前言函数逼近理论是数学分析与计算数学的重要分支，其基本目标在于以更为简洁或可计算的函数类逼近复杂函数，从而实现理论上的可分析性与应用中的可行性. 自20世纪以来，该理论不仅推动了数值分析、偏微分方程数值解法与最优化方法的发展，也逐渐成为现代数据科学的重要基石.传统逼近论主要建立在线性框架之上，典型成果如魏尔斯特拉斯逼近定理、Jackson定理及Bernstein多项式逼近，奠定了逼近的理论基础. 然而，线性方法在处理高维问题和复杂函数时，常常遭遇;维数灾难，且难以有效刻画局部特征. 为克服这些局限，非线性逼近逐渐成为研究重点. 其核心优势在于具备动态选择与自适应能力，能够更精确地刻画稀疏结构与非光滑行为，在高维与复杂数据分析中展现出独特优势.进入21世纪，非线性逼近在数据科学与人工智能的发展中发挥了日益重要的作用. 以深度神经网络、小波稀疏表示和压缩感知为代表的方法，不仅在理论上具备逼近任意连续函数的能力，而且在图像识别、自然语言处理与科学计算等领域取得了突破性进展. 同时，非线性逼近理论也逐渐成为理解生成模型和算子学习等前沿方向的关键工具.本书旨在系统梳理非线性逼近理论在不同框架下的基本特征与复杂性，重点介绍宽度理论、熵数理论与信息基复杂性理论三大工具，并探讨在有限信息与有限资源条件下的最优逼近问题. 本书期望在完善非线性逼近理论的同时，为计算科学与人工智能等交叉领域的探索提供基础性的数学支撑.本书主要面向高等学校应用数学与计算数学专业高年级本科生及研究生. 全书内容整理自作者近年来完成的部分学术论文与研究成果. 在第3～8章中，陆文静、邱家益、贺小航、任航、周慧燕和高洁对相关研究工作给予了重要支持与协助，谨致以诚挚谢意. 特别感谢西华大学陈广贵教授的悉心指导与大力帮助，其宝贵意见使本书得以完善并顺利付梓. 同时，感谢*人文社会科学研究项目（规划基金，Grant No.25YJAZH203）的资助与支持.因作者水平有限，书中难免存在疏漏与不足，敬请读者批评指正.

作者

本书对非线性逼近理论进行了系统总结与拓展，既涵盖一致逼近的经典理论，又融入一致、概率、平均与随机框架下的前沿研究成果，兼具理论深度与方法创新。本书作者长期承担数学分析、泛函分析、函数逼近与优化等课程的教学工作，在数学理论研究与应用创新方面积累了丰富经验。

本书综合运用函数逼近论、概率论、泛函分析与计算数学等现代数学工具，系统研究多元函数空间在一致、概率、平均与随机等不同计算框架下的非线性逼近特征与信息基复杂性。全书以宽度理论、熵数理论和信息基复杂性理论为主线，构建统一分析框架，重点讨论加权p_Wiener代数、加权多元Paley_Wiener空间以及具有混合偏导的多元Sobolev空间等函数类的逼近特征，并分析自适应Monte Carlo方法对逼近问题的复杂性。本书对非线性逼近理论进行了系统总结与拓展，既涵盖一致逼近的经典理论，又融入一致、概率、平均与随机框架下的前沿研究成果，兼具理论深度与方法创新，适合应用数学与计算数学专业的高年级本科生和研究生使用，也可供从事高维逼近、数值分析、信号处理与计算复杂性等研究的专业人士参考。

徐艳艳，西华大学理学院数学系主任、副教授、硕士生导师，四川省现场统计学会常务理事，四川省数学学会及金融量化分析与计算专业委员会会员。她主要从事函数逼近与优化、金融工程、智能信息处理等方向及相关交叉应用领域的研究。她在ANAL APPL、ACTA MATH SCI、IEEE T FUZZY SYST等重要期刊发表论文30余篇，主持多项科研项目；长期承担数学分析、泛函分析、函数逼近与优化等课程的教学工作，在数学理论研究与应用创新方面积累了丰富经验。

目录前言

第1章绪论11.1非线性逼近的理论基础11.1.1宽度理论21.1.2熵数理论41.1.3信息基复杂性理论51.2章节组织61.3符号说明7第2章预备知识92.1有限维空间及相关结果92.1.1有限维空间的宽度与伪宽度92.1.2有限维空间的熵数122.1.3自适应Monte Carlo方法对有限维逼近的复杂性142.2多元Sobolev空间172.3p_Wiener代数182.4多元Paley_Wiener空间20第3章加权p_Wiener代数的逼近特征233.1基本概念与记号243.1.1加权p_Wiener代数243.1.2s数与伪s数253.2加权p_Wiener代数到Wiener代数的s数与伪s数估计263.3加权p_Wiener代数到Lq空间的s数与伪s数估计313.3.1加权p_Wiener代数到Lq空间的s数估计313.3.2加权p_Wiener代数到Lq空间的伪s数估计383.4本章小结40第4章加权多元Paley_Wiener空间在不同框架下的宽度414.1加权多元Paley_Wiener空间的概率与平均Kolmogorov宽度414.2加权多元Paley_Wiener空间的概率与平均线性宽度534.3一致框架下加权多元Paley_Wiener空间的Gelrsquo;fand宽度604.4加权多元Paley_Wiener空间的概率Gelrsquo;fand宽度654.5本章小结72第5章具有混合偏导的多元Sobolev空间在Wiener代数尺度下的宽度735.1一致框架下具有混合偏导的多元Sobolev空间在Wiener代数尺度下的逼近宽度735.2具有混合偏导的多元Sobolev空间在Wiener代数尺度下的概率与平均宽度795.3本章小结87第6章具有混合偏导的多元Sobolev空间在不同框架下的伪宽度886.1有限维空间概率伪宽度估计896.2一元Sobolev空间概率与平均伪宽度估计946.3具有混合偏导的多元Sobolev空间概率与平均伪宽度估计1026.4本章小结112第7章具有混合偏导的多元Sobolev空间在概率框架与平均框架下的熵数1137.1具有混合偏导的多元Sobolev空间在概率框架下的熵数1137.2具有混合偏导的多元Sobolev空间在平均框架下的熵数1227.3本章小结123第8章自适应Monte Carlo方法对逼近问题的复杂性1248.1具有共同光滑的多元Sobolev空间上的信息基复杂性1258.2加权p_Wiener代数空间上的信息基复杂性1348.2.1确定框架下加权p_Wiener代数上的信息基复杂性1358.2.2随机框架下加权p_Wiener代数上的信息基复杂性1438.3本章小结146参考文献147