矩阵…………………………………………………………102 10.5 初等变换求逆法…………………………………………………………104 第11章 线性方程组解结构…………………………………………………………107 11.1 齐次方程组的基础解系…………………………………………………………107 11.2 非齐次线性方程组解…………………………………………………………113 第12章 矩阵迭代法…………………………………………………………116 12.1 两种迭代方法…………………………………………………………116 12.2 Newton-Larfson迭代…………………………………………………………120 第13章 问题…………………………………………………………2122 13.1 矩阵的初等变换…………………………………………………………122 13.2 矩阵的秩…………………………………………………………125 13.3 线性方程组…………………………………………………………126 13.4 线性方程组解结构…………………………………………………………129 第四部分 矩阵空间 第14章 向量空间…………………………………………………………133 14.1 向量空间定义…………………………………………………………133 14.2 空间维数…………………………………………………………134 14.3 向量组的秩…………………………………………………………136 第15章 线性空间…………………………………………………………140 15.1 线性空间的定义…………………………………………………………140 15.2 线性空间的性质…………………………………………………………144 15.3 维数？基与坐标…………………………………………………………145 15.4 基变换和坐标变换…………………………………………………………146 第16章 线性变换…………………………………………………………149 16.1 线性变换定义…………………………………………………………149 16.2 线性变换性质…………………………………………………………151 16.3 线性变换的矩阵表示…………………………………………………………151 16.4 不同基的变换矩阵…………………………………………………………156 第17章 Euclid空间…………………………………………………………159 17.1 Euclid空间定义…………………………………………………………160 17.2 向量夹角和向量正交…………………………………………………………162 17.3 规范正交基和Schmidt过程…………………………………………………………164 17.4 正交矩阵…………………………………………………………168 第18章 问题…………………………………………………………3170 18.1 矩阵代数和矩阵空间…………………………………………………………170 18.2 向量组的线性表示…………………………………………………………172 18.3 空间…………………………………………………………175 第五部分 本征问题与二次型 第19章 本征问题…………………………………………………………179 19.1 琴弦振动问题…………………………………………………………179 19.2 本征问题矩阵化…………………………………………………………181 19.3 矩阵本征值问题…………………………………………………………185 第20章 本征空间…………………………………………………………189 20.1 概述…………………………………………………………189 20.2 本征问题的应用实例…………………………………………………………193 第21章 相似矩阵…………………………………………………………198 21.1 相似矩阵的概念…………………………………………………………198 21.2 相似矩阵的定义…………………………………………………………199 21.3 对称矩阵的相似矩阵…………………………………………………………201 第22章 二次型…………………………………………………………206 22.1 从椭圆方程谈起…………………………………………………………206 22.2 椭圆的本征量…………………………………………………………208 22.3 二次型对角化…………………………………………………………210 22.4 配方法…………………………………………………………214 22.5 正定二次型…………………………………………………………216 第23章 驻值稳定…………………………………………………………219 23.1 再从内积谈起…………………………………………………………219 23.2 驻值稳定定理…………………………………………………………220 23.3 电磁理论中的本征量…………………………………………………………224 第24章 Rayleigh商式…………………………………………………………232 24.1 Hermite矩阵和Hermite算子…………………………………………………………232 24.2 Rayleigh商式定理…………………………………………………………236 24.3 增益的*优化原理…………………………………………………………238 第六部分 矩阵变换 第25章 矩阵基本变换…………………………………………………………247 25.1 列矩阵基本变换…………………………………………………………247 25.2 3×3阶方阵的基本变换…………………………………………………………251 25.3 变换的应用实例…………………………………………………………253 第26章 正交变换…………………………………………………………257 26.1 正交矩阵和正交变换…………………………………………………………258 26.2 酉矩阵和酉变换…………………………………………………………262 26.3 应用实例…………………………………………………………264 第七部分 矩阵应用 第27章 *小二乘法…………………………………………………………271 27.1 概述…………………………………………………………271 27.2 *小二乘矩阵解…………………………………………………………273 27.3 再论*小二乘法的几何意义…………………………………………………………276 27.4 内积*小化…………………………………………………………277 第28章 矩阵网络…………………………………………………………281 28.1 网络思想…………………………………………………………281 28.2 传输网络[A]…………………………………………………………282 28.3 散射网络[S]…………………………………………………………290 28.4 复杂[S]网络…………………………………………………………296 第29章 矩量法…………………………………………………………305 29.1 从一例子谈起…………………………………………………………305 29.2 矩量法的一般表示…………………………………………………………308 29.3 点选配…………………………………………………………313 29.4 离散化过程中的分域基…………………………………………………………315 29.5 近似算子…………………………………………………………319 29.6 扩展算子…………………………………………………………320 29.7 矩量法与变分稳定…………………………………………………………322 29.8 微扰解…………………………………………………………325 第30章 电容C计算…………………………………………………………327 30.1 问题的提出…………………………………………………………327 30.2 方板电容C328 30.3 矩阵单元计算…………………………………………………………330 30.4 静电问题的一般形式…………………………………………………………333 30.5 双板电容…………………………………………………………334 参考文献…………………………………………………………338 附录A 递推法注记…………………………………………………………339 附录B 逆矩阵A-1相当于n个线性方程组解……………………………………340 附录C 广义叉乘基础…………………………………………………………342 附录D 内积意义…………………………………………………………344 附录E 函数的正交展开…………………………………………………………345 附录F Chebyshev逼近…………………………………………………………346 附录G 正定矩阵A的几何意义…………………………………………………………350 附录H 子空间本征问题…………………………………………………………352 附录I 标准二次型的不**性…………………………………………………………355 附录J P=Re∫∫∫Ve*φdv推导…………………………………………………………357 附录K 矩阵范数…………………………………………………………359 附录L 近似算子的*大误差…………………………………………………………361

在线试读：
**部分 线性基础 第1章 线性思想世界从本质上讲必定是非线性的 ,但我们却常常采用线性方法给予近似分析和处理 ？这正是人类在世界认识上对线性与非线性的辩证统一？本书的核心主题是矩阵 ？矩阵有明显的三大特点:①矩阵是线性的;②矩阵是离散的 ;③矩阵是代数和几何交融的？因此,从线性思想作为本书出发点十分自然贴切 ？注意到 ,周围的很多事物全局是非线性的,而在局部则是线性的？一个典型实例是 :铁路和高速公路总长距离肯定是非线性的,但对于一小段则完全可以看做是 (近似为)直线？众所周知,铺设轨道所准备的铁轨(绝大部分)都是直的,或者是线性的 ？同时 ,还注意到,存在另外一类事物,其局部(如每个人？每顿饭)有多少是非线性的 ,而全局(如部队一个团的每月粮食消耗)则(在统计平均意义上)是线性的 ？1 .1 引 子由上可知 ,线性方法是处理实际事物的一种重要分析方法？首先举一个典型的微积分例子 ？y =sinx(1-1)式 (1-1)表示正弦曲线,要求出x∈0,π/2段曲线长度(图1-1),*简单的办法是采用直线 (线性段)去逼近它？图 1-1 y=sinx,x∈0,π/2段的曲线长度 Case 1 一段逼近在区间 [0,π/2]上采用一段直线逼近,如图1-2所示？图 1-2 采用一段L′逼近LL ′=1+π 2 2 = 1.862095889(1-2)且 L >L′(1-3)Case 2 两段逼近即把 x∈0,π/4和x∈π/4,π/2作两段逼近,采用L″1 + L″2 逼近 L,如图1 -3所示？图 1-3 采用x∈[0,π/4]和x∈[π/4,π/2]两段直线L″1 和 L″2 逼近 L从图 1-3中可以看出,L ″1 = 1 2 + π 4 2 = 1.056811372L ″2 = 1 -2 2 2 + π 4 2 = 0.838234282？ 有 L ″=L″1 + L″2 = 1.895045635(1-4)且 L >L″(1-5)Case 3 微分逼近大家是否注意到 ,牛顿微分逼近的几何实质是在很小的区间内Δ→0,曲线可以用直线作出逼近 (即曲线与直线的统一),如图1-4所示？图 1-4 y=sinx曲线的微分逼近从图 1-4中可以看出,d L=dx2+dy2=1+d yd x2 d x(1-6)于是 ,得到曲线长度为L= ∫ π 4 0 1 +d yd x2 d x=∫ π 4 0 1 +cos2xdx(1-7)这一积分目前还无法用解析加以表达 ？于是,我们想到了积分中值定理,即把曲线长度转化为曲线下的面积 ？当然,这也是一种近似,如图1-5所示？图 1-5 积分中值定理？ L ≈π 2 1 +cos2x0 ( 1-8)式中 ,x0 ∈ 0,π 2 ？ 为方便,可取x0 的中值有 x 0 = π 4 , cos2x0 = 1 2 ( 1-9)得到 L ≈6 π4 = 1.923824745(1-10)作为对比 ,精确的数值积分为L =1.910098938(1-11)相对误差 δ为δ =0.007185914≈0.72(1-12)可见 ,采用中值定理有很好的效果？1 .2 线性代数实例牛顿微积分的出现和广泛应用使人们兴奋若狂 ,在很长一段时间内都吹捧微积分可以解决一切问题 ？但冷静下来之后,尤其是在实际中不断碰壁后,人们才意识到 ,世界存在一大类问题,其研究对象是离散的,而不是微积分中的连续函数 ？尤其值得指出,计算机处理离散得心应手,使我们再次回归到“离散世界”？线性 和离散是矩阵论中*重要的两大特征？具体可见如下实例？【 例1-1】 x′oy′坐标系是xoy坐标系正向旋转θ角而成,现要求x′oy′与xoy之间的 坐标变换关系,如图1-6所示？图 1-6 x′oy′坐标系对xoy坐标系的正向θ转动【 解】 由图1-6所示的几何关系,可以写出？