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书名：应用数理统计
定价：49.0
ISBN：9787030542144
作者：钟波 等
版次：1
出版时间：2017-10
内容提要：
本书是重庆市市级优质课程配套教材，是重庆市研究生教育教学改革重大项目成果，全书共7章，分别是概率论基础及应用、数理统计基础、参数估计、假设检验、回归分析、方差分析与正交设计、多元统计分析。本书每章均配有应用案例、章节总结、应用分享和习题，便于教师教学和学生自学。
目录：
目录
第1章 概率论基础及应用 1
1.1 随机事件及概率 2
1.2 一维随机变量 7
1.3 多维随机向量 16
1.4 大数定律和中心极限定理 25
1.5 应用案例——高速公路上汽车服务站位置的确定问题 27
1.6章节总结 28
1.7 应用分享——可靠性工程 29
习题1 29
第2章 数理统计基础 32
2.1 数据特征的描述 32
2.2 总体、个体、样本 41
2.3 统计量 45
2.4 三大抽样分布 53
2.5 抽样分布定理 58
2.6 随机模拟 62
2.7 应用案例——医保欺诈数据的描述性分析 67
2.8章节总结 70
2.9 应用分享——大数据分析 71
习题2 72
第3章 参数估计 77
3.1 引例——超市购物等待付款的排队时间问题 77
3.2 点估计 77
3.3 点估计的评价 87
3.4 区间估计 91
3.5 应用案例——电路的参数估计问题 110
3.6章节总结 112
3.7 应用分享——统计机器翻译 113
习题3 113
第4章 假设检验 118
4.1 引例——变速器中间轴间隔环的厚度问题 118
4.2 假设检验的基本原理 118
4.3 单个总体的参数假设检验 126
4.4 两个总体的参数假设检验 143
4.5 非参数假设检验 156
4.6 应用案例——汽车发生碰撞产生的损失问题 167
4.7章节总结 174
4.8 应用分享——脑功能成像数据分析 175
习题4 175
第5章 回归分析 181
5.1 引例——成品钢材需求量的预测问题 181
5.2 一元线性回归分析 183
5.3 多元线性回归分析 193
5.4 违背基本假设的线性回归分析 204
5.5 非线性回归分析 213
5.6 应用案例——影响中国财政收入的因素分析 221
5.7章节总结 226
5.8 应用分享——计量经济学 227
习题5 227
第6章 方差分析与正交设计 233
6.1 引例——人们喜欢什么品牌的冰箱 233
6.2 单因素方差分析 235
6.3 双因素方差分析 244
6.4 正交设计 253
6.5 应用案例——影响商品房价格的因素分析 263
6.6章节总结 272
6.7 应用分享——机器学习 272
习题6 272
第7章 多元统计分析 277
7.1 引例——黄牛经济类型的划分 277
7.2 聚类分析 278
7.3 判别分析 287
7.4 主成分分析 291
7.5章节总结 295
7.6 应用分享——社会网络分析 296
习题7 296
部分习题参考答案与提示 299
参考文献 314
附表 315
附表1 标准正态分布函数Ф(x)表 315
附表2 t分布的(下侧)p分位数表 316
附表3 χ2分布的(下侧)p分位数表 317
附表4 F分布的(下侧)p分位数表 319
附表5 符号检验表 330
附表6 秩和检验表 331
附表7 相关系数临界值rα(n-2)表 333
附表8 H分布的分位数Hαr，(n-1)表 334
附表9 正交表 339
在线试读：
第1章 概率论基础及应用
数学被人们尊崇为自然科学的皇后。长期以来，在传统的数学王国里，结论都是确定的。5个原始人均分15只猎物，每人可分3只；古巴比伦王国的土地分配，无论是三角形还是平行四边形，只关心土地面积是否相同；直角三角形三边必定满足“勾股定理”；祖冲之精确地计算了圆的周长与直径的比例常数π；曲线长度可以用微积分准确计算。然而，现实生活并非如理想的数学模型一般，常存在着随机因素，使得用纯粹的数学来度量不够精确。要更深刻地认识客观世界，必须对这些随机因素进行探究。在随机领域里，结果是不确定的、随机的。比如，掷两颗骰子点数之和等于多少？结果有很多，一次抛掷两颗骰子出现哪一个结果具有随机性。但如果能发现随机现象(random phenomenon)的客观规律性，即在大量的观测、试验中随机现象表现出的统计规律，就可以利用这些规律为生产生活服务。
随机数学(random mathematics)是研究随机现象及其统计规律性的一门数学学科，它包含概率论(probability theory)、数理统计(mathematical statistics)、随机过程(stochastic processes)、试验设计(test design)、抽样调查(sample survey)、随机分析(stochastic analysis)等许多分支。其中，概率论与数理统计是随机数学的基础部分。
概率论给出了描述随机现象及其统计规律性的数学方法和模型，从理论上研究随机事件发生的概率及性质；数理统计运用概率论的理论与方法，通过研究如何有效地收集、整理和分析随机现象的观测数据，实现对随机现象及其统计规律性的认识。
概率论起源于17世纪中叶。当时，在误差分析、人口统计等范畴中有大量的随机数据资料需要整理和研究，从而孕育出一门数学分支专门用于研究随机现象的规律性。同时，由于欧洲贵族赌博的兴起，在利益的驱动下，越来越多的精英投入到“可能性”的研究上来。渐渐地，人们不再满足于诸如“掷硬币赌正反面”这样简单的赌博方式，希望增加赌局复杂度和趣味性，把“可能性”进行“加密”，让有概率运算能力的人靠技术拥有更多的赌博优势。比如，庄家掷骰子一次，抛掷前下注三个点；或是庄家掷骰子三次，抛掷前下注一个点。这两种赌博方式，可能性是不是一样的呢？应用古典概率计算方法，可推断第*种方式对赌徒有利。
使概率论成为数学的一个分支，并做出重要贡献的是瑞士数学家雅各布·伯努利(Jakob Bernoulli)，他于1689年建立了概率论中的第*个极限定理——“伯努利大数定律”。法国数学家拉普拉斯(Laplace)于1812年出版了《概率的分析理论》，首先明确地给出了概率的古典定义。后来，经过高斯(Gauss)和泊松(Poisson)等数学家的努力，概率论在数学中的地位基本确立。到了20世纪30年代，数学家柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)提出了概率的公理化定义，为概率论的发展做出了杰出贡献，使概率论成为一门严谨的数学分支。
概率论作为理论严谨、应用广泛的数学学科日益受到人们的重视，并随着社会和科学技术的发展而发展。21世纪以来，概率论的理论与方法已渗透到各个学科和领域。例如：
应用概率论的分析方法对通信数据、电子商务数据、金融数据等建立概率模型，推断随机规律、进行科学预测。
建立在概率论基础上的随机化优化算法、概率结构化过程是计算机科学的基本工具，其应用涉及组合优化、机器学习、通信网络以及安全协议等诸多领域。越来越高级、越来越复杂的概率技术已用于更加广泛和更富有挑战性的问题。
基于概率论的可靠性数学，广泛应用于航空航天、电力系统、核能系统、通信系统、软件系统、桥梁系统等的工程可靠性研究。
以概率论为基础的随机复杂网络理论，在基因动态调控模型、干细胞等重要生物体的演化、计算机病毒在互联网或邮件网络中的传播、黑客对计算机网站攻击的演化，以及禽流感、艾滋病等恶性传染病在人群构成的复杂网络中的传播、信用风险与非法资金在金融机构形成的复杂网络中的传播与扩散等方面，有着深入的应用。
概率论是保险精算学科中保险模型、破产理论、分红理论、风险分析以及决策与风险控制理论的基础，是保险公司对其风险进行定量分析和预测，并根据这些结果进行管理与控制风险的基础理论。
诸如此类的例子，举不胜举。总之，科学研究已经将随机性视为建模和分析中的基本组成部分。
概率论是数理统计的理论基础，为了便于更好地学习数理统计知识，本章对概率论的基础知识及其应用进行了概述。
1.1 随机事件及概率
1.1.1 随机事件
在一定条件下可能发生也可能不发生的现象称为随机现象或随机事件，简称为事件(random event)，常用大写字母A，B，C等或带下标的Ai，Bj(i=1，2，…；j=1，2，…)等表示。在一定条件下必然发生的现象称为必然事件，用表示。在一定条件下不可能发生的现象称为不可能事件，用表示。在概率论中，随机事件一定是某个随机试验E中的随机现象。为了运用“集合”工具研究随机事件，需要引入“样本点”和“样本空间”的概念。将随机试验E中的基本事件称为样本点，一般用小写字母，e等或数字表示，由所有样本点组成的集合称为的样本空间，记为。随机试验E中的任何一个随机事件A，都有一个样本空间的子集与之对应，该子集具有这样的性质：随机事件A发生当且仅当子集中的某一样本点发生。因此，任何一个随机事件都可以用样本空间的一个子集表示。这样，随机事件的问题可以转化为“集合”的问题。
运用集合论的知识，可以方便地表示子事件、两事件相等、和事件、积事件(或)、差事件、互斥事件、逆事件、完备事件组 等事件的关系与运算，并且得到下列事件的运算规律：
(1) 交换律：
(2) 结合律：
(3) 分配律：
(4) 德摩根(De Morgan)定理(对偶律)：
(5) 差化积：
(6) 吸收律：如果，则。
1.1.2 概率的定义及性质
直观来讲，概率(probability)是对事件在一次随机试验中发生可能性大小的一种数量度量，介于0与1之间，概率越接近数值1，则表明事件发生的可能性越大。在一次随机试验中，事件的发生具有偶然性，但在多次重复试验中，事件的发生却呈现出一定的规律性，称这种规律性为统计规律，即随着重复试验次数的增加，事件发生的频率会稳定在某一常数附近，该常数称为频率的稳定值，也就是事件的概率。
例1.1.1 在足球比赛中，罚点球是一个扣人心弦的场面。若用表示“罚点球射中球门”的事件，那么事件的概率是多少呢？这可以用通过重复试验所得的数据资料计算出的频率估计概率。曾经有人对1930～1988年世界各地53274场重大足球比赛作了统计，在判罚的15382个点球中，有11172个射中球门，其频率为11172/153820。726，这就是概率的一个估计值。
理论上是存在的，但在现实世界里人们无法将一个试验无限次地重复下去。因此，探寻事件的概率，还不能完全依赖于做大量的重复试验，需要进行理论上的研究、推断和假设。比如，古典概率、几何概率、概率的公理化定义。
1. 古典概率
假设随机试验的样本空间满足：①是有限集合；②中基本事件发生的可能性相等，则随机试验的任意事件的概率：
(1.1.1)
称由上述公式定义的概率为古典概率。其中：n表示中基本事件的总数，r表示事件包含的基本事件数。
古典概率具有以下三个基本性质：
(1) 非负性：对任意事件，有；
(2) 规范性：
(3) 有限可加性：设事件为两两互斥的事件，则。
2. 几何概率
当样本空间是某个可度量的区域，且基本事件在区域中是均匀等可能的。则由区域中的某个子区域A构成的随机事件的概率为
(1.1.2)
称由上述公式定义的概率为几何概率。其中，当区域为一维、二维或三维区域时，对应的几何测度分别为长度、面积及体积。
几何概率具有下列性质：
(1) 非负性：对任意事件，有；
(2) 规范性：
(3) 可列可加性：设事件为两两互斥的可列个事件，则。
3. 概率的公理化定义
概率的公理化定义，以一些不加证明而承认的前提为概率公理，这些公理规定了概率理论的一些基本关系和所满足的条件，为复杂随机事件的概率分析以及深入的理论推演奠定了基础。
1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了下列概率的公理化定义。
定义1.1.1 设是随机试验的样本空间，是中事件组成的集合，称为事件域，是定义在F上的实值集合函数(测度)，即。如果满足：
公理1 (非负性)；
公理2 (规范性)；
公理3 (可列可加性)，其中事件两两互斥。
则称为事件的概率。
在概率论体系里，和概率三元素就构成了概率的全部，称，为概率空间(probability space)。
可以验证，古典概率和几何概率皆满足上述概率的公理化定义。
利用概率的公理化定义可以导出概率的一系列性质。
性质1.1.1 (1) 不可能事件的概率为零，即；
(2) 有限可加性：设为两两互斥的个事件，则
(1.1.3)
(3) 对任意一个事件
(4) 减法公式：
(5) 单调性：若，则；
(6) 有界性：对任意一个事件
(7) 加法公式：更一般的加法公式为
(1.1.4)
4. 条件概率
条件概率描述的是在事件A已经发生的情况下事件B发生的概率，可以理解为是对的修正或在掌握了新信息A时对事件B发生概率的新认识。当时，有下面的条件概率公式：
(1.1.5)
条件概率有如下性质。
性质1.1.2 (1) 非负性：对任意事件，有；
(2) 规范性：；
(3) 可列可加性：若是两两互斥的随机事件，则
(4) 对任意事件，有；
(5) 加法公式：
将(1.1.5)式变形，得到如下的乘法公式。
性质1.1.3 (乘法公式) 设与是两事件，且，则
(1.1.6)
(1.1.7)
由乘法公式，可导出下列两个著名的公式，即全概率公式和贝叶斯(Bayes)公式。
性质1.1.4 (全概率公式与贝叶斯公式) 设是两两互斥的事件组，且，则
(1.1.8)
(1.1.9)
称(1.1.8)式为全概率公式，(1.1.9)式为贝叶斯公式。
条件表示：是与事件B有关的全部可能的、两两互斥的事件。因此，B发生时一定是中某个事件发生，事件B的概率就是全部事件的概率和。全概率公式可以用图1.1.1所示的网络图形表示。 图1.1.1 全概率公式的示意图 在图1.1.1中，每条线的终端分别对应事件及其概率，表示与事件B有关的全部事件，每条线上有一个条件概率，表示在发生的条件下，B发生的可能性。于是，事件B发生的概率就是各条线上的条件概率与对应终端概率乘积的全部和。在实际应用中，常常将事件理解为引起事件B发生的各种“原因”，事件B理解为这些“原因”导致的“结果”。从这个角度讲，全概率公式表示：“结果B”发生的概率由各个“原因”发生的概率和“原因”作为条件时 “结果B”发生的条件概率确定，是一种“由因推果”的概率计算。而贝叶斯公式计算的是“结果B”已经发生的条件下各个“原因”发生的概率，即条件概率，是一种“由果推因”的概率计算。
在实际应用中，常把概率称为先验概率，一般可以通过经验获得；而称为后验概率，是在知道B发生的信息下对事件发生可能性大小的重新认识，也是利用信息B对先验概率的一种修正。所以，贝叶斯公式也称为后验概率计算公式。
贝叶斯公式由英国数学家贝叶斯(Thomas Bayes)在18世纪提出。贝叶斯公式实现了先验信息到后验信息的转化，使人们对随机事件发生的概率有了更加客观的认识方法。贝叶斯公式在统计推断领域里有着重要的影响，以贝叶斯公式为基础形成的贝叶斯统计(Beyes statistics)是当今应用非常广泛的一个统计分支，尤其在数据挖掘、机器学习、机器翻译、模式识别、故障诊断等领域已得到深入的应用。
例1.1.2 某个人欲向银行贷款，银行需要考察他的诚信度。如果此人首次贷款，那么银行会考察他的现状，如他的财产情况、工作状况等，利用这些信息可以估计他的诚信度，即按时还款可能性。如果此人曾经有一次贷款没有按期还款，那么他的诚信度肯定会下降。会下降多少呢？下面借助贝叶斯公式定量地估计他的诚信度下降的程度。
设事件A表示某人的“诚信”，且诚信度为80%，即。事件B表示此人“曾经有一次贷款没有按期还款”。一般地，在诚信度较高的情况下，曾经有一次贷款没有按期还款的可能性较小，而诚信度低时，曾经有一次贷款为按期还款的可能性较大。不妨设为
当事件已经发生了，那么，重新审视此人的诚信，就是对他诚信度的后验认识。由贝叶斯公式计算得
计算结果表明，一旦他曾经有一次贷款没有按期还款，那么他的诚信度将从80%大幅度下降到36%。
1.1.3 事件的独立性
由于事件的发生会对概率产生影响，故在一般情况下，但当事件B对事件A的概率没有影响时，即，此时称事件与相互独立。事件之间的独立关系常用积事件的概率来定义。
定义1.1.2 设，是概率空间的事件，若
(1.1.10)
则称事件与相互独立(independent)。
设为个随机事件，如果对其中任意个事件，均有
(1.1.11)
则称事件相互独立。
定价：49.0
ISBN：9787030542144
作者：钟波 等
版次：1
出版时间：2017-10
内容提要：
本书是重庆市市级优质课程配套教材，是重庆市研究生教育教学改革重大项目成果，全书共7章，分别是概率论基础及应用、数理统计基础、参数估计、假设检验、回归分析、方差分析与正交设计、多元统计分析。本书每章均配有应用案例、章节总结、应用分享和习题，便于教师教学和学生自学。
目录：
目录
第1章 概率论基础及应用 1
1.1 随机事件及概率 2
1.2 一维随机变量 7
1.3 多维随机向量 16
1.4 大数定律和中心极限定理 25
1.5 应用案例——高速公路上汽车服务站位置的确定问题 27
1.6章节总结 28
1.7 应用分享——可靠性工程 29
习题1 29
第2章 数理统计基础 32
2.1 数据特征的描述 32
2.2 总体、个体、样本 41
2.3 统计量 45
2.4 三大抽样分布 53
2.5 抽样分布定理 58
2.6 随机模拟 62
2.7 应用案例——医保欺诈数据的描述性分析 67
2.8章节总结 70
2.9 应用分享——大数据分析 71
习题2 72
第3章 参数估计 77
3.1 引例——超市购物等待付款的排队时间问题 77
3.2 点估计 77
3.3 点估计的评价 87
3.4 区间估计 91
3.5 应用案例——电路的参数估计问题 110
3.6章节总结 112
3.7 应用分享——统计机器翻译 113
习题3 113
第4章 假设检验 118
4.1 引例——变速器中间轴间隔环的厚度问题 118
4.2 假设检验的基本原理 118
4.3 单个总体的参数假设检验 126
4.4 两个总体的参数假设检验 143
4.5 非参数假设检验 156
4.6 应用案例——汽车发生碰撞产生的损失问题 167
4.7章节总结 174
4.8 应用分享——脑功能成像数据分析 175
习题4 175
第5章 回归分析 181
5.1 引例——成品钢材需求量的预测问题 181
5.2 一元线性回归分析 183
5.3 多元线性回归分析 193
5.4 违背基本假设的线性回归分析 204
5.5 非线性回归分析 213
5.6 应用案例——影响中国财政收入的因素分析 221
5.7章节总结 226
5.8 应用分享——计量经济学 227
习题5 227
第6章 方差分析与正交设计 233
6.1 引例——人们喜欢什么品牌的冰箱 233
6.2 单因素方差分析 235
6.3 双因素方差分析 244
6.4 正交设计 253
6.5 应用案例——影响商品房价格的因素分析 263
6.6章节总结 272
6.7 应用分享——机器学习 272
习题6 272
第7章 多元统计分析 277
7.1 引例——黄牛经济类型的划分 277
7.2 聚类分析 278
7.3 判别分析 287
7.4 主成分分析 291
7.5章节总结 295
7.6 应用分享——社会网络分析 296
习题7 296
部分习题参考答案与提示 299
参考文献 314
附表 315
附表1 标准正态分布函数Ф(x)表 315
附表2 t分布的(下侧)p分位数表 316
附表3 χ2分布的(下侧)p分位数表 317
附表4 F分布的(下侧)p分位数表 319
附表5 符号检验表 330
附表6 秩和检验表 331
附表7 相关系数临界值rα(n-2)表 333
附表8 H分布的分位数Hαr，(n-1)表 334
附表9 正交表 339
在线试读：
第1章 概率论基础及应用
数学被人们尊崇为自然科学的皇后。长期以来，在传统的数学王国里，结论都是确定的。5个原始人均分15只猎物，每人可分3只；古巴比伦王国的土地分配，无论是三角形还是平行四边形，只关心土地面积是否相同；直角三角形三边必定满足“勾股定理”；祖冲之精确地计算了圆的周长与直径的比例常数π；曲线长度可以用微积分准确计算。然而，现实生活并非如理想的数学模型一般，常存在着随机因素，使得用纯粹的数学来度量不够精确。要更深刻地认识客观世界，必须对这些随机因素进行探究。在随机领域里，结果是不确定的、随机的。比如，掷两颗骰子点数之和等于多少？结果有很多，一次抛掷两颗骰子出现哪一个结果具有随机性。但如果能发现随机现象(random phenomenon)的客观规律性，即在大量的观测、试验中随机现象表现出的统计规律，就可以利用这些规律为生产生活服务。
随机数学(random mathematics)是研究随机现象及其统计规律性的一门数学学科，它包含概率论(probability theory)、数理统计(mathematical statistics)、随机过程(stochastic processes)、试验设计(test design)、抽样调查(sample survey)、随机分析(stochastic analysis)等许多分支。其中，概率论与数理统计是随机数学的基础部分。
概率论给出了描述随机现象及其统计规律性的数学方法和模型，从理论上研究随机事件发生的概率及性质；数理统计运用概率论的理论与方法，通过研究如何有效地收集、整理和分析随机现象的观测数据，实现对随机现象及其统计规律性的认识。
概率论起源于17世纪中叶。当时，在误差分析、人口统计等范畴中有大量的随机数据资料需要整理和研究，从而孕育出一门数学分支专门用于研究随机现象的规律性。同时，由于欧洲贵族赌博的兴起，在利益的驱动下，越来越多的精英投入到“可能性”的研究上来。渐渐地，人们不再满足于诸如“掷硬币赌正反面”这样简单的赌博方式，希望增加赌局复杂度和趣味性，把“可能性”进行“加密”，让有概率运算能力的人靠技术拥有更多的赌博优势。比如，庄家掷骰子一次，抛掷前下注三个点；或是庄家掷骰子三次，抛掷前下注一个点。这两种赌博方式，可能性是不是一样的呢？应用古典概率计算方法，可推断第*种方式对赌徒有利。
使概率论成为数学的一个分支，并做出重要贡献的是瑞士数学家雅各布·伯努利(Jakob Bernoulli)，他于1689年建立了概率论中的第*个极限定理——“伯努利大数定律”。法国数学家拉普拉斯(Laplace)于1812年出版了《概率的分析理论》，首先明确地给出了概率的古典定义。后来，经过高斯(Gauss)和泊松(Poisson)等数学家的努力，概率论在数学中的地位基本确立。到了20世纪30年代，数学家柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)提出了概率的公理化定义，为概率论的发展做出了杰出贡献，使概率论成为一门严谨的数学分支。
概率论作为理论严谨、应用广泛的数学学科日益受到人们的重视，并随着社会和科学技术的发展而发展。21世纪以来，概率论的理论与方法已渗透到各个学科和领域。例如：
应用概率论的分析方法对通信数据、电子商务数据、金融数据等建立概率模型，推断随机规律、进行科学预测。
建立在概率论基础上的随机化优化算法、概率结构化过程是计算机科学的基本工具，其应用涉及组合优化、机器学习、通信网络以及安全协议等诸多领域。越来越高级、越来越复杂的概率技术已用于更加广泛和更富有挑战性的问题。
基于概率论的可靠性数学，广泛应用于航空航天、电力系统、核能系统、通信系统、软件系统、桥梁系统等的工程可靠性研究。
以概率论为基础的随机复杂网络理论，在基因动态调控模型、干细胞等重要生物体的演化、计算机病毒在互联网或邮件网络中的传播、黑客对计算机网站攻击的演化，以及禽流感、艾滋病等恶性传染病在人群构成的复杂网络中的传播、信用风险与非法资金在金融机构形成的复杂网络中的传播与扩散等方面，有着深入的应用。
概率论是保险精算学科中保险模型、破产理论、分红理论、风险分析以及决策与风险控制理论的基础，是保险公司对其风险进行定量分析和预测，并根据这些结果进行管理与控制风险的基础理论。
诸如此类的例子，举不胜举。总之，科学研究已经将随机性视为建模和分析中的基本组成部分。
概率论是数理统计的理论基础，为了便于更好地学习数理统计知识，本章对概率论的基础知识及其应用进行了概述。
1.1 随机事件及概率
1.1.1 随机事件
在一定条件下可能发生也可能不发生的现象称为随机现象或随机事件，简称为事件(random event)，常用大写字母A，B，C等或带下标的Ai，Bj(i=1，2，…；j=1，2，…)等表示。在一定条件下必然发生的现象称为必然事件，用表示。在一定条件下不可能发生的现象称为不可能事件，用表示。在概率论中，随机事件一定是某个随机试验E中的随机现象。为了运用“集合”工具研究随机事件，需要引入“样本点”和“样本空间”的概念。将随机试验E中的基本事件称为样本点，一般用小写字母，e等或数字表示，由所有样本点组成的集合称为的样本空间，记为。随机试验E中的任何一个随机事件A，都有一个样本空间的子集与之对应，该子集具有这样的性质：随机事件A发生当且仅当子集中的某一样本点发生。因此，任何一个随机事件都可以用样本空间的一个子集表示。这样，随机事件的问题可以转化为“集合”的问题。
运用集合论的知识，可以方便地表示子事件、两事件相等、和事件、积事件(或)、差事件、互斥事件、逆事件、完备事件组 等事件的关系与运算，并且得到下列事件的运算规律：
(1) 交换律：
(2) 结合律：
(3) 分配律：
(4) 德摩根(De Morgan)定理(对偶律)：
(5) 差化积：
(6) 吸收律：如果，则。
1.1.2 概率的定义及性质
直观来讲，概率(probability)是对事件在一次随机试验中发生可能性大小的一种数量度量，介于0与1之间，概率越接近数值1，则表明事件发生的可能性越大。在一次随机试验中，事件的发生具有偶然性，但在多次重复试验中，事件的发生却呈现出一定的规律性，称这种规律性为统计规律，即随着重复试验次数的增加，事件发生的频率会稳定在某一常数附近，该常数称为频率的稳定值，也就是事件的概率。
例1.1.1 在足球比赛中，罚点球是一个扣人心弦的场面。若用表示“罚点球射中球门”的事件，那么事件的概率是多少呢？这可以用通过重复试验所得的数据资料计算出的频率估计概率。曾经有人对1930～1988年世界各地53274场重大足球比赛作了统计，在判罚的15382个点球中，有11172个射中球门，其频率为11172/153820。726，这就是概率的一个估计值。
理论上是存在的，但在现实世界里人们无法将一个试验无限次地重复下去。因此，探寻事件的概率，还不能完全依赖于做大量的重复试验，需要进行理论上的研究、推断和假设。比如，古典概率、几何概率、概率的公理化定义。
1. 古典概率
假设随机试验的样本空间满足：①是有限集合；②中基本事件发生的可能性相等，则随机试验的任意事件的概率：
(1.1.1)
称由上述公式定义的概率为古典概率。其中：n表示中基本事件的总数，r表示事件包含的基本事件数。
古典概率具有以下三个基本性质：
(1) 非负性：对任意事件，有；
(2) 规范性：
(3) 有限可加性：设事件为两两互斥的事件，则。
2. 几何概率
当样本空间是某个可度量的区域，且基本事件在区域中是均匀等可能的。则由区域中的某个子区域A构成的随机事件的概率为
(1.1.2)
称由上述公式定义的概率为几何概率。其中，当区域为一维、二维或三维区域时，对应的几何测度分别为长度、面积及体积。
几何概率具有下列性质：
(1) 非负性：对任意事件，有；
(2) 规范性：
(3) 可列可加性：设事件为两两互斥的可列个事件，则。
3. 概率的公理化定义
概率的公理化定义，以一些不加证明而承认的前提为概率公理，这些公理规定了概率理论的一些基本关系和所满足的条件，为复杂随机事件的概率分析以及深入的理论推演奠定了基础。
1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了下列概率的公理化定义。
定义1.1.1 设是随机试验的样本空间，是中事件组成的集合，称为事件域，是定义在F上的实值集合函数(测度)，即。如果满足：
公理1 (非负性)；
公理2 (规范性)；
公理3 (可列可加性)，其中事件两两互斥。
则称为事件的概率。
在概率论体系里，和概率三元素就构成了概率的全部，称，为概率空间(probability space)。
可以验证，古典概率和几何概率皆满足上述概率的公理化定义。
利用概率的公理化定义可以导出概率的一系列性质。
性质1.1.1 (1) 不可能事件的概率为零，即；
(2) 有限可加性：设为两两互斥的个事件，则
(1.1.3)
(3) 对任意一个事件
(4) 减法公式：
(5) 单调性：若，则；
(6) 有界性：对任意一个事件
(7) 加法公式：更一般的加法公式为
(1.1.4)
4. 条件概率
条件概率描述的是在事件A已经发生的情况下事件B发生的概率，可以理解为是对的修正或在掌握了新信息A时对事件B发生概率的新认识。当时，有下面的条件概率公式：
(1.1.5)
条件概率有如下性质。
性质1.1.2 (1) 非负性：对任意事件，有；
(2) 规范性：；
(3) 可列可加性：若是两两互斥的随机事件，则
(4) 对任意事件，有；
(5) 加法公式：
将(1.1.5)式变形，得到如下的乘法公式。
性质1.1.3 (乘法公式) 设与是两事件，且，则
(1.1.6)
(1.1.7)
由乘法公式，可导出下列两个著名的公式，即全概率公式和贝叶斯(Bayes)公式。
性质1.1.4 (全概率公式与贝叶斯公式) 设是两两互斥的事件组，且，则
(1.1.8)
(1.1.9)
称(1.1.8)式为全概率公式，(1.1.9)式为贝叶斯公式。
条件表示：是与事件B有关的全部可能的、两两互斥的事件。因此，B发生时一定是中某个事件发生，事件B的概率就是全部事件的概率和。全概率公式可以用图1.1.1所示的网络图形表示。 图1.1.1 全概率公式的示意图 在图1.1.1中，每条线的终端分别对应事件及其概率，表示与事件B有关的全部事件，每条线上有一个条件概率，表示在发生的条件下，B发生的可能性。于是，事件B发生的概率就是各条线上的条件概率与对应终端概率乘积的全部和。在实际应用中，常常将事件理解为引起事件B发生的各种“原因”，事件B理解为这些“原因”导致的“结果”。从这个角度讲，全概率公式表示：“结果B”发生的概率由各个“原因”发生的概率和“原因”作为条件时 “结果B”发生的条件概率确定，是一种“由因推果”的概率计算。而贝叶斯公式计算的是“结果B”已经发生的条件下各个“原因”发生的概率，即条件概率，是一种“由果推因”的概率计算。
在实际应用中，常把概率称为先验概率，一般可以通过经验获得；而称为后验概率，是在知道B发生的信息下对事件发生可能性大小的重新认识，也是利用信息B对先验概率的一种修正。所以，贝叶斯公式也称为后验概率计算公式。
贝叶斯公式由英国数学家贝叶斯(Thomas Bayes)在18世纪提出。贝叶斯公式实现了先验信息到后验信息的转化，使人们对随机事件发生的概率有了更加客观的认识方法。贝叶斯公式在统计推断领域里有着重要的影响，以贝叶斯公式为基础形成的贝叶斯统计(Beyes statistics)是当今应用非常广泛的一个统计分支，尤其在数据挖掘、机器学习、机器翻译、模式识别、故障诊断等领域已得到深入的应用。
例1.1.2 某个人欲向银行贷款，银行需要考察他的诚信度。如果此人首次贷款，那么银行会考察他的现状，如他的财产情况、工作状况等，利用这些信息可以估计他的诚信度，即按时还款可能性。如果此人曾经有一次贷款没有按期还款，那么他的诚信度肯定会下降。会下降多少呢？下面借助贝叶斯公式定量地估计他的诚信度下降的程度。
设事件A表示某人的“诚信”，且诚信度为80%，即。事件B表示此人“曾经有一次贷款没有按期还款”。一般地，在诚信度较高的情况下，曾经有一次贷款没有按期还款的可能性较小，而诚信度低时，曾经有一次贷款为按期还款的可能性较大。不妨设为
当事件已经发生了，那么，重新审视此人的诚信，就是对他诚信度的后验认识。由贝叶斯公式计算得
计算结果表明，一旦他曾经有一次贷款没有按期还款，那么他的诚信度将从80%大幅度下降到36%。
1.1.3 事件的独立性
由于事件的发生会对概率产生影响，故在一般情况下，但当事件B对事件A的概率没有影响时，即，此时称事件与相互独立。事件之间的独立关系常用积事件的概率来定义。
定义1.1.2 设，是概率空间的事件，若
(1.1.10)
则称事件与相互独立(independent)。
设为个随机事件，如果对其中任意个事件，均有
(1.1.11)
则称事件相互独立。