前　言现代控制理论是自动化类各专业的一门重要必修课。 开设本课程的主要目的是使学生掌握现代控制理论的相关知识, 包括采样控制理论基础、 控制系统的状态空间分析方法、控制系统综合与最优控制方法等, 并为今后的学习深造和工程应用打下必要的基础。 全书涵盖线性系统理论和二次型最优控制两个现代控制理论最基本的内容, 具体包括线性系统的状态空间表示与运动分析、 线性系统的能控性与能观性分析、 控制系统的李雅普诺夫稳定性分析、 控制系统综合以及二次型最优控制。

本书的主要特点体现在以下几个方面: ①知识点较为全面, 衔接性更好, 将采样控制理论基础编著在第1章, 使学生后续学习现代控制理论中的离散部分时能够更加清楚明了; ②强调实践性, 对每一章内容均采用MATLAB仿真软件给出其具体相关应用, 以加深学生对现代控制理论的理解, 提高学习效果, 同时有助于增强学生对仿真软件的编程能力培养和动手能力的提高; ③例题丰富, 求解分析透?, 部分例题采用多种方法求解, 帮助学生建立良好的知识体系; ④课后习题针对性强, 有助于学生及时发现和纠正知识理解上的错误, 并涵盖了各个难度级别, 有助于学生巩固所学知识和逐步提高思维能力, 另外给出了习题参考答案, 便于学生课后自主练习; ⑤附录给出了一些综合分析题, 需要综合运用控制理论的相关知识来解答, 可供课程的综合大作业或课程设计参考使用。 全书论述力求深入浅出, 易于阅读。

作者在本书编著过程中, 得到了家人的理解和大力支持。 本书的出版得到大型电气传动系统与装备技术国家重点实验室开放项目的支持。 此外, 本书参考了国内外大量教材、专著和文献, 在此一并表示诚挚的感谢!由于作者水平及条件所限, 书中不妥之处在所难免, 恳请读者给予批评指正。

严刚峰2025 年5 月于成都大学

这本现代控制理论是自动化类各专业的一门重要必修课。 开设本课程的主要目的是使学生掌握现代控制理论的相关知识, 包括采样控制理论基础、 控制系统的状态空间分析方法、控制系统综合与最优控制方法等, 并为今后的学习深造和工程应用打下必要的基础。 全书涵盖线性系统理论和二次型最优控制两个现代控制理论最基本的内容, 具体包括线性系统的状态空间表示与运动分析、 线性系统的能控性与能观性分析、 控制系统的李雅普诺夫稳定性分析、 控制系统综合以及二次型最优控制。

《现代控制理论》共分为七章。第一章为采样控制理论基础，由于现代控制理论同时处理连续和离散系统，这里介绍离散系统的研究工具和分析方法，第二章为控制系统的状态空间模型，介绍线性定常系统的状态空间描述方法，讨论了状态空间模型的基本概念、建立方法及线性非奇异变换方法，第三章为线性系统的运动分析，介绍线性定常系统状态方程的求解方法以及状态转移矩阵的相关内容，第四章为线性系统的能控性和能观测性，介绍状态能控性和能观测性的概念和判断方法,以及系统的结构分解等内容，第五章为控制系统的李雅普诺夫稳定性分析，介绍李雅普诺夫稳定性的概念及稳定性判据，第六章为状态反馈和状态观测器，介绍状态反馈和状态观测器的设计方法，第七章为线性二次型最优控制，介绍线性二次型最优控制的理论和设计方法。全文力求基本概念准确，处理问题思路清晰，内容重点突出。每一章均采用MATLAB仿真软件给出其相关应用，有效加深对现代控制理论的理解和增强仿真软件的编程能力。

严刚峰，工学博士（后），副教授，硕士生导师，博士毕业于电子科技大学，博士后出站于四川大学，在新加坡国立大学工学院控制组访问研究一年。主要研究方向为精密运动控制、控制理论的工程应用。入选四川省海外高层次留学人才，成都大学1315工程学术带头人。

第1章　采样控制理论基础11.1　采样控制理论概述11.2　采样控制系统中的信号71.2.1　采样控制系统的基本构成71.2.2　采样过程与采样信号的数学表示101.2.3　采样信号的频谱分析及采样定理111.2.4　采样信号恢复过程分析131.2.5　零阶保持器14 　　1.3　Z变换及Z反变换161.3.1　引言161.3.2　Z变换的定义161.3.3　求Z变换的方法171.3.4　Z变换的基本性质 201.3.5　Z反变换及求法22 　　1.4　脉冲传递函数与差分方程251.4.1　引言251.4.2　差分方程251.4.3　差分方程的解法261.4.4　脉冲传递函数 271.4.5　脉冲传递函数的求法281.4.6　采样控制系统的脉冲传递函数301.4.7　含有零阶保持器时的脉冲传递函数331.4.8　有扰动作用的采样控制系统341.4.9　闭环系统的脉冲传递函数与误差脉冲传递函数的关系34 　　1.5　采样系统的稳定性分析361.5.1　引言361.5.2　S平面与Z平面的映射关系371.5.3　采样系统的稳定条件371.5.4　采样控制系统的代数稳定判据39 　　1.6　采样系统的稳态误差分析441.6.1　引言441.6.2　采样系统稳态误差的定义451.6.3　静态误差系数451.6.4　干扰作用下采样系统的稳态误差481.6.5　采样周期对稳态误差的影响49　1.7　采样系统的分析501.7.1　采样系统的时域分析501.7.2　极点位置与时间响应的关系 501.7.3　采样系统的根轨迹分析541.7.4　采样系统的频率特性分析57 　　1.8　采样控制系统的数字控制器设计621.8.1　引言621.8.2　等效连续系统的数字控制器设计631.8.3　离散化方法641.8.4　数字PID控制器701.8.5　数字控制器Z域直接设计75 　　1.9　MATLAB仿真软件在本章中的应用77 　　本章小结88 　　习题89第2章　控制系统的状态空间模型94 　　2.1　状态空间表达式952.1.1　状态空间表达式的基本概念952.1.2　连续定常系统状态空间表达式的建立102 　　2.2　状态空间的标准型实现1112.2.1　能控标准型实现1122.2.2　能观标准型实现1132.2.3　对角标准型实现1152.2.4　约当标准型实现117 　　2.3　线性变换1182.3.1　线性非奇异变换1182.3.2　化为能控标准型的变换阵1202.3.3　化为对角标准型和约当标准型的变换阵121 　　2.4　由系统的状态空间表达式求传递函数阵1282.4.1　传递函数阵的一般求法1282.4.2　系统传递函数矩阵的递推算法129 　　2.5　系统的连接1302.5.1　并联连接1302.5.2　串联连接1312.5.3　输出反馈连接132 　　2.6　离散时间系统的状态空间描述1342.6.1　离散时间?统状态空间表达式的描述1342.6.2　差分方程式化为状态空间表达式1352.6.3　由离散状态空间模型求脉冲传递函数139 　　2.7　MATLAB仿真软件在本章中的应用1392.7.1　控制系统模型与转换1392.7.2　状态空间模型之间的变换1432.7.3　组合系统的模型计算147 　　本章小结148 　　习题149第3章　线性系统的运动分析154 　　3.1　线性定常系统齐次状态方程的解154 　　3.2　状态转移矩阵1583.2.1　状态转移矩阵的定义1583.2.2　状态转移矩阵的性质1593.2.3　状态转移矩阵的计算160 　　3.3　非齐次状态方程的解1673.3.1　直接求解法1673.3.2　拉普拉斯变换求解法168 　　3.4　线性离散时间系统的运动分析1693.4.1　连续时间系统的离散化 1703.4.2　离散时间系统的运动分析172 　　3.5　MATLAB仿真软件在本章中的应用174 　　本章小结182 　　习题182第4章　线性系统的能控性和能观性186 　　4.1　线性定常连续系统的能控性1864.1.1　能控性的概念1864.1.2　能控性的判别准则1884.1.3　线性定常离散系统的能控性判别194 　　4.2　线性连续定常系统的能观性1954.2.1　能观性的概念1954.2.2　能观性的判别准则1954.2.3　线性定常离散系统的能观性判别199 　　4.3　对偶原理200 　　4.4　线性系统的结构分解2024.4.1　能控性分解2024.4.2　能观性分解2054.4.3　能控能观性分解207 　　4.5　传递函数(阵)的最小实现2124.5.1　实现的概念2124.5.2　最小实现的方法213 　　4.6　传递函数与能控(能观)性的关系215 　　4.7　求取能控、能观标准型的变换阵218 　　4.8　MATLAB仿真软件在本章中的应用218本章小结221 　　习题222第5章　控制系统的李雅普诺夫稳定性分析226 　　5.1　李雅普诺夫稳定性2275.1.1　平衡状态的概念2275.1.2　李雅普诺夫稳定性定义228 　　5.2　李雅普诺夫第一法229 　　5.3　李雅普诺夫第二法2315.3.1　二次型及其正定性2325.3.2　李雅普诺夫第二法的稳定性定理234 　　5.4　李雅普诺夫稳定性分析2375.4.1　线性连续定常系统的稳定性分析2375.4.2　离散系统的稳定性分析2415.4.3　非线性系统的稳定性分析242 　　5.5　MATLAB仿真软件在本章中的应用246 　　本章小结249 　　习题249第6章　状态反馈控制器和状态观测器253 　　6.1　系统综合问题概述253 　　6.2　稳定化状态反馈控制器的设计254 　　6.3　状态反馈与极点配置2566.3.1　状态反馈的概念及系统构成2566.3.2　状态反馈控制器极点配置条件 2576.3.3　状态反馈的极点配置方法2616.3.4　由爱克曼公式确定状态反馈增益矩阵264 　　6.4　状态反馈与系统的镇定267 　　6.5　状态观测器的设计2696.5.1　状态观测器的原理与构成2696.5.2　状态观测器的存在条件2716.5.3　全维状态观测器的设计2726.5.4　降维状态观测器的设计 275 　　6.6　带有状态观测器的状态反馈控制系统设计2806.6.1　带有状态观测器的状态反馈控制系统的构成和特点 2806.6.2　带有状态观测器的状态反馈控制系统的设计方法 282 　　6.7　线性离散时间系统的状态反馈控制器与状态观测器设计2836.7.1　线性离散定常系统状态反馈与极点配置2836.7.2　全维状态观测器2846.7.3　带有观测器的状态反馈控制系统286 　　6.8　MATLAB仿真软件在本章中的应用287本章小结293 　　习题294第7章　线性二次型最优控制297 　　7.1　连续时间系统的线性二次型最优控制297 　　7.2　离散时间系统的线性二次型最优控制300 　　7.3　MATLAB仿真软件在本章中的应用302 　　本章小结304 　　习题304 习题参考答案305附录A　综合分析题319附录B　线性代数的相关基础知识324 　　B1.1　行列式及其性质324 　　B1.2　矩阵及其运算325 　　B1.3　向量组的秩与矩阵的秩327 　　B1.4　矩阵的微积分330参考文献332

第1章　采样控制理论基础本章将系统论述采样控制的基本理论, 自动控制理论主要学习的是线性时不变连续控制系统的相关理论, 而现代控制理论则不仅包含连续控制系统的状态空间分析, 也包含采样控制系统的状态空间分析。 就控制器实现而言, 由于计算机作为控制器已得到广泛应用, 因此学习采样控制系统的状态空间分析与控制器设计具有重要的意义。 在开展现代控制理论学习之前, 有必要着重学习一下采样控制系统的基础理论。 本章区别于计算机控制技术课程, 重点论述采样控制系统的基础理论, 内容主要包含采样信号变换与分析、 系统建模与时域性能分析、 采样控制器的设计3个方面, 并系统论述采样控制系统分析和设计的基本理论和方法, 其细分为如下几个小节: 采样控制理论概述, 采样控制系统中的信号, Z变换及Z反变换, 脉冲传递函数与差分方程, 采样系统的稳定性分析, 采样系统的稳态误差分析, 采样系统的时域分析和频域分析, 采样控制系统的连续离散化等效设计方法, 采样控制系统的直接离散域设计方法。

1. 1　采样控制理论概述自动控制就是在没有人直接参与的情况下, 通过控制器使生产过程自动地按照预定的规律运行。 随着科学技术的进步, 人们越来越多地运用计算机来实现系统控制。 那么利用计算机来实现生产过程自动控制的系统就是计算机控制系统。 计算机控制系统使用采样信号来实现信号的传递与控制信号的生成, 因此也可以将计算机控制系统简称为采样控制系统。 近几年来, 计算机技术、 自动控制技术、 检测与传感技术、 CRT显示技术、 通信与网络技术、 微电子技术的快速发展, 极大地促进了采样控制技术水平的提高。世界上第一台电子数字计算机诞生于1946年, 从此引起了一场深刻的科技革命。 20世纪50年代初产生了将计算机用于控制的思想; 1955年美国天合 (TRW) 汽车集团与美国一个炼油厂合作, 开始进行计算机控制系统的研究, 这一开创性的工作为计算机应用于控制系统奠定了实践基础; 1962 年, 英国的帝国化学工业公司采用计算机直接控制(DDC) 被控过程的变量; 1972年开始, 微型计算机的出现和快速发展, 推动计算机控制进入了崭新的应用发展阶段, 并逐渐取代模拟系统而成为主要的控制系统。 20世纪80年代以后, 微型处理器的迅速发展对计算机控制产生了深远的影响, 相互关联的微型计算机组合、 共同负担工作负荷的系统应运而生, 计算机控制得到更为普及的应用, 并快速向集散型、 网络化的方向发展。 控制理论也从20世纪40年代以传递函数模型为基础的古典控制理论, 逐渐发展到20世纪60年代以状态空间模型为基础的现代控制理论, 进而从20世纪80年代开始出现了以人工智能为基础的智能控制理论, 与此同时, 以最优控制、 多变量控制、 系统辨识及自适应控制、 鲁棒控制、 预测控制、 迭代学习控制、 滑模变结构控制、 模糊逻辑控制、 神经网络控制, 以及数据驱动控制为代表的一系列先进控制理论和方法也得到了迅速发展, 为采样控制理论的发展创造了有利的条件。采样控制系统是应用计算机参与控制并借助一些辅助部件与被控对象相联系, 以获得一定控制目的而构成的控制系统。 计算机是指各种规模的数字计算机, 如从微型到大型的通用或专用计算机; 控制是指使事物按照一定的规律运行或变化; 辅助部件主要是指输入输出接口、 检测装置和执行机构等; 被控对象包括生产过程、 机械装置、 机器人、 实验装置、 仪器仪表等。 被控对象和部件之间的联结方式, 可以是有线方式, 如通过电缆的模拟信号或数字信号进行通信; 也可以是无线方式, 如用红外线、 微波、 无线电波、 光波等进行通信。 控制目的可以是使被控对象的状态或运动过程达到某种要求, 也可以是达到某种最优化目标。 典型的计算机控制系统如图1.1所示。

图1.1　典型的计算机控制系统在计算机控制系统中, 由于工业控制机的输入和输出是数字信号, 因此需要有A/D转换器和D/A转换器。 从本质上看, 计算机控制系统的工作原理可归纳为以下3个步骤:实时数据采集, 即对来自测量变送装置的被控量的瞬时值进行检测和输入; 实时控制决策, 即对采集到的被控量进行分析和处理, 并按已确定的控制规律, 决定将要采用的控制行为; 实时控制输出, 即根据控制决策, 适时地对执行机构发出控制信号, 完成控制任务。 上述过程不断重复, 使整个系统按照一定的品质指标进行工作, 并对被控量和设备本身的异常现象及时做出处理。在计算机控制系统中, 生产过程和计算机直接连接, 并受计算机控制的方式称为在线方式或联机方式; 生产过程不和计算机相连, 且不受计算机控制, 而是靠人进行联系并作相应操作的方式称为离线方式或脱机方式。 实时是指信号的输入、 计算和输出都要在一定的时间范围内完成, 超出了这个时间, 就失去了控制的时机, 控制也就失去了意义。 实时的概念不能脱离具体过程, 一个在线的系统不一定是一个实时控制系统, 但一个实时控制系统必定是在线系统。

如果忽略量化效应等因素, 常将数字信号和离散模拟信号统称为离散信号 (或采样信号), 而模拟信号也可称为连续信号。 模拟控制系统可称为连续控制系统, 而计算机控制系统常称为数字控制系统, 有时也简称为离散控制系统或采样控制系统。采样控制系统与常规的模拟控制系统相比, 通常具有如下优点。(1) 设计和控制灵活。 在采样控制系统中, 数字控制器的控制算法是通过编程的方法来实现的, 所以很容易实现多种控制算法, 修改控制算法的参数也比较方便。 还可以通过软件的标准化和模块化, 反复、 多次调用这些控制软件。(2) 能实现集中监视和操作。 由于计算机具有分时操作功能, 采用采样控制时, 可以监视几个、 几十个甚至上百个控制量, 把生产过程的各个被控对象都管理起来, 组成一个统一的控制系统, 便于集中监视、 集中操作管理。(3) 能实现综合控制。 采样控制不仅能实现常规的控制规律, 而且由于计算机的存储、 逻辑功能和判断功能, 它可以综合生产的各方面情况, 在环境与参数变化时, 能及时进行判断、 选择最合适的方案进行控制, 必要时可以通过人机对话等方式进行人工干预,这些都是传统模拟控制无法胜任的。(4) 可靠性高, 抗干扰能力强。 在采样控制系统中, 可以利用程序实现故障的自诊断、 自修复功能, 使采样控制系统具有很强的可维护性。 另外, 采样控制系统的控制算法主要是通过软件的方式来实现的, 程序代码存储于计算机中, 一般情况下不会因外部干扰而改变, 因此采样控制系统的抗干扰能力较强。