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书名：高等代数
定价：49.0
ISBN：9787030515445
作者：郭嵩
版次：1
出版时间：2017-02
在线试读：
第1章 多项式
多项式理论是高等代数的一个重要组成部分，多项式的内容是中学代数中的重要内容，因此，大家应该对本章的内容并不陌生.但是，中学是以多项式的具体运算为主，而这里将以多项式的理论为主.也就是说，这里讨论的多项式主要侧重于一般性的规律，比起初等代数更具有抽象性.多项式不仅是中学代数的主要内容之一，也是代数学的一个基本概念，在数学本身和实际应用中都很常见，因此有必要系统地学习这部分内容.
多项式是一类*常见、*简单的函数，它的应用非常广泛，多项式的一些重要定理和方法，不仅在解决实际问题时常常用到，而且在进一步学习代数以及其他数学课程时也经常会碰到.在中学代数里，我们曾经学习过多项式的运算.本章将在复习这些内容的基础上，进一步讨论关于一元多项式的一些理论，例如，*大公因式的性质、求法，以及多项式的因式分解等问题.
1.1一元多项式
定义1.1.1设P是一个数域，x为一个符号(或称为文字)，n是一个非负整数，形式表达式
(1.1.1)
称为系数在数域P中的x的一元多项式，或简称为数域P上的x的一元多项式，其中是属于数域P中的数.
式(1.1.1)中，称为i次项，称为i次项的系数.以后用f(x),g(x),h(x)或f,g,h来表示多项式.
注意，这里定义的多项式是符号或文字的一个形式表达式，当符号(或文字)x是未知数时，式(1.1.1)即为在中学所学代数中的多项式.这个符号还可代表其他待定事物，如矩阵、向量等.为了能统一研究未知数和其他选定事物的多项式，才如此抽象定义上述形式表达式.
定义1.1.2如果多项式的同次项的系数都相等，即,则称多项式f(x),g(x)是相等的，记为f(x)=g(x).
系数全为零的多项式称为零多项式，记为0.
在式(1.1.1)中，如果项n的系数，则称为多项式(1.1.1)的*高次项，称为*高次项的系数，n称为多项式(1.1.1)的次数.
多项式f(x)的次数记为？(f(x))或deg(f(x)).
零多项式不规定次数，是*一不定义次数的多项式.零次多项式，也就是非零常数，其次数为0，要能正确区分零多项式与零次多项式.
例1是有理数域Q上的3次多项式，是复数域C上的4次多项式.
运用求和符号，数域P上的多项式可简记为
定义1.1.3数域P上的所有一元多项式组成的集合记为P[x]，称为数域P上的一元多项式环，即
(1.1.2)
其中i=0,1,2,…,n,n为非负整数.
本节及后面各节的讨论都是在某一固定数域P上的多项式环P[x]中进行的，以后就不再重复说明了.
设
如果n≥m,g(x)也可写作
定义上述两个多项式f(x),g(x)∈P[x]的和与积分别为：
分析可知xk前面的系数为
于是上述两个多项式的乘积可写成
定义两个多项式相减为
例2设f(x),g(x)∈P[x],f(x)=2x3+x2+2x+1,g(x)=x2-3x-2,求f(x)+g(x),f(x)g(x),f(x)-g(x).
解
由于f(x)g(x)中xk幂的系数为
依次计算可得
定理1.1.1对任意的f(x),g(x)∈P[x],且f(x)≠0,g(x)≠0，有
(1)当f(x)+g(x)≠0时,？[f(x)+g(x)]≤max[？(f(x)),？(g(x))]；
(2)？[f(x)g(x)]=？(f(x))+？(g(x)).
证明设f(x),g(x)∈P[x]，且有
(1)设，于是f(x)+g(x)的次数不能超过n，得证.
(2)由于且，所以，即f(x)g(x)的次数为n+m.
数域P上的两个多项式的和、差、积仍然是P上的多项式.即对任意的
和数的运算一样，多项式的运算也满足下述规律.对任意f(x),g(x)∈P[x],有
(1)加法交换律：
(2)加法结合律：
(3)乘法交换律：
(4)乘法结合律：
(5)乘法对加法的分配律：
对于多项式的乘法，我们还可以证明乘法满足下述规律.
(6)乘法消去律：如果f(x)g(x)=f(x)h(x)且有f(x)≠0，则g(x)=h(x).
1.2多项式的整除
在一元多项式环P[x]中，可以作加法、减法、乘法三种运算，而且两个多项式的加、减与乘所得到的多项式仍是P[x]中的多项式，但是乘法的逆运算除法并不是普遍可以作的.如中学代数中所学多项式一样，作为形式表达式，也能用一个多项式去除另一个多项式，求得商和余式，在中学中一般用长除法或竖线法来求得两个多项式作除法所得的商与余式.通过例子来复习一下商与余式的求法.
例1求g(x)=x2-3x+1除f(x)=2x4+4x2-5x+6的商与余式.
解长除法：
由上式可知商为2x2+6x+20，余式为49x-14.
竖线法：
由上式可知商为2x2+6x+20，余式为49x-14.
上述求法具有一般性，下面就按这个想法来证明一元多项式环的一个基本性质.
1.2.1带余除法
定理1.2.1(带余除法定理)对于一元多项式环P[x]中任意两个多项式f(x)与g(x),其中g(x)≠0,一定有P[x]中的多项式q(x),r(x)存在，使f(x)=q(x)g(x)+r(x)成立，其中？(r(x))<？(g(x))或者r(x)=0,并且这样的q(x),r(x)是*一存在的.
证明定理中商式q(x)及余式r(x)的存在性可以由上面所说的除法直接得出，也可用归纳法的语言来叙述.
下面来证*一性.
设另有多项式使得成立，且满足或者.于是有
即有
如果q(x)≠q′(x)，又根据题意有g(x)≠0，则有r′(x)-r(x)≠0，且有
但是，所以上式不可能成立，因此，从而.得证.
1.2.2整除性
定义1.2.1设f(x),g(x)∈P[x],g(x)称为整除f(x)，如果存在h(x)∈P[x],使等式f(x)=g(x)h(x)成立，用g(x)|f(x)表示g(x)整除f(x)，用表示g(x)不能整除f(x).
当g(x)|f(x)时，g(x)称为f(x)的因式，f(x)称为g(x)的倍式.
当g(x)≠0,带余除法给出了整除性的一个判别法.
例2因为x3-1=(x-1)(x2+x+1),所以x-1能整除x3-1，称x-1是x3-1的因式，x3-1是x-1的倍式.
例，所以x-1是xn-1的因式.
下面总结几个常见的整除性相关的结论.
性质1.2.1(1)任意多项式都能整除它自己；
(2)零多项式是任意多项式的倍式，而零多项式的倍式只有零多项式；
(3)零次多项式是任意多项式的因式，而零次多项式的因式只有零次多项式.
性质1.2.1给出了当除式g(x)为零多项式或非零常数时，判断除式g(x)能否整除被除式f(x)的方法.一般情形下，如果g(x)≠0,可以用带余除法来判断g(x)能否整除f(x).
定理1.2.2设f(x),g(x)∈P[x],其中g(x)≠0,则g(x)整除f(x)的充分必要条件是g(x)除f(x)的余式为零.
证明若余式r(x)=0,则f(x)=g(x)h(x),即g(x)|f(x).反之，如果有g(x)|f(x),则存在q(x)∈P[x],使得满足f(x)=q(x)g(x)=q(x)g(x)+0,即余式带余除法中，g(x)必须不等于零.但在g(x)|f(x)中，g(x)可以为零，此时在时，如果g(x)≠0,可以用表示g(x)除f(x)所得的商.
在讨论整除性问题时，一般情形下，除了具体计算或直接由定义验证外，还可运用性质1.2.1讨论.此外，还有一些常用到的关于多项式整除性的结论，我们把这些总结成下述性质，以便应用.
性质1.2.2(1)如果,那么,式中c是一个非零常数；
(2)如果,那么h(x)|f(x)；
(3)如果,那么对任意多项式,有
证明(1)设g(x)|f(x),f(x)|g(x),如果f(x),g(x)中有一个是零多项式，那么另一个一定也等于0，因此任取一个非零常数c，有f(x)=cg(x).
如果f(x),g(x)均不是零多项式，则假设g(x)|f(x),f(x)|g(x),存在1q(x),
定价：49.0
ISBN：9787030515445
作者：郭嵩
版次：1
出版时间：2017-02
在线试读：
第1章 多项式
多项式理论是高等代数的一个重要组成部分，多项式的内容是中学代数中的重要内容，因此，大家应该对本章的内容并不陌生.但是，中学是以多项式的具体运算为主，而这里将以多项式的理论为主.也就是说，这里讨论的多项式主要侧重于一般性的规律，比起初等代数更具有抽象性.多项式不仅是中学代数的主要内容之一，也是代数学的一个基本概念，在数学本身和实际应用中都很常见，因此有必要系统地学习这部分内容.
多项式是一类*常见、*简单的函数，它的应用非常广泛，多项式的一些重要定理和方法，不仅在解决实际问题时常常用到，而且在进一步学习代数以及其他数学课程时也经常会碰到.在中学代数里，我们曾经学习过多项式的运算.本章将在复习这些内容的基础上，进一步讨论关于一元多项式的一些理论，例如，*大公因式的性质、求法，以及多项式的因式分解等问题.
1.1一元多项式
定义1.1.1设P是一个数域，x为一个符号(或称为文字)，n是一个非负整数，形式表达式
(1.1.1)
称为系数在数域P中的x的一元多项式，或简称为数域P上的x的一元多项式，其中是属于数域P中的数.
式(1.1.1)中，称为i次项，称为i次项的系数.以后用f(x),g(x),h(x)或f,g,h来表示多项式.
注意，这里定义的多项式是符号或文字的一个形式表达式，当符号(或文字)x是未知数时，式(1.1.1)即为在中学所学代数中的多项式.这个符号还可代表其他待定事物，如矩阵、向量等.为了能统一研究未知数和其他选定事物的多项式，才如此抽象定义上述形式表达式.
定义1.1.2如果多项式的同次项的系数都相等，即,则称多项式f(x),g(x)是相等的，记为f(x)=g(x).
系数全为零的多项式称为零多项式，记为0.
在式(1.1.1)中，如果项n的系数，则称为多项式(1.1.1)的*高次项，称为*高次项的系数，n称为多项式(1.1.1)的次数.
多项式f(x)的次数记为？(f(x))或deg(f(x)).
零多项式不规定次数，是*一不定义次数的多项式.零次多项式，也就是非零常数，其次数为0，要能正确区分零多项式与零次多项式.
例1是有理数域Q上的3次多项式，是复数域C上的4次多项式.
运用求和符号，数域P上的多项式可简记为
定义1.1.3数域P上的所有一元多项式组成的集合记为P[x]，称为数域P上的一元多项式环，即
(1.1.2)
其中i=0,1,2,…,n,n为非负整数.
本节及后面各节的讨论都是在某一固定数域P上的多项式环P[x]中进行的，以后就不再重复说明了.
设
如果n≥m,g(x)也可写作
定义上述两个多项式f(x),g(x)∈P[x]的和与积分别为：
分析可知xk前面的系数为
于是上述两个多项式的乘积可写成
定义两个多项式相减为
例2设f(x),g(x)∈P[x],f(x)=2x3+x2+2x+1,g(x)=x2-3x-2,求f(x)+g(x),f(x)g(x),f(x)-g(x).
解
由于f(x)g(x)中xk幂的系数为
依次计算可得
定理1.1.1对任意的f(x),g(x)∈P[x],且f(x)≠0,g(x)≠0，有
(1)当f(x)+g(x)≠0时,？[f(x)+g(x)]≤max[？(f(x)),？(g(x))]；
(2)？[f(x)g(x)]=？(f(x))+？(g(x)).
证明设f(x),g(x)∈P[x]，且有
(1)设，于是f(x)+g(x)的次数不能超过n，得证.
(2)由于且，所以，即f(x)g(x)的次数为n+m.
数域P上的两个多项式的和、差、积仍然是P上的多项式.即对任意的
和数的运算一样，多项式的运算也满足下述规律.对任意f(x),g(x)∈P[x],有
(1)加法交换律：
(2)加法结合律：
(3)乘法交换律：
(4)乘法结合律：
(5)乘法对加法的分配律：
对于多项式的乘法，我们还可以证明乘法满足下述规律.
(6)乘法消去律：如果f(x)g(x)=f(x)h(x)且有f(x)≠0，则g(x)=h(x).
1.2多项式的整除
在一元多项式环P[x]中，可以作加法、减法、乘法三种运算，而且两个多项式的加、减与乘所得到的多项式仍是P[x]中的多项式，但是乘法的逆运算除法并不是普遍可以作的.如中学代数中所学多项式一样，作为形式表达式，也能用一个多项式去除另一个多项式，求得商和余式，在中学中一般用长除法或竖线法来求得两个多项式作除法所得的商与余式.通过例子来复习一下商与余式的求法.
例1求g(x)=x2-3x+1除f(x)=2x4+4x2-5x+6的商与余式.
解长除法：
由上式可知商为2x2+6x+20，余式为49x-14.
竖线法：
由上式可知商为2x2+6x+20，余式为49x-14.
上述求法具有一般性，下面就按这个想法来证明一元多项式环的一个基本性质.
1.2.1带余除法
定理1.2.1(带余除法定理)对于一元多项式环P[x]中任意两个多项式f(x)与g(x),其中g(x)≠0,一定有P[x]中的多项式q(x),r(x)存在，使f(x)=q(x)g(x)+r(x)成立，其中？(r(x))<？(g(x))或者r(x)=0,并且这样的q(x),r(x)是*一存在的.
证明定理中商式q(x)及余式r(x)的存在性可以由上面所说的除法直接得出，也可用归纳法的语言来叙述.
下面来证*一性.
设另有多项式使得成立，且满足或者.于是有
即有
如果q(x)≠q′(x)，又根据题意有g(x)≠0，则有r′(x)-r(x)≠0，且有
但是，所以上式不可能成立，因此，从而.得证.
1.2.2整除性
定义1.2.1设f(x),g(x)∈P[x],g(x)称为整除f(x)，如果存在h(x)∈P[x],使等式f(x)=g(x)h(x)成立，用g(x)|f(x)表示g(x)整除f(x)，用表示g(x)不能整除f(x).
当g(x)|f(x)时，g(x)称为f(x)的因式，f(x)称为g(x)的倍式.
当g(x)≠0,带余除法给出了整除性的一个判别法.
例2因为x3-1=(x-1)(x2+x+1),所以x-1能整除x3-1，称x-1是x3-1的因式，x3-1是x-1的倍式.
例，所以x-1是xn-1的因式.
下面总结几个常见的整除性相关的结论.
性质1.2.1(1)任意多项式都能整除它自己；
(2)零多项式是任意多项式的倍式，而零多项式的倍式只有零多项式；
(3)零次多项式是任意多项式的因式，而零次多项式的因式只有零次多项式.
性质1.2.1给出了当除式g(x)为零多项式或非零常数时，判断除式g(x)能否整除被除式f(x)的方法.一般情形下，如果g(x)≠0,可以用带余除法来判断g(x)能否整除f(x).
定理1.2.2设f(x),g(x)∈P[x],其中g(x)≠0,则g(x)整除f(x)的充分必要条件是g(x)除f(x)的余式为零.
证明若余式r(x)=0,则f(x)=g(x)h(x),即g(x)|f(x).反之，如果有g(x)|f(x),则存在q(x)∈P[x],使得满足f(x)=q(x)g(x)=q(x)g(x)+0,即余式带余除法中，g(x)必须不等于零.但在g(x)|f(x)中，g(x)可以为零，此时在时，如果g(x)≠0,可以用表示g(x)除f(x)所得的商.
在讨论整除性问题时，一般情形下，除了具体计算或直接由定义验证外，还可运用性质1.2.1讨论.此外，还有一些常用到的关于多项式整除性的结论，我们把这些总结成下述性质，以便应用.
性质1.2.2(1)如果,那么,式中c是一个非零常数；
(2)如果,那么h(x)|f(x)；
(3)如果,那么对任意多项式,有
证明(1)设g(x)|f(x),f(x)|g(x),如果f(x),g(x)中有一个是零多项式，那么另一个一定也等于0，因此任取一个非零常数c，有f(x)=cg(x).
如果f(x),g(x)均不是零多项式，则假设g(x)|f(x),f(x)|g(x),存在1q(x),