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书名：量子力学（第三版）习题精解
定价：60.0
ISBN：9787030488305
作者：张鹏飞，吴强，柳盛典
版次：1
出版时间：2016-06
在线试读：
第 1 章 量子力学的物理基础题
1.1 在宏观世界里, 量子现象常常可以忽略. 对此就下列诸情况, 在数值上加以证明：
(1) 长 l = 1m, 质量 m = 1kg 的单摆的零点振荡的振幅;
(2) 质量 m = 5g, 以速度 10cm/s 向一刚性障碍物 (高 5cm, 宽 1cm) 运动的子弹的透射率;
(3) 质量 m = 0:1kg, 以速度 0.5m/s 运动的钢球被尺寸为 1 ￡ 1:5m2 的窗子所衍射.
解答 (1) 单摆的小幅摆动为简谐振动, 其频率为
谐振子的零点能为 E = ~!2. 设单摆作零点振荡, 其振幅为 A. 当单摆振荡位移达到振幅对应的位置时, 势能达到*大等于振荡能量, 则
这给出
可见宏观振子的零点振荡实际上是不可能观测到的 (零点振荡的振幅也可通过波函数来计算).
(2) 如果把障碍物的宽度看成是势垒的厚度 a, 把子弹透射看成是越过障碍物所设置的重力势垒, 则透射概率 (公式参见第 3 章)
这里 V0 = mgH, E = mv2=2, 则可见透射概率可以忽略.
(3) 入射钢球的 de Broglie 波长为
方形窗的水平和垂直方向的衍射角分别为
可见衍射可以忽略.
题 1.2 用h, e, c, me(电子质量), mp(质子质量) 凑出下列每个量, 给出粗略的数值估计：
(1) Bohr 半径 (cm);
(2) 氢原子结合能 (eV);
(3) Bohr 磁子;
(4) 电子的 Compton 波长 (cm);
(5) 经典电子半径 (cm);
(6) 电子静止能量 (MeV);
(7) 质子静止能量 (MeV);
(8) 精细结构常数a;
(9) 典型的氢原子精细结构分裂 E.
解答 (1) Bohr 半径①
(2) 氢原子结合能
(3) Bohr 磁子
(4) 电子的 Compton 波长
(5) 经典电子半径
(6) 电子静止能量
(7) 质子静止能量
(8) 精细结构常数
(9) 典型的氢原子精细结构能级分裂
题 1.3 导出教材式 (1.12), 验算三个公式中的系数数值.
解答 对非相对论性自由粒子
这里 p, E 分别是其动量和能量, m 为质量. de Broglie 关系
式中 h 为 Planck 常量. 由上两式可以导出
利用组合常量
容易验算
这样
对于光子而言.
同样利用组合常量 (1.4), 给出.
上面式 (1.30) 与 (1.50) 合起来就是教材式 (1.12), 其中 E(对 m 6= 0 的实物粒子, E 为其动能) 的单位为 eV, . 的单位是A.
题 1.4 室温 (T . 300K) 下中子速度为 2200m/s, 计算它的 de Broglie 波长;求出同温度下电子速度, 计算电子的 de Broglie 波长.
解答 由于题给中子速度远小于光速, 故可以用非相对论公式计算其动能
其中用到能量单位换算关系, 1eV = 1:602 176 565￡10.19J. 将上面结果代入教材中式 (1.11), 可得
同温度下由能量均分定理知电子动能为
其中 k = 1:380 6488(13) ￡ 10.23 J ￠ K.1 称为 Boltzmann 常量. 由上式也可算得电子的速度为
由式 (1.11), 可得电子的 de Broglie 波长
题 1.5 指出下列实验中, 哪些实验表明了辐射场的粒子性? 哪些实验主要证明能量交换的量子性? 哪些实验主要表明物质粒子的波动性?
(1) 光电效应;
(2) 黑体辐射谱;
(3) Franck-Hertz 实验;
(4) Compton 散射;
(5) Davisson-Germer 实验.
简述理由.
解答 光电效应和 Compton 散射说明了光场的粒子性. 光电效应表明每个光子的能量为 ~!, Compton 散射更进一步说明光子的动量为 h=., 并且说明光子与物质相互作用时, 满足动量守恒与能量守恒.
黑体辐射谱与 Franck-Hertz 实验说明, 黑体 (常描述为一谐振子体系) 与辐射场的能量交换过程、电子与原子的碰撞过程, 能量交换是量子化的, 即原子的能级是量子化的.
Davisson-Germer 实验 (电子在晶体中发生衍射), 则主要表现出电子的波动性,验证了 de Broglie 波长与动量的关系, . = h=p.
1.6 考虑如下实验：一束准平面波电子射向刻有 A、B 两缝的平板, 板外是一装有检测器阵列的屏幕. 利用检测器能定出电子撞击屏幕的位置. 在下列各种情形下, 画出入射电子强度随屏幕位置变化的草图, 给出简单解释.
(1) A 缝开启, B 缝关闭;
(2) B 缝开启, A 缝关闭;
(3) 两缝均开启.
解答 三种情形电子强度随屏幕位置变化的示意图分别如下面图 (1).(3)[为了视觉上明显起见, 图中缝宽和双缝间距都大大夸大了; 同时为了视觉上谐调起见,第 (3) 图双缝干涉随屏幕位置变化图的强度坐标与其余两个强度随屏幕位置变化图相比缩小了 4 倍].
图 1.1 单缝衍射与双缝干涉的强度分布
当 A 缝单独开启时, 屏幕上的电子强度分布 PA (x) 为电子 de Broglie 波在 A缝的单缝衍射强度分布; 同理, B 缝单独开启时, 屏幕上形成 B 缝的电子单缝衍射强度分布 PB (x); 两缝同时开启时, 屏幕上的电子强度分布 PAB (x) 并非前两种情况强度分布的简单叠加, 而是出现了干涉效应, 即 PA (x)+PB (x)+干涉项, 从而显示出电子的波动性.
题 1.7 讨论以下波函数的归一化问题：
(1) 粒子在一维无限深势阱中运动, 设, 求 A 使波函数归一;
(2) 设为已知实常数, 求归一化常数 A;
(3) 设粒子的位置概率分布如何? 能否归一?
(4) 设粒子的位置概率分布如何? 能否归一?
解答 (1) 由于在全空间 (一维) 发现粒子的概率为 1, 应有
由此可得
不妨取 A 为正实数, 则
(2) 同理有
完成 Gauss 积分得
不妨取 A 为正实数, 则
(3) 相对概率密度, 即在空间中任何位置处处相等, 为等概率分布.
若沿用上面的方法来求归一化系数, 则会出现
可见波函数不满足平方可积. 因此波函数不能有限归一, 只能按照 Dirac 所建议的如下归一到*函数
(4) . (x) = ±(x . x0) 是粒子的位置本征函数, 此波函数描述的粒子的位置概率分布为
即, 在 x = x0 处可测得粒子, 在其他位置测不到粒子. 位置本征函数复数平方在全空间的积分
可见波函数不满足平方可积. 因此波函数不能有限归一, 也只能如下归一到 * 函数
定价：60.0
ISBN：9787030488305
作者：张鹏飞，吴强，柳盛典
版次：1
出版时间：2016-06
在线试读：
第 1 章 量子力学的物理基础题
1.1 在宏观世界里, 量子现象常常可以忽略. 对此就下列诸情况, 在数值上加以证明：
(1) 长 l = 1m, 质量 m = 1kg 的单摆的零点振荡的振幅;
(2) 质量 m = 5g, 以速度 10cm/s 向一刚性障碍物 (高 5cm, 宽 1cm) 运动的子弹的透射率;
(3) 质量 m = 0:1kg, 以速度 0.5m/s 运动的钢球被尺寸为 1 ￡ 1:5m2 的窗子所衍射.
解答 (1) 单摆的小幅摆动为简谐振动, 其频率为
谐振子的零点能为 E = ~!2. 设单摆作零点振荡, 其振幅为 A. 当单摆振荡位移达到振幅对应的位置时, 势能达到*大等于振荡能量, 则
这给出
可见宏观振子的零点振荡实际上是不可能观测到的 (零点振荡的振幅也可通过波函数来计算).
(2) 如果把障碍物的宽度看成是势垒的厚度 a, 把子弹透射看成是越过障碍物所设置的重力势垒, 则透射概率 (公式参见第 3 章)
这里 V0 = mgH, E = mv2=2, 则可见透射概率可以忽略.
(3) 入射钢球的 de Broglie 波长为
方形窗的水平和垂直方向的衍射角分别为
可见衍射可以忽略.
题 1.2 用h, e, c, me(电子质量), mp(质子质量) 凑出下列每个量, 给出粗略的数值估计：
(1) Bohr 半径 (cm);
(2) 氢原子结合能 (eV);
(3) Bohr 磁子;
(4) 电子的 Compton 波长 (cm);
(5) 经典电子半径 (cm);
(6) 电子静止能量 (MeV);
(7) 质子静止能量 (MeV);
(8) 精细结构常数a;
(9) 典型的氢原子精细结构分裂 E.
解答 (1) Bohr 半径①
(2) 氢原子结合能
(3) Bohr 磁子
(4) 电子的 Compton 波长
(5) 经典电子半径
(6) 电子静止能量
(7) 质子静止能量
(8) 精细结构常数
(9) 典型的氢原子精细结构能级分裂
题 1.3 导出教材式 (1.12), 验算三个公式中的系数数值.
解答 对非相对论性自由粒子
这里 p, E 分别是其动量和能量, m 为质量. de Broglie 关系
式中 h 为 Planck 常量. 由上两式可以导出
利用组合常量
容易验算
这样
对于光子而言.
同样利用组合常量 (1.4), 给出.
上面式 (1.30) 与 (1.50) 合起来就是教材式 (1.12), 其中 E(对 m 6= 0 的实物粒子, E 为其动能) 的单位为 eV, . 的单位是A.
题 1.4 室温 (T . 300K) 下中子速度为 2200m/s, 计算它的 de Broglie 波长;求出同温度下电子速度, 计算电子的 de Broglie 波长.
解答 由于题给中子速度远小于光速, 故可以用非相对论公式计算其动能
其中用到能量单位换算关系, 1eV = 1:602 176 565￡10.19J. 将上面结果代入教材中式 (1.11), 可得
同温度下由能量均分定理知电子动能为
其中 k = 1:380 6488(13) ￡ 10.23 J ￠ K.1 称为 Boltzmann 常量. 由上式也可算得电子的速度为
由式 (1.11), 可得电子的 de Broglie 波长
题 1.5 指出下列实验中, 哪些实验表明了辐射场的粒子性? 哪些实验主要证明能量交换的量子性? 哪些实验主要表明物质粒子的波动性?
(1) 光电效应;
(2) 黑体辐射谱;
(3) Franck-Hertz 实验;
(4) Compton 散射;
(5) Davisson-Germer 实验.
简述理由.
解答 光电效应和 Compton 散射说明了光场的粒子性. 光电效应表明每个光子的能量为 ~!, Compton 散射更进一步说明光子的动量为 h=., 并且说明光子与物质相互作用时, 满足动量守恒与能量守恒.
黑体辐射谱与 Franck-Hertz 实验说明, 黑体 (常描述为一谐振子体系) 与辐射场的能量交换过程、电子与原子的碰撞过程, 能量交换是量子化的, 即原子的能级是量子化的.
Davisson-Germer 实验 (电子在晶体中发生衍射), 则主要表现出电子的波动性,验证了 de Broglie 波长与动量的关系, . = h=p.
1.6 考虑如下实验：一束准平面波电子射向刻有 A、B 两缝的平板, 板外是一装有检测器阵列的屏幕. 利用检测器能定出电子撞击屏幕的位置. 在下列各种情形下, 画出入射电子强度随屏幕位置变化的草图, 给出简单解释.
(1) A 缝开启, B 缝关闭;
(2) B 缝开启, A 缝关闭;
(3) 两缝均开启.
解答 三种情形电子强度随屏幕位置变化的示意图分别如下面图 (1).(3)[为了视觉上明显起见, 图中缝宽和双缝间距都大大夸大了; 同时为了视觉上谐调起见,第 (3) 图双缝干涉随屏幕位置变化图的强度坐标与其余两个强度随屏幕位置变化图相比缩小了 4 倍].
图 1.1 单缝衍射与双缝干涉的强度分布
当 A 缝单独开启时, 屏幕上的电子强度分布 PA (x) 为电子 de Broglie 波在 A缝的单缝衍射强度分布; 同理, B 缝单独开启时, 屏幕上形成 B 缝的电子单缝衍射强度分布 PB (x); 两缝同时开启时, 屏幕上的电子强度分布 PAB (x) 并非前两种情况强度分布的简单叠加, 而是出现了干涉效应, 即 PA (x)+PB (x)+干涉项, 从而显示出电子的波动性.
题 1.7 讨论以下波函数的归一化问题：
(1) 粒子在一维无限深势阱中运动, 设, 求 A 使波函数归一;
(2) 设为已知实常数, 求归一化常数 A;
(3) 设粒子的位置概率分布如何? 能否归一?
(4) 设粒子的位置概率分布如何? 能否归一?
解答 (1) 由于在全空间 (一维) 发现粒子的概率为 1, 应有
由此可得
不妨取 A 为正实数, 则
(2) 同理有
完成 Gauss 积分得
不妨取 A 为正实数, 则
(3) 相对概率密度, 即在空间中任何位置处处相等, 为等概率分布.
若沿用上面的方法来求归一化系数, 则会出现
可见波函数不满足平方可积. 因此波函数不能有限归一, 只能按照 Dirac 所建议的如下归一到*函数
(4) . (x) = ±(x . x0) 是粒子的位置本征函数, 此波函数描述的粒子的位置概率分布为
即, 在 x = x0 处可测得粒子, 在其他位置测不到粒子. 位置本征函数复数平方在全空间的积分
可见波函数不满足平方可积. 因此波函数不能有限归一, 也只能如下归一到 * 函数