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定价：178.0
ISBN：9787030569172
作者：无
版次：1
出版时间：2018-03
内容提要：
本书是美国著名数学家彼得·拉克斯与康奈尔大学数学教授玛丽亚·特雷尔合著的单变量微积分教材，内容覆盖了一元微积分的基础，包括：数列的极限、函数的连续性、函数的微分、可微函数的基本理论、导数的应用、函数的积分、积分的方法、积分的近似计算，以及微分方程。另有两章介绍复数与概率。本书与拉克斯的另一著名教材《线性代数及其应用》简明清晰、行云流水的风格一致，通过引入许多背景自然的应用实例，两位作者致力于引导读者对微积分这一重要的基础课题获得理解。本书末尾还提供了部分习题的答案。
目录：
目录
序言
第1章 数和极限 1
1.1 不等式 1
1.1.1 不等式的法则 3
1.1.2 三角不等式 3
1.1.3 算术-几何平均值不等式 4
问题 7
1.2 实数和*小上界定理 10
1.2.1 实数作为无限小数 10
1.2.2 *小上界定理 12
1.2.3 舍入 14
问题 16
1.3 数列及其极限 17
1.3.1 的近似 20
1.3.2 数列与级数 21
1.3.3 区间套 32
1.3.4 柯西数列 33
问题 35
1.4 数字e 39
问题 42
第2章 函数及其连续性 45
2.1 函数的概念 45
2.1.1 有界函数 48
2.1.2 函数的运算 49
问题 51
2.2 连续性 52
2.2.1 用极限定义函数在一点处的连续性 54
2.2.2 区间上的连续性 57
2.2.3 介值定理与*值定理 58
问题 61
2.3 函数的复合及逆 63
2.3.1 反函数 66
问题 70
2.4 正弦与余弦 71
问题 74
2.5 指数函数 75
2.5.1 放射性衰变 76
2.5.2 细菌繁殖 76
2.5.3 代数定义 77
2.5.4 指数型增长 78
2.5.5 对数 80
问题 84
2.6 函数列及其极限 85
2.6.1 函数列 85
2.6.2 函数项级数 92
2.6.3 函数与 96
问题 101
第3章 导数和微分 105
3.1 导数的概念 105
3.1.1 几何意义 107
3.1.2 可导与连续 110
3.1.3 导数的应用 112
问题 117
3.2 求导法则 119
3.2.1 和、积与商的导数 120
3.2.2 复合函数的导数 124
3.2.3 高阶导数及记号 127
问题 128
3.3 函数ex和lnx的导数 132
3.3.1 函数ex的导数 132
3.3.2 函数lnx的导数 133
3.3.3 幂函数的导数 135
3.3.4 微分方程y'= ky 135
问题 136
3.4 三角函数的导数 138
3.4.1 正弦和余弦函数的导数 138
3.4.2 微分方程y"+y=0 140
3.4.3 反三角函数的导数 142
3.4.4 微分方程y"-y=0 144
问题 146
3.4.5 幂级数的导数 148
问题 151
第4章 可导函数的理论 153
4.1 中值定理 153
4.1.1 一阶导数用于*优化 156
4.1.2 利用微分证明不等式 160
4.1.3 推广的中值定理 162
问题 163
4.2 高阶导数 166
4.2.1 二阶导数检验 170
4.2.2 凸函数 171
问题 173
4.3 泰勒定理 175
4.3.1 泰勒级数的例子 180
问题 185
4.4 逼近导数 186
问题 191
第5章 导数的应用 194
5.1 气压 194
问题 196
5.2 运动定律 196
问题 201
5.3 求函数零点的牛顿法 201
5.3.1 平方根的逼近 203
5.3.2 多项式根的逼近 204
5.3.3 牛顿法的收敛性 206
问题 209
5.4 光的反射和折射 210
问题 215
5.5 数学与经济学 216
问题 219
第6章 积分 221
6.1 积分的例子 221
6.1.1 从速度表确定路程 221
6.1.2 细棒的质量 223
6.1.3 正函数下方图的面积 225
6.1.4 负函数和净总值 227
问题 228
6.2 积分 229
6.2.1 积分的近似 231
6.2.2 积分的存在性 235
6.2.3 积分的进一步的性质 238
问题 241
6.3 微积分基本定理 243
问题 251
6.4 积分的应用 253
6.4.1 体积 253
6.4.2 累积量 255
6.4.3 弧长 256
6.4.4 功 257
问题 259
第7章 积分方法 260
7.1 分部积分 260
7.1.1 带积分形式余项的泰勒公式 264
7.1.2 优化数值近似 266
7.1.3 微分方程的应用 267
7.1.4 π的Wallis乘积公式 267
问题 269
7.2 换元法 271
问题 276
7.3 广义积分 277
问题 290
7.4 积分的其他性质 292
7.4.1 函数列的积分 292
7.4.2 含参变量的积分 295
问题 297
第8章 积分的近似数值计算 298
8.1 近似积分 298
8.1.1 中点法则 300
8.1.2 梯形法则 301
问题 302
8.2 辛普森法则 304
8.2.1 辛普森法则的替代方法 307
问题 309
第9章 复数 310
9.1 复数 310
9.1.1 复数的运算 311
9.1.2 复数的几何 315
问题 320
9.2 复值函数 323
9.2.1 连续性 323
9.2.2 导数 324
9.2.3 复值函数的积分 325
9.2.4 复变量的函数 326
9.2.5 复指数函数 329
问题 332
第10章 微分方程 334
10.1 用微积分描述振动 334
10.1.1 力学系统的振动 334
10.1.2 耗散和能量守恒 338
10.1.3 没有摩擦力时的振动 339
10.1.4 没有摩擦力的线性振动 342
10.1.5 带摩擦力的线性振动 344
10.1.6 外力驱动的线性系统 348
问题 352
10.2 种群动力学 355
10.2.1 微分方程 355
10.2.2 人口增长与涨落 361
10.2.3 两个物种 365
问题 373
10.3 化学反应 374
问题 381
10.4 微分方程的数值求解 382
问题 386
第11章 概率 387
11.1 离散概率 387
问题 396
11.2 信息论：感兴趣的事有多有趣? 397
问题 400
11.3 连续概率 401
问题 409
11.4 误差律 411
问题 419
部分问题的答案 421
术语对照表 448
译后记 454
《现代数学译丛》已出版书目 456
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第1章 数和极限
摘要 本章将介绍实数的基本概念和性质，它们对定义极限、导数和积分等微积分概念是必须的。
1.1 不等式
实数之间的不等式在微积分中非常重要。不等式是收敛这个基本概念的核心，收敛则是微积分的一个中心思想。不等式可以用来证明两个数a；b相等，只要证明a既不小于b也不大于b。例如，阿基米德用这种方法证明了一个圆的面积等于一个以其周长为底、半径为高的三角形的面积。
不等式的另一个用处是描述数集。用不等式描述的数集可以在数轴上画出来。
如果，则我们称a小于b，记作a<b。在图1.1所示的数轴上，a将在b的左侧。不等式通常用来描述数的区间。满足a<x<b的数x是介于a和b之间的数，端点a；b不包含在内。这是开区间的一个例子，用圆括弧(a；b)表示。
图1.1 数轴
如果，则我们称a小于或等于b，记作a6b。满足a6x6b的数x是介于a和b之间的数，端点a；b包含在内。这是闭区间的一个例子，用方括弧[a；b]表示。仅包含一个端点的区间称为半开区间或半闭区间。例如，区间a<x6b记为(a；b](图1.2)。
图1.2 (a)开区间(a；b)；(b)半开半闭区间(a；b]；(c)闭区间[a；b]
一个数a的绝对值是a到0的距离:若a为正数，则；若a为负数，则。差的绝对值，可解释为a；b两点在数轴上的距离，也可解释为a；b间的区间的长度(图1.3)。
不等式可以解释为a；b两点在数轴上的距离小于"。这相当于说，a；b之间的差a-b大于。且小于:在问题1.9中，我们将要求你用1.1.1节中的不等式来证明上述不等式。
图1.3 用绝对值来度量距离
例1.1 不等式描述的是那些与5的距离小于这就是开区间。而不等式描述的则是闭区间。见图1.4。
图1.4 (a)由不等式所指定的数介于之间
不等式可以解释为将近似为的一个陈述。它告诉我们，与的误差在千分之一以内，或者说，在以3:141为中心、半径为的区间内。
在图1.5中我们可以设想，在大区间中有更小的区间，将 包得更紧。在本章稍后我们将看到，用来确定一个数的方法就是用越来越紧的区间套住它。这个过程在1.3。3节被描述为闭区间套定理。
图1.5 的近似
我们用表示所有大于a的数的集合，用表示所有大于或等于a的数的集合。类似地，表示所有小于a的数的集合，用表示所有小于或等于a的数的集合(图1.6)。
图1.6 从左到右，依次是区间1
例1.2 不等式描述的是那些与5的距离大于或等于的。这就是或中的数。见图1.7。
图1.7 由例1.2中的不等式所指定的数
1.1.1 不等式的法则
接下来我们复习一些处理不等式的法则:
(a)三分律:对任意的两个实数a和b，或有a>b，或有a<b，或有a=b。
(b)传递性:若a<b且b<c，则a<c。
(c)加法的法则:若a<b，则对任意的c，有。由此可知，若a<b且c<d，则。
(d)乘法的法则:若a<b，则对任意的p>0，有；若a<b，则对任意的n<0，有
(e)取倒数的法则:若a；b是正数，且a<b，则
这些关于不等式的法则可以用来化简不等式或从已知的不等式推导出新的不等式。除了三分律(a)，其余四条法则中的<换成6，结论仍然成立。在问题1.8中，要求你利用三分律推导这样的结果:如果a6b且b6a，则a=b。
例1.3 若且，则根据加法法则，有
例1.4 若0<a<b，则根据乘法法则，有a2<ab以及ab<b2:进一步由传递性，可得a2<b2。
1.1.2 三角不等式
我们经常用到两个著名的不等式:三角不等式和算术-几何平均值不等式。三角不等式重要而简单:我们不妨试着代入一些数验证。例如，对，这个不等式表明了什么呢?很容易检验，如果a；b同号或其中之一为0，则等号成立；如果a；b符号相反，则严格的小于号成立。
三角不等式可以用来很快地估计近似和式的精度。
例1.5 对不等式利用和的法则，有从而，根据三角不等式有也就是说，如果我们能够将和p2控制在10。3的误差范围内，那么就能够将控制在的误差范围内。
三角不等式的另一个应用是将数轴上三点之间的距离联系起来。该不等式断言，之间的距离不超过之间的距离与之间的距离的和，即在图1.8中我们图示了两种情况:y在x；z之间，以及y不在x；z之间。
图1.8 三角不等式涉及的各个距离
1.1.3 算术--几何平均值不等式
我们先介绍这个重要的不等式。
定理1.1(算术-几何平均值不等式)两个正数的几何平均值不超过其算术平均值:等号成立当且仅当a=b。
我们简单称之为平均值不等式。“平均”是在下述意义下理解:
(i)两个数a；b的平均值应该在这两个数之间；
(ii)当这两个数a；b相等时，平均值应该等于a=b。
在此意义下，可以验证不等式两边的表达式都是a；b的平均值。称为a；b的几何平均值，因为它是a；b的等比中项；a+b称为a；b的算术平均值，因为它是a；b的等差中项。
数形结合的证明:图1.9给出了不等式4ab6(a+b)2的一个图像化证明。在这个不等式两边同除以4然后开方就得到平均值不等式。
图1.9 通过比较面积得到的图像化证明
代数的证明:因为任何一个数的平方总是大于或等于0的，所以有并且等号成立当且仅当a=b。两边同时加上4ab，我们得到这是之前我们用图形得到的同一个不等式。两边同除以4然后开方就有等号成立当且仅当a=b。
例1.6 平均值不等式可以用来证明，在具有相同周长的所有矩形中，正方形具有*大的面积。见图1.10。证明:设矩形的长和宽分别为L和W，则其面积为LW；而与它具有相同周长的正方形的边长则为，其面积为。通过对平均值不等式两边平方，我们就得到
n个数的平均值不等式
可以对两个以上的数定义算术平均值与几何平均值。的算术平均值定义为算术平均值n个正数的几何平均值定义为其乘积的n次方根:几何平均值这就允许我们将两个数的平均值不等式推广到n个数:等号成立当且仅当。与前面矩形的情况类似，三个数的平均值不等式可以从几何上解释:考虑三棱(长、宽、高)分别为a1；a2；a3的长方体，该不等式断言，在三棱长的总和给定的所有长方体中，以立方体的体积*大。
图1.10 三个周长均为24的矩形，其规格分别为。其面积分别为，以正方形的面积*大。见例1.6
问题1.17中给出了n个数情形的平均值不等式的证明梗概。证明的关键在于，理解如何利用2个数的结果推导4个数的结果。奇妙的是，n=4的结果可以用来证明n=3的结果。用类似的方式可以得到对一般的n的证明。利用n=4的结果推导n=8的结果，然后利用n=8的结果推导n=5；6；7的结果。依此类推。
以下是对n=4的证明。设a1；a2；a3；a4是4个正数，记A1为a1；a2的算术平均值，A2为a3；a4的算术平均值:三次应用两个数的平均值不等式，有以及从(1.2)和(1.3)就推出