内容简介

微积分及其背后的数学思维是描述、理解和优化不断变化的世界和AI的底层语言。本书是一本可帮助所有数学爱好者理解微积分底层思维的科普书。书中不仅用颇具趣味性的方式介绍了微积分算法，还通过兼具严谨性与趣味性的故事及曾困扰伟大数学家的经典问题，带你与那些数学天才一起重新认识跨越百年的微积分，洞悉天才们的解题思路与创新逻辑，从而真正理解微积分。

本书从戴德金分割对连续统的奠基性探索出发，逐步深入导数的理性之争、泰勒展开的高维延伸、欧拉公式的 “神性”演绎，再到巴塞尔问题的 “封神”解法、微积分基本定理的本质突破，直至最速降线的经典博弈、拉马努金怪兽公式的奇幻魅力、傅里叶与拉普拉斯变换的实用智慧。本书将带你从深度理解公式及其底层逻辑开始，最终跳出公式的桎梏，真正读懂微积分的深层魅力与百年传承的天才们的数学智慧。

无论你是希望深化对微积分本质理解的理工科学生，渴望在教学中有更多思想渗透的教师，追求在严谨逻辑中获得审美愉悦的数学爱好者，还是希望通过微积分与AI对话，用好或者开发好的AI产品的职场人，本书都将为你提供一场既扎实又启发性十足的思维训练。它不满足于告诉你“是什么”，更致力于让你体验天才是“如何想”的，最终理解微积分底层逻辑，提升自己的认知与能力上限，奠定驾驭AI的基础。

目　录

前言

第1章 戴德金分割与连续统 001

1.1 戴德金：那一年我已经死了？001

1.2 对不起，你不能用π来计算 ！　002

1.3 事关生死，捕捉无理数　005

1.4 柯朗眼中的极限和连续　010

1.5 博尔扎诺定理以及介值定理　015

1.6 涌动千年的暗流　019

第2章 遇事不决，泰勒展开 024

2.1 导数的理性之争　024

2.2 从导数演化出的炸裂观点　028

2.3 一个高燃的过程—微分和线性估计　036

2.4 无穷维空间的泰勒公式　038

2.5 那些高维空间的“超立方体”　043

2.6 从余项推导泰勒公式　046

2.7 牛顿在敲棺材板　050

第3章 欧拉公式，以及高斯的解读 056

3.1 欧拉的无聊夜晚：让我们来算个e吧！　056

3.2 接受我们最高的敬畏，“上帝公式”　062

3.3 欧拉公式的几个应用　064

3.4 可是，i究竟是什么？　066

3.5 复平面上的旋转　072

3.6 完美主义者高斯与代数基本定理　074

3.7 纯虚构的数字以及扩域　077

第4章 从无穷级数到巴塞尔问题 083

4.1 千奇百怪的无穷级数　083

4.2 奔跑的乌龟和发散的调和级数　092

4.3 欧拉的“成神”之战—巴塞尔问题　098

4.4 所有的质数都在这个公式里　105

第5章 微积分的基本定理 109

5.1 从无穷级数到积分　109

5.2 终于有了“名分”，黎曼积分　113

5.3 打破枯燥无趣，微积分的基本定理　117

5.4 对圆做些残忍的事　121

5.5 微积分的始祖—祖暅定理　124

5.6 圆锥体和球体的体积　130

第6章 从交错级数到斐波那契数列 135

6.1 完全相反？从无穷级数到交错级数　135

6.2 莱布尼茨的灵感爆发—生成函数　141

6.3 它是收敛的？达朗贝尔判别法　143

6.4 数学家都震惊了！柯西判别法　148

6.5 一个简单但非常重要的概念—收敛半径　152

6.6 用收敛半径来审问泰勒级数　155

第7章 数学豪门，以及曲线问题 159

7.1 一次影响数学史的学术挑战　159

7.2 最速降线问题—约翰·伯努利解法　163

7.3 摆线的表达式　169

7.4 心形曲线和它背后的浪漫故事　174

第8章 连分数及拉马努金的赤子之心 179

8.1 拉马努金的怪兽公式　179

8.2 完成怪兽公式的证明　187

8.3 让我们一起计算高斯积分　195

8.4 有条件的双重积分　200

8.5 用“野路子”求解连分数　203

第9章 拉格朗日和他的常数变易法 210

9.1 微分方程：从“瞪眼法”到“分离变量法”　210

9.2 “大陆学派”的代表—伯努利微分方程　214

9.3 另一种伟大实现—欧拉方法　219

9.4 拉格朗日用11年得到的常数变易法　224

第10章 苍蝇、积分变换及神兽 232

10.1 转盘上的苍蝇　232

10.2 被雪藏了15年的傅里叶变换　235

10.3 令人惊叹的离散傅里叶变换　240

10.4 尴尬而又漂亮的拉普拉斯变换　247

10.5 导数的拉普拉斯变换　250

10.6 利用拉普拉斯变换解微分方程　252

10.7 拉普拉斯的“神兽”　254