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书名：线性代数（第二版）
定价：26.0
ISBN：9787030564511
作者：太原理工大学数学学院
版次：1
出版时间：2018-02
内容提要：
本书以***高等教育面向21世纪教学内容和课程体系改革计划为编写依据，结合近年来国内外线性代数教材改革、发展的形势及取得的教学成果编写而成。全书共6章，主要内容为行列式、n维向量、矩阵、线性方程组、矩阵对角化与二次型、线性空间与线性变换。本书内容完整，叙述简明，习题题型多样化。
目录：
目录
第二版前言
**版前言
第1章 行列式 1
1.1 行列式的定义 1
1.2 行列式的计算 9
1.3 克拉默法则 24
习题1 29
第2章 n维向量 33
2.1 n维向量及其线性运算 33
2.2 向量组的线性相关性 39
2.3 向量组的秩 46
2.4 向量空间 50
2.5 向量的内积 52
习题2 59
第3章 矩阵 62
3.1 矩阵及其运算 62
3.2 逆矩阵 75
3.3 分块矩阵 83
3.4 矩阵的秩 91
3.5 矩阵的初等变换 97
习题3 108
第4章 线性方程组 110
4.1 齐次线性方程组 110
4.2 非齐次线性方程组 118
习题4 126
第5章 矩阵对角化与二次型 130
5.1 特征值与特征向量 130
5.2 矩阵对角化 135
5.3 二次型 144
习题5 154
第6章 线性空间与线性变换 156
6.1 线性空间 156
6.2 线性变换 164
习题6 171
部分练习题与习题参考答案 174
参考文献 188
在线试读：
第1章 行列式
行列式是线性代数中*常用的基本工具之一。本章主要介绍行列式的定义、性质及其计算方法。并给出行列式的一个重要应用，即用行列式求解特殊的线性方程组的克拉默(Cramer)法则。为研究一般的线性方程组及解决线性代数的其他相关问题奠定基础。
1.1 行列式的定义
1.1.1 二阶行列式
对于二元一次方程组(1.1.1)容易计算得到可以证明(见1.3节)当时，方程组(1.1.1)有**解(1.1.2)但公式(1.1.2)不容易记忆，也不便于推广。如果对给定的四个数，记(1.1.3)并称它为一个二阶行列式，例如 那么公式(1.1.2)就可表示为这就是行列式这一概念的由来。
二阶行列式(1.1.3)左端记号中的二行二列的4个数aij(i，j=1，2)称为该行列式的元素。每个元素aij有两个下标i和 j。**个下标i表示该元素所在的行，称为行指标；第二个下标j表示该元素所在的列，称为列指标。我们将a11到a22的连线称为该行列式的主对角线；而a12到a21连线称为它的副对角线。按照定义，二阶行列式便是其主对角线上的两元素之积与副对角线上的两元素之积的差。通常称为对角线法则。一般地，将行列式(1.1.3)记为D或或。其右端的表示 式称为行列式D的展开式，也称为行列式D的值。下文中在介绍三阶行列式以及 一般的n阶行列式时，我们仍沿用这些记号与术语。
1.1.2 三阶行列式
与二阶行列式一样，考虑三元一次方程组的求解问题，就引出三阶行列式的概念。
给定9 个数aij(i，j=1，2，3)，三阶行列式定义为(1.1.4)三阶行列式(1.1.4)的右端也可以用对角线法则来记忆，如图1.1 所示。其中，每一条实线上的3个数的乘积带正号，每一条虚线上的3个数的乘积带负号，所得六项乘积的代数和就是该三阶行列式的值。例如仔细观察三阶行列式(1.1.4)，利用求和记号X，它可表示为(1.1.5)其中p1p2p3分别取(1.1.6)并且只对这六种情形求和。由于(1.1.5)中每一项乘积的行指标都是按1，2，3 的顺 序排列的，所以其所带的号是由列指标p1p2p3的排列顺序决定的。如果我们能够根据p1p2p3的不同取法确定出乘积a1p1a2p2a3p3 所带的正负号，我们就能将三阶行列式的概念推广到四阶乃至更高阶的情形，这需要有关全排列及其逆序数的概念。
图1.1
1.1.3 全排列及其逆序数
定义1.1.1 将自然数1，2，… ，n按照某种次序排成一列，称为一个n级全排 列，简称为排列。
例如，321是一个3级全排列，2413是一个4级全排列。
利用排列组合的知识，易知n级全排列的种数为n!。为下面讨论方便，将自然数1，2，… ；n的任意一个n级全排列记为p1p2…pn。在所有的n级全排列中，有一个排列是 12 …n，它的特点是小数一定是排在大数的前面。我们称其为标准排列或者自然排列。而在其他的任意一个n级全排列p1p2…pn中，总要出现小数排在大数后面的情形。为此，我们给出全排列的逆序数概念。
定义1.1.2 对于n级全排列p1p2…pn，若其中两个数pi与pj满足条件i<j且pi>pj，则称数pi与pj构成排列p1p2…pn的一个逆序。排列p1p2…pn的所有逆序的总数，叫做此排列的逆序数，记为。并且当为偶(奇)数时，就称p1p2…pn为偶(奇)排列。
下面给出全排列逆序数的求法。
设p1p2…pn是一个n级全排列，对于其中任意一个数pi来说，排在它前面比它小的每一个数，与pi都不构成逆序；而排在它前面比它大的每一个数，与pi都构成一个逆序。于是，若记全排列p1p2…pi…pn中排在pi前面且比pi大的数共有ti个，那么按照定义1.1.2 就有。同时显然有t1 =0；tk =0，如果 pk =n。
例1.1.1 求5级全排列43152的逆序数，并指出它的奇偶性。
解 在5级全排列43152中，除去首位数4及*大数5之外，
3前面比3大的数有4，即t2=1，
1前面比1大的数有4、3，即t3=2；
2前面比2大的数有4、3、5，即t5=3。
因此排列43152 的逆序数为 。(43152)=1+2+3=6，所以它是一个偶排列。
显然，所以12 …n是偶排列；而它的奇偶性与n有关。一般地可以证明，在所有n(>2)级全排列中，奇排列和偶排列的个数相等，各为个。
下面对排列中元素之间的位置关系作分析，引入对换概念。
定义1.1.3 在一个排列中，将某两个数的位置对调，而其他数的位置不变，就得到一个新的排列，对于排列所施行的这样一个变换叫做一个对换。
例如，排列3124，经过数3和4的对换，变成新排列4123。易知3124为偶排列，而4123为奇排列。一般地，我们有如下定理。
定理1.1.1 对换改变排列的奇偶性。
即经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列。
由定理1.1.1知，经过奇数次对换后，排列改变其奇偶性；经过偶数次对换后，排列不改变其奇偶性。因为标准排列是偶排列，于是有如下推论。
推论1.1.1 奇排列对换成标准排列的对换次数是奇数，偶排列对换成标准排列的对换次数是偶数。
1.1.4 n阶行列式的定义
利用全排列及其逆序数的概念，对于三阶行列式，结合(1.1.4)-(1.1.6)式，我们有下列事实：即对于三阶行列式，当三级全排列p1p2p3为偶排列时，乘积a1p1a2p2a3p3带正号；而当p1p2p3为奇排列时，乘积a1p1a2p2a3p3 带负号。所以三阶行列式(1.1.4)可以写作(1.1.7)其中和号表示对1，2，3这三个数的所有全排列p1p2p3的种数进行求和。根据三阶行列式这一定义方式，我们给出n阶行列式的概念。
定义1.1.4 给定n2个数，n阶行列式定义为(1.1.8)其中 p1p2…pn为自然数 1，2，… ，n的一个n级全排列，而表示对所有n级全排列p1p2…pn的种数求和。
由定义1.1.4可知，n阶行列式是n! 项乘积的代数和。每一项是取自不同行、不同列的n个元素的乘积并赋予正号或者负号，并且乘积a1p1a2p2…anpn所带的正负号由确定。
当n=2，3时，用定义1.1.4所得到的二阶与三阶行列式，显然与前面给出的定义是一致的。当n=1时，按定义一阶行列式就是。这在记号上要注意与数a11的绝对值区别开来。下面看几个特殊行列式的例子。
例1.1.2 证明：
(1)上三角行列式
(2)下三角行列式
(3)左三角行列式
(4)右三角行列式
证明 对于行列式D的展开式中的任意一项，当n个元素中至少有一个为0时，该项为0，故只需计算那些可能不为0的项即可。我们证明结论(1)，其余结论的证明留给读者作为练习。
在D的第1列元素中，除了a11外，其他元素均为0，因此只能取p1=1，在第2列元素中，除a12和a22这两个元素外，其他元素均为0，因此p2可以取1或2，而前面已取p1=1，所以只能取p2=2，依次类推，可得，这样D的展开式中可能不为零的项就只有一项，故得D=a11a22…ann。
例1.1.2的特殊情形就是下面的对角行列式和次对角行列式，它们在实际中也 经常用到：
定价：26.0
ISBN：9787030564511
作者：太原理工大学数学学院
版次：1
出版时间：2018-02
内容提要：
本书以***高等教育面向21世纪教学内容和课程体系改革计划为编写依据，结合近年来国内外线性代数教材改革、发展的形势及取得的教学成果编写而成。全书共6章，主要内容为行列式、n维向量、矩阵、线性方程组、矩阵对角化与二次型、线性空间与线性变换。本书内容完整，叙述简明，习题题型多样化。
目录：
目录
第二版前言
**版前言
第1章 行列式 1
1.1 行列式的定义 1
1.2 行列式的计算 9
1.3 克拉默法则 24
习题1 29
第2章 n维向量 33
2.1 n维向量及其线性运算 33
2.2 向量组的线性相关性 39
2.3 向量组的秩 46
2.4 向量空间 50
2.5 向量的内积 52
习题2 59
第3章 矩阵 62
3.1 矩阵及其运算 62
3.2 逆矩阵 75
3.3 分块矩阵 83
3.4 矩阵的秩 91
3.5 矩阵的初等变换 97
习题3 108
第4章 线性方程组 110
4.1 齐次线性方程组 110
4.2 非齐次线性方程组 118
习题4 126
第5章 矩阵对角化与二次型 130
5.1 特征值与特征向量 130
5.2 矩阵对角化 135
5.3 二次型 144
习题5 154
第6章 线性空间与线性变换 156
6.1 线性空间 156
6.2 线性变换 164
习题6 171
部分练习题与习题参考答案 174
参考文献 188
在线试读：
第1章 行列式
行列式是线性代数中*常用的基本工具之一。本章主要介绍行列式的定义、性质及其计算方法。并给出行列式的一个重要应用，即用行列式求解特殊的线性方程组的克拉默(Cramer)法则。为研究一般的线性方程组及解决线性代数的其他相关问题奠定基础。
1.1 行列式的定义
1.1.1 二阶行列式
对于二元一次方程组(1.1.1)容易计算得到可以证明(见1.3节)当时，方程组(1.1.1)有**解(1.1.2)但公式(1.1.2)不容易记忆，也不便于推广。如果对给定的四个数，记(1.1.3)并称它为一个二阶行列式，例如 那么公式(1.1.2)就可表示为这就是行列式这一概念的由来。
二阶行列式(1.1.3)左端记号中的二行二列的4个数aij(i，j=1，2)称为该行列式的元素。每个元素aij有两个下标i和 j。**个下标i表示该元素所在的行，称为行指标；第二个下标j表示该元素所在的列，称为列指标。我们将a11到a22的连线称为该行列式的主对角线；而a12到a21连线称为它的副对角线。按照定义，二阶行列式便是其主对角线上的两元素之积与副对角线上的两元素之积的差。通常称为对角线法则。一般地，将行列式(1.1.3)记为D或或。其右端的表示 式称为行列式D的展开式，也称为行列式D的值。下文中在介绍三阶行列式以及 一般的n阶行列式时，我们仍沿用这些记号与术语。
1.1.2 三阶行列式
与二阶行列式一样，考虑三元一次方程组的求解问题，就引出三阶行列式的概念。
给定9 个数aij(i，j=1，2，3)，三阶行列式定义为(1.1.4)三阶行列式(1.1.4)的右端也可以用对角线法则来记忆，如图1.1 所示。其中，每一条实线上的3个数的乘积带正号，每一条虚线上的3个数的乘积带负号，所得六项乘积的代数和就是该三阶行列式的值。例如仔细观察三阶行列式(1.1.4)，利用求和记号X，它可表示为(1.1.5)其中p1p2p3分别取(1.1.6)并且只对这六种情形求和。由于(1.1.5)中每一项乘积的行指标都是按1，2，3 的顺 序排列的，所以其所带的号是由列指标p1p2p3的排列顺序决定的。如果我们能够根据p1p2p3的不同取法确定出乘积a1p1a2p2a3p3 所带的正负号，我们就能将三阶行列式的概念推广到四阶乃至更高阶的情形，这需要有关全排列及其逆序数的概念。
图1.1
1.1.3 全排列及其逆序数
定义1.1.1 将自然数1，2，… ，n按照某种次序排成一列，称为一个n级全排 列，简称为排列。
例如，321是一个3级全排列，2413是一个4级全排列。
利用排列组合的知识，易知n级全排列的种数为n!。为下面讨论方便，将自然数1，2，… ；n的任意一个n级全排列记为p1p2…pn。在所有的n级全排列中，有一个排列是 12 …n，它的特点是小数一定是排在大数的前面。我们称其为标准排列或者自然排列。而在其他的任意一个n级全排列p1p2…pn中，总要出现小数排在大数后面的情形。为此，我们给出全排列的逆序数概念。
定义1.1.2 对于n级全排列p1p2…pn，若其中两个数pi与pj满足条件i<j且pi>pj，则称数pi与pj构成排列p1p2…pn的一个逆序。排列p1p2…pn的所有逆序的总数，叫做此排列的逆序数，记为。并且当为偶(奇)数时，就称p1p2…pn为偶(奇)排列。
下面给出全排列逆序数的求法。
设p1p2…pn是一个n级全排列，对于其中任意一个数pi来说，排在它前面比它小的每一个数，与pi都不构成逆序；而排在它前面比它大的每一个数，与pi都构成一个逆序。于是，若记全排列p1p2…pi…pn中排在pi前面且比pi大的数共有ti个，那么按照定义1.1.2 就有。同时显然有t1 =0；tk =0，如果 pk =n。
例1.1.1 求5级全排列43152的逆序数，并指出它的奇偶性。
解 在5级全排列43152中，除去首位数4及*大数5之外，
3前面比3大的数有4，即t2=1，
1前面比1大的数有4、3，即t3=2；
2前面比2大的数有4、3、5，即t5=3。
因此排列43152 的逆序数为 。(43152)=1+2+3=6，所以它是一个偶排列。
显然，所以12 …n是偶排列；而它的奇偶性与n有关。一般地可以证明，在所有n(>2)级全排列中，奇排列和偶排列的个数相等，各为个。
下面对排列中元素之间的位置关系作分析，引入对换概念。
定义1.1.3 在一个排列中，将某两个数的位置对调，而其他数的位置不变，就得到一个新的排列，对于排列所施行的这样一个变换叫做一个对换。
例如，排列3124，经过数3和4的对换，变成新排列4123。易知3124为偶排列，而4123为奇排列。一般地，我们有如下定理。
定理1.1.1 对换改变排列的奇偶性。
即经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列。
由定理1.1.1知，经过奇数次对换后，排列改变其奇偶性；经过偶数次对换后，排列不改变其奇偶性。因为标准排列是偶排列，于是有如下推论。
推论1.1.1 奇排列对换成标准排列的对换次数是奇数，偶排列对换成标准排列的对换次数是偶数。
1.1.4 n阶行列式的定义
利用全排列及其逆序数的概念，对于三阶行列式，结合(1.1.4)-(1.1.6)式，我们有下列事实：即对于三阶行列式，当三级全排列p1p2p3为偶排列时，乘积a1p1a2p2a3p3带正号；而当p1p2p3为奇排列时，乘积a1p1a2p2a3p3 带负号。所以三阶行列式(1.1.4)可以写作(1.1.7)其中和号表示对1，2，3这三个数的所有全排列p1p2p3的种数进行求和。根据三阶行列式这一定义方式，我们给出n阶行列式的概念。
定义1.1.4 给定n2个数，n阶行列式定义为(1.1.8)其中 p1p2…pn为自然数 1，2，… ，n的一个n级全排列，而表示对所有n级全排列p1p2…pn的种数求和。
由定义1.1.4可知，n阶行列式是n! 项乘积的代数和。每一项是取自不同行、不同列的n个元素的乘积并赋予正号或者负号，并且乘积a1p1a2p2…anpn所带的正负号由确定。
当n=2，3时，用定义1.1.4所得到的二阶与三阶行列式，显然与前面给出的定义是一致的。当n=1时，按定义一阶行列式就是。这在记号上要注意与数a11的绝对值区别开来。下面看几个特殊行列式的例子。
例1.1.2 证明：
(1)上三角行列式
(2)下三角行列式
(3)左三角行列式
(4)右三角行列式
证明 对于行列式D的展开式中的任意一项，当n个元素中至少有一个为0时，该项为0，故只需计算那些可能不为0的项即可。我们证明结论(1)，其余结论的证明留给读者作为练习。
在D的第1列元素中，除了a11外，其他元素均为0，因此只能取p1=1，在第2列元素中，除a12和a22这两个元素外，其他元素均为0，因此p2可以取1或2，而前面已取p1=1，所以只能取p2=2，依次类推，可得，这样D的展开式中可能不为零的项就只有一项，故得D=a11a22…ann。
例1.1.2的特殊情形就是下面的对角行列式和次对角行列式，它们在实际中也 经常用到：