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书名：初中数学实验教程（下）
定价：63.0
ISBN：9787030540973
作者：秦勇
版次：1
出版时间：2018-01
内容提要：
要培养学生学习数学的创造能力，就要为学生开启发现数学的畅想之旅。
本教程依循教育部制定颁布的《义务教育数学课程标准(2011年版)》和张景中教育数学思想体系而编著，涵盖了现行主流教材所导入的全部教学精要。
为了强化激活优秀学生的数学潜质和动能，本教程还萃取拓宽了不少在初中学段应该掌握的其他内容，嵌入的素材门类也比较新颖广泛，而课例下的部分习题未直接给出现成的答案。
本教程同步配置了可再生且免费的动态数学课件(软件)，而各种数学软件实属能为学生研究数学的过程提供自主化的实验环境以及新的思维发散空间。
目录：
目录
第22章 概率初步 1
22.1 确定性事件与随机事件 1
22.2 随机事件发生的可能性大小 3
22.3 “概率”定义的形成 4
22.4 用列表法求概率 7
22.5 用树枝结构法求概率 9
22.6 用频率估计概率(Ⅰ)——抛硬币试验 12
22.7 用频率估计概率(Ⅱ)——掷骰子试验 14
22.8 抛豆试验——的几何型估计 16
22.9 布丰投针试验——的几何型估计 18
第23章 反比例函数 22
23.1 反比例函数的概念 22
23.2 探究反比例函数的图象特征 23
23.3 探究反比例函数的性质 26
23.4 反比例函数 的图象和性质 29
23.5 反比例函数图象与三等分角 31
23.6 反比例函数的实际应用 32
23.7 矩形的变与不变 35
23.8 反比例函数图象的平移 36
23.9 反比例函数与分式方程(不等式) 38
23.10 与的图象和性质 40
第24章 一元二次及高次方程 42
24.1 认识一元二次方程 42
24.2 解一元二次方程——配方法 44
24.3 一元二次方程的几何解法 46
24.4 配方法解一元二次方程的一般式 48
24.5 因式分解法解一元二次方程 50
24.6 韦达定理 52
24.7 诡计多端的“a”55
24.8 一元二次方程模型及其应用 56
24.9 一元高次方程和无理方程 59
第25章 二次函数与二元二次方程 63
25.1 认识二次函数 63
25.2 描画二次函数的图象 64
25.3 y=x2，y=x2的图象和性质 66
25.4 y=ax2的图象和性质 67
25.5 y=ax2+c的图象和性质 69
25.6 y=a(x-h)2的图象和性质 71
25.7 y=a(x-h)2+k的图象和性质 73
25.8 y=ax2+bx+c的图象和性质 76
25.9 用待定系数法确定二次函数的表达式 80
25.10 二次函数与一元二次方程 83
25.11 图象夹逼法求解一元二次方程的近似解 87
25.12 实际应用(Ⅰ)——面积 90
25.13 实际应用(Ⅱ)——拱桥与隧道 93
25.14 实际应用(Ⅲ)——经济总量 94
25.15 一次函数、反比例函数和二次函数的定义域和*值问题 96
25.16 二元二次方程组与函数图象的交点问题 99
25.17 半角正弦与二元二次方程 108
第26章 图形的相似 110
26.1 成比例线段 111
26.2 相似图形与相似多边形 112
26.3 平行线分线段成比例 115
26.4 探究三角形相似的条件 116
26.5 黄金分割与黄金比值 119
26.6 相似三角形判定定理的证明 122
26.7 探究相似三角形的性质 128
26.8 相似三角形在户外勘测中的应用 131
26.9 相似三角形在日常生活中的实际应用 135
26.10 图形的位似及其性质 136
26.11 坐标系内图形的位似变换 138
第27章 圆 140
27.1 自行车中的数学 140
27.2 圆的形成过程及其关联名称的定义 142
27.3 圆的对称性质与垂径定理 144
27.4 弧、弦与圆心角的关系 146
27.5 圆周角与圆心角的关系 147
27.6 圆内接四边形与四边形的外接圆 150
27.7 点和圆的位置关系(Ⅰ) 152
27.8 点和圆的位置关系(Ⅱ) 154
27.9 直线与圆的位置关系 159
27.10 切线长定理与多边形的内切圆 163
27.11 圆幂定理及其相关性质 166
27.12 圆与三角形的“五颗心” 171
27.13 圆与圆的位置关系 175
27.14 圆与正多边形的关系 178
27.15 与正多边形有关的计算和作图问题 181
27.16 与圆有关的计算和作图问题 183
第28章 投影与视图 189
28.1 中心投影与平行投影 189
28.2 升降的建筑物 191
28.3 窗框的影子 191
28.4 正投影的性质 192
28.5 三视图 194
第29章 平面向量基础 198
29.1 向量的概念与几何表示 198
29.2 向量的加法运算及其几何意义 200
29.3 向量的减法运算及其几何意义 203
29.4 向量的数乘运算及其几何意义 207
29.5 平面向量的基本定理 211
29.6 平面向量正交分解及坐标表示 215
29.7 平面向量的坐标运算 217
29.8 平面向量共线的坐标表示及定比分点公式 219
29.9 平面向量数量积的物理背景及其含义 222
29.10 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 224
29.11 平面向量应用欣赏 226
参考文献 229
附件：基于Z+Z超级画板融入教学研究与学生实践 231
编后感怀 233
在线试读：
第22章 概率初步
在我们的生活中，有很多事情的结果难以准确预料，同学们或许听说过“天有不测风云，人有旦夕祸福”这句被收入到汉语成语词典的谚语。
同样也有不少关于天气的谚语：朝霞不出门，晚霞行千里；八月十五云遮月，正月十五雪打灯；天上钩钩云，地上雨淋淋；月晕而风，础润而雨；等等，那么这些天气现象一定会出现吗？
有人曾查阅资料发现：美国前36任总统中有两人（波尔克和哈丁）生日一样，三人（亚当斯、门罗、杰斐逊）死在同一天（当然不是同一年）。这种“巧合”现象如何解释呢？
早在1654年，有个叫做梅雷爵士的赌徒向当时的法国数学家帕斯卡(Blaise Pascal，1623-1662)提出一个使他苦恼了很久的问题：两个赌徒相约赌若干局，谁先赢m局就算赢，全部赌本就归谁，但是当其中一个人赢了a(a<m)局，另一个人赢了b(b<m)局的时候，赌博终止，赌本应该如何分配才合理呢？这是*早引发概率(probability)研究的一个著名问题。
1657年，荷兰的天文学家、物理学家、数学家克里斯蒂安·惠更斯(Christian Huygens，1629-1695)出版7《论赌博中的计算》一书，这是*早的概率论著作。然而，使概率论成为数学的一个分支的奠基人之一是瑞士数学家雅各布·伯努利(Jacob Bernoulli，1654-1705)。
人生不需赌博，而要科学决策。这也是概率论能够在博弈学领域大行其道的原因。
课例22.1 确定性事件与随机事件
[问题1]五名同学参加演讲比赛，以抽签方式决定每个人的出场顺序。为了抽签，我们在盒子中放五个看上去完全一样的小纸团。每个纸团里面分别写着表示出场顺序的数字1，2，3，4，5。把纸团充分搅拌后，小辉先随意从盒子中抽取一个纸团。在小辉没有打开纸团之前，请帮助他思考以下的问题：
(1)抽到的数字有几种可能的结果？
(2)抽到的数字小于6吗？
(3)抽到的数字会是0吗？
(4)抽到的数字会是1吗？
[问题2]李彬准备掷一枚质地均匀的骰(tou)子，如图22-1。骰子的六个面上分别刻有1到6的点数。请思考一下问题：他随意骰一次骰子，在骰子向上的一个面上，
(1)可能出现哪些点数？
(2)出现的点数大于0吗？
(3)出现的点数会是10吗？
(4)出现的点数一定是4吗？
图22-1
注：骰子俗称“色子”，标准的骰子都是正方体形，每面上都有若干个点，其点数分别为1，2，3，4，5，6。相对两面的点数之和均为7，这样骰子的6个面可以分为三对。
只有正多面体才能制成骰子，因为它们具有对称性，使得每个点数出现是等可能的。
[教学互鉴]
以上的两个问题实践操作很强，无论是师生之间，还是同学之间都可以在课堂上通过“抽签”或“掷骰子”推理试验完成。预设答案反而束缚学生思维开放度。
[解析化归]
在一定条件下，有些事件必然会发生。例如，[问题1]中“抽到的数字小于6”，[问题2]中“出现的点数大于0”，这样的事件称为必然事件(certain event)。相反地，有些事件必然不会发生，例如，[问题1]中“抽到的数字是0”，问题2中“出现的点数是10”，这样的事件称为不可能事件(impossible event)。
必然事件与不可能事件统称为确定性事件(deterministic event)。
在一定条件下，有些事件有可能发生，也有可能不发生，事先无法确定，例如，[问题1]中“抽到的数字是1”，[问题2]中“出现的点数是4”，这两个事件是否发生事先不能确定。在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件(random event)。
[借题发挥]
1.本课例的两个问题都是生活中经常遇到f向随机试验，那么随机试验有怎样的特点？
提示：能够预知所有可能出现的结果，但每次试验之前又不能判断出现哪种结果。
2.在随机试验过程中，为了保证结果的公平性而必须设置一些不受人为因素干扰的条件。请列举出[问题1]和[问题2]中满足随机所必须的条件。
[问题1]提示：
(1)看上去完全一样；
(2)充分搅拌；
(3)随意从盒中抽取；
(4)同一而不是双重标准。
[问题2]提示：
(1)质地均匀；
(2)随意投掷；
(3)同一而不是双重标准。
3.指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件。
(1)通常（标准大气压下）加热到lOO℃时，水沸腾；
(2)掷一枚骰子，向上一面的点数是1；
(3)小明任意画了一个三角形，其内角和是168°；
(4)水滴石穿，绳锯木断；
(5)只要功夫深，铁杵磨成绣花针；
(6)小淘昨天晚上做了一个梦——梦到白己这次期末数学考试成绩名列班上第*名，
课例22.2 随机事件发生的可能性大小
袋子中装有4个黑球、2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别。存看不到球的条件下，随机从袋子中摸出1个球。
(1)这个球是白球还是黑球？
(2)如果两种球都有可能被摸出，那么摸出黑球和摸出白球的可能性一样大吗？
[教学互鉴]
本课例*好通过传统方式试验表达。
这个问题的实践操作性很强。建议教师在上课之前准备好几个装有6个乒乓球的袋子，分别用墨水染黑每个袋子中的4个球。能够像玩魔术一样一起与学生互动试验，也可以让学生分组互动试验。
每名同学随机从袋子中摸出1个球，记下颜色，然后把球重新放回袋子并摇匀，*后汇总全班同学摸球的结果并把结果填在下表中。
比较表中记录的数字大小，结果与你事先判断的结果一致吗？
[解析化归]
在摸球的活动中，“摸出黑球”和“摸出白球”是两个随机事件。一次摸球町能发生“摸出白球”，也可能发生“摸出黑球”，事先不能确定哪个事件发生。
由于两种颜色球的数量不等，所以“摸出黑球”与“摸出白球”的町能性大小不一样， “摸出黑球”的町能性大于“摸出白球”的可能性。而且对任何确定次数的摸球，都存在摸出黑球多出白球的‘可能牲，这是由试验的随机性决定的。
一般地，随机事件发生的可能性是有大小的。那么，随着摸球次数的增加，“摸出黑球”与“摸出白球”次数的比值会怎样变化？
[借题发挥]
1.能否通过改变袋子中某种颜色的球的数量，使“摸出黑球”和“摸出白球”的可能性大小相同？这种事件在什么条件下不会发生？
2.一个袋中有2个红球、2个白球，每个球除颜色外都相同。任意摸出一个球，摸到哪种颜色球的可能性大？说说你的理由。
3.已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为3：7。如果从太空飞来一块陨石落在地球上，那么“落在陆地上”与“落在海洋里”的可能性哪种较大？
4.如图22-2.有一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在A，B，C哪个区域的可能性大？说明你的理由。
图22-2
课例22.3 “概率”定义的形成
对随机事件发生可能性的大小既可以作定性描述，更需要作定量研究。
在同样条件下，某一随机事件可能发生也可能不发生。那么，它发生的可能性究竟有多大？能否用数值刻画可能性的大小呢？
在课例22.1的[问题1]中，从分别写有数字1，2，3，4，5的五个小纸团中随机抽取一个，这个纸团里的数字有五种可能，凶为纸团看上去一样，又是随机抽取，所以每个数字被抽到的可能性大小相等，我们用表示每一个数字被抽到的可能性大小。
在课例22.1的[问题2]中，掷一枚骰子，朝上一个面的点数有6种可能。因为骰子形状规则、质地均匀，又是随机掷出，所以每种点数出现的可能性大小相等，我们用表示每一种点数出现的可能性大小。
数值和刻画了试验中相应随机事件发生的可能性大小。一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件发生的概率，记为P（A）。这也是概率的古典定义。
课例22.1的[问题1]和[问题2]的随机试验有两个共同的特征：
(1)每一次试验中，只有有限个可能出现的结果数值；
(2)每一次试验中，各种结果出现的可能性机会相等，
·数学上把具备元素布限且出现可能性相等的数学模型称为古典概率模型(classical models of probability)。
对于具有上述特征的随机试验，我们用事件所包含的各种可能的结果个数在全部可能的结果总数中所占的比，表示事件发生的概率。这是*一一种给出有效计算方法的定义。例如，在抽签试验中，“抽到1”这个事件只包含一种可能的结果，而全部的可能结果有五种，所以其占比为；在掷骰子试验中，在“点数1朝上”这个事件中只包含一种可能的结果，而全部的可能结果有六种，所以其占比为。于是两个事件的概率分别是P（抽到1），P（点数1朝上）。
直接用事件所包含的各种可能结果个数表示事件发生可能性的大小是否合适？
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)=，在P(A)=中，由m和n的含义，可知0≤m≤n，进而有，因此0≤P(4)≤1。特别地，当A为必然事件时，P(A)=1；当4为不可能事件时，P(4)=0。
当然，事件发生的可能性越大，它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，它的概率越靠近0。不妨用图22-3加以诠释。
[例1]掷一枚质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，求下列事件的概率：
(1)点数为4；(2)点数为偶数；(3)点数大于2且小于7。
[解析作答]
掷一枚质地均匀的骰子时，向上一面的点数可能为1，2，3，4，5，6，共有六种，这些点数出现的可能性相等。
(1)点数为4有一种可能，因此P（点数为4）。
(2)点数为偶数有3种可能，即点数为2，4，6，因此P（点数为偶数）
(3)点数大于2且于7有4种可能，即点数3，4，5，6，因此P（大于2且小于7）。
[例2]如图22-4是一个可以自由转动的转盘，转盘分成7个大小相同的扇形，颜色分为红、绿、黄三种颜色。指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），求下列事件的概率：
(1)指针指向红色；
(2)指针指向红色或黄色；
(3)指针不指向红色。
[解析作答]
问题中可能出现的结果有七种，即指针可能指向七个扇形中的任何一个。因力这七个扇形大小相同，转动的转盘又是自由停止，所以指针指向每个扇形的可能性相等。
按颜色把七个扇形分别记为：红1，红2，红3，绿l，绿2，黄1，黄2。所有可能结果的总数为7，并且它们出现的可能性相等。
(1)指针指向红色（记为事件A）的结果有三种，即红1，红2，红3，因此P(A)。
(2)指针指向红色或黄色(记为事件B的结果有五种，即红1，红2，红3，黄1，黄2，因此P(B)。
(3)指针不指向红色（记为事件c）的结果有四种，即绿1，绿2，黄1，黄2，因此
(1)(3)两个答案加起来刚好等于1。“指向红色”与“不指向红色”两个事件包含了所有可能的试验结果，相互对立且不含有公共部分，所以它们的概率和为1，这两个事件称为对立事件(contrary event)。
为什么以每一个扇形为一种结果，而不以每一种颜色为一种结果呢？
能否把事件颜色所对应的圆心角度数与周角360°的比值作为相应事件的概率呢？
[借题发挥]
1.判断题。在正确命题语句后的括弧内打“√”，在错误命题语句后的括弧内打“x”。
(1)简单随机试验的前提条件是所有可能结果的种数有限，且各种结果等。可能发生。( )
(2)必然事什发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0，随机事件发生的概率为0<P（A）<1。( )
(3)概率为1的事件一定是必然事件，概率为0的事件为不可能事件。( )
2.“一枚骰子抛掷一次得到1的概率是，这说明一枚骰子抛掷6次就会出现一次1”，这种说法对吗？谈谈你的理由。
3.10件外观相同的产品中有1件不合格。现从中随机抽取一件进行检测，抽到不合格产品的概率为多少？
4.如图22-5是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，被分成12个相同的扇形。请你在转盘的适当地方涂上密集的横线、竖线阴影，使得转动的转盘停止时，指针指向横线、竖线阴影所在的扇形的概率分别为。
图22-5
5.(1)单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确的答案。如果某位考生掌握了考查内容，他可以选择*一正确的答案。假设这位考生不会做，他随机地选择一个答案，那么他答错的概率是多少？答对的概率是多少？
(2)多选题也是标准化考试中常用的题型，多选题是从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案，同学们可能有一种感觉，如果不知道正确答案，多选题更难以猜对，这是为什么？
6.不透明袋子中有5个红球、4个绿球、3个蓝球，这些球除颜色外无其他差别，现从袋子中随机取山1个球。
(1)能够事先确定取出的球是哪种颜色吗？
(2)取出每种颜色的球的概率相等吗？为什么？
(3)取出哪种颜色的球的概率*小？
(4)如何改变各色球的数目，使取出每种颜色的球的概率都相等？（请提出两种方案）
7.只有一张电影票，小明和小刚想通过抽取扑克牌的方式来决定谁去看电影，现有一副扑克牌，请你设计对小明和小刚都公平的抽签方案，你能设计出哪几种？
8.盒中有x枚黑棋子和y枚白棋子，这些棋子除颜色外无其他差别。
(1)从盒中随机抽取一枚棋子，如果它是黑棋子的概率是，写出表示x和y关系的表达式。
(2)往盒中再放进10枚黑棋子，取得黑棋子的概率变为，求x和y的值。
9.(1)如果某地明天降雨概率为20%，后天降雨概率为70%，当地居民这两天中哪一天出门时更有可能会带伞？
(2)生活中，我们经常听到有人抱怨：“天气预报说昨天降水概率为90%，结果连一点雨都没有下，天气预报也太不准确了。”你能给出合理的解释吗？
*10.赌博决策
你愿意选择哪种赌博方案，A或B?
A.的几率赢得80000美元；
B.的几率赢得30000美元，
现在假设你必须选择下面一种赌博方案，你会怎样选择?C或D?
C.50%的几率赢得10000美元，50%的可能性输10000美元；
D.不输不赢。
定价：63.0
ISBN：9787030540973
作者：秦勇
版次：1
出版时间：2018-01
内容提要：
要培养学生学习数学的创造能力，就要为学生开启发现数学的畅想之旅。
本教程依循教育部制定颁布的《义务教育数学课程标准(2011年版)》和张景中教育数学思想体系而编著，涵盖了现行主流教材所导入的全部教学精要。
为了强化激活优秀学生的数学潜质和动能，本教程还萃取拓宽了不少在初中学段应该掌握的其他内容，嵌入的素材门类也比较新颖广泛，而课例下的部分习题未直接给出现成的答案。
本教程同步配置了可再生且免费的动态数学课件(软件)，而各种数学软件实属能为学生研究数学的过程提供自主化的实验环境以及新的思维发散空间。
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第22章 概率初步 1
22.1 确定性事件与随机事件 1
22.2 随机事件发生的可能性大小 3
22.3 “概率”定义的形成 4
22.4 用列表法求概率 7
22.5 用树枝结构法求概率 9
22.6 用频率估计概率(Ⅰ)——抛硬币试验 12
22.7 用频率估计概率(Ⅱ)——掷骰子试验 14
22.8 抛豆试验——的几何型估计 16
22.9 布丰投针试验——的几何型估计 18
第23章 反比例函数 22
23.1 反比例函数的概念 22
23.2 探究反比例函数的图象特征 23
23.3 探究反比例函数的性质 26
23.4 反比例函数 的图象和性质 29
23.5 反比例函数图象与三等分角 31
23.6 反比例函数的实际应用 32
23.7 矩形的变与不变 35
23.8 反比例函数图象的平移 36
23.9 反比例函数与分式方程(不等式) 38
23.10 与的图象和性质 40
第24章 一元二次及高次方程 42
24.1 认识一元二次方程 42
24.2 解一元二次方程——配方法 44
24.3 一元二次方程的几何解法 46
24.4 配方法解一元二次方程的一般式 48
24.5 因式分解法解一元二次方程 50
24.6 韦达定理 52
24.7 诡计多端的“a”55
24.8 一元二次方程模型及其应用 56
24.9 一元高次方程和无理方程 59
第25章 二次函数与二元二次方程 63
25.1 认识二次函数 63
25.2 描画二次函数的图象 64
25.3 y=x2，y=x2的图象和性质 66
25.4 y=ax2的图象和性质 67
25.5 y=ax2+c的图象和性质 69
25.6 y=a(x-h)2的图象和性质 71
25.7 y=a(x-h)2+k的图象和性质 73
25.8 y=ax2+bx+c的图象和性质 76
25.9 用待定系数法确定二次函数的表达式 80
25.10 二次函数与一元二次方程 83
25.11 图象夹逼法求解一元二次方程的近似解 87
25.12 实际应用(Ⅰ)——面积 90
25.13 实际应用(Ⅱ)——拱桥与隧道 93
25.14 实际应用(Ⅲ)——经济总量 94
25.15 一次函数、反比例函数和二次函数的定义域和*值问题 96
25.16 二元二次方程组与函数图象的交点问题 99
25.17 半角正弦与二元二次方程 108
第26章 图形的相似 110
26.1 成比例线段 111
26.2 相似图形与相似多边形 112
26.3 平行线分线段成比例 115
26.4 探究三角形相似的条件 116
26.5 黄金分割与黄金比值 119
26.6 相似三角形判定定理的证明 122
26.7 探究相似三角形的性质 128
26.8 相似三角形在户外勘测中的应用 131
26.9 相似三角形在日常生活中的实际应用 135
26.10 图形的位似及其性质 136
26.11 坐标系内图形的位似变换 138
第27章 圆 140
27.1 自行车中的数学 140
27.2 圆的形成过程及其关联名称的定义 142
27.3 圆的对称性质与垂径定理 144
27.4 弧、弦与圆心角的关系 146
27.5 圆周角与圆心角的关系 147
27.6 圆内接四边形与四边形的外接圆 150
27.7 点和圆的位置关系(Ⅰ) 152
27.8 点和圆的位置关系(Ⅱ) 154
27.9 直线与圆的位置关系 159
27.10 切线长定理与多边形的内切圆 163
27.11 圆幂定理及其相关性质 166
27.12 圆与三角形的“五颗心” 171
27.13 圆与圆的位置关系 175
27.14 圆与正多边形的关系 178
27.15 与正多边形有关的计算和作图问题 181
27.16 与圆有关的计算和作图问题 183
第28章 投影与视图 189
28.1 中心投影与平行投影 189
28.2 升降的建筑物 191
28.3 窗框的影子 191
28.4 正投影的性质 192
28.5 三视图 194
第29章 平面向量基础 198
29.1 向量的概念与几何表示 198
29.2 向量的加法运算及其几何意义 200
29.3 向量的减法运算及其几何意义 203
29.4 向量的数乘运算及其几何意义 207
29.5 平面向量的基本定理 211
29.6 平面向量正交分解及坐标表示 215
29.7 平面向量的坐标运算 217
29.8 平面向量共线的坐标表示及定比分点公式 219
29.9 平面向量数量积的物理背景及其含义 222
29.10 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 224
29.11 平面向量应用欣赏 226
参考文献 229
附件：基于Z+Z超级画板融入教学研究与学生实践 231
编后感怀 233
在线试读：
第22章 概率初步
在我们的生活中，有很多事情的结果难以准确预料，同学们或许听说过“天有不测风云，人有旦夕祸福”这句被收入到汉语成语词典的谚语。
同样也有不少关于天气的谚语：朝霞不出门，晚霞行千里；八月十五云遮月，正月十五雪打灯；天上钩钩云，地上雨淋淋；月晕而风，础润而雨；等等，那么这些天气现象一定会出现吗？
有人曾查阅资料发现：美国前36任总统中有两人（波尔克和哈丁）生日一样，三人（亚当斯、门罗、杰斐逊）死在同一天（当然不是同一年）。这种“巧合”现象如何解释呢？
早在1654年，有个叫做梅雷爵士的赌徒向当时的法国数学家帕斯卡(Blaise Pascal，1623-1662)提出一个使他苦恼了很久的问题：两个赌徒相约赌若干局，谁先赢m局就算赢，全部赌本就归谁，但是当其中一个人赢了a(a<m)局，另一个人赢了b(b<m)局的时候，赌博终止，赌本应该如何分配才合理呢？这是*早引发概率(probability)研究的一个著名问题。
1657年，荷兰的天文学家、物理学家、数学家克里斯蒂安·惠更斯(Christian Huygens，1629-1695)出版7《论赌博中的计算》一书，这是*早的概率论著作。然而，使概率论成为数学的一个分支的奠基人之一是瑞士数学家雅各布·伯努利(Jacob Bernoulli，1654-1705)。
人生不需赌博，而要科学决策。这也是概率论能够在博弈学领域大行其道的原因。
课例22.1 确定性事件与随机事件
[问题1]五名同学参加演讲比赛，以抽签方式决定每个人的出场顺序。为了抽签，我们在盒子中放五个看上去完全一样的小纸团。每个纸团里面分别写着表示出场顺序的数字1，2，3，4，5。把纸团充分搅拌后，小辉先随意从盒子中抽取一个纸团。在小辉没有打开纸团之前，请帮助他思考以下的问题：
(1)抽到的数字有几种可能的结果？
(2)抽到的数字小于6吗？
(3)抽到的数字会是0吗？
(4)抽到的数字会是1吗？
[问题2]李彬准备掷一枚质地均匀的骰(tou)子，如图22-1。骰子的六个面上分别刻有1到6的点数。请思考一下问题：他随意骰一次骰子，在骰子向上的一个面上，
(1)可能出现哪些点数？
(2)出现的点数大于0吗？
(3)出现的点数会是10吗？
(4)出现的点数一定是4吗？
图22-1
注：骰子俗称“色子”，标准的骰子都是正方体形，每面上都有若干个点，其点数分别为1，2，3，4，5，6。相对两面的点数之和均为7，这样骰子的6个面可以分为三对。
只有正多面体才能制成骰子，因为它们具有对称性，使得每个点数出现是等可能的。
[教学互鉴]
以上的两个问题实践操作很强，无论是师生之间，还是同学之间都可以在课堂上通过“抽签”或“掷骰子”推理试验完成。预设答案反而束缚学生思维开放度。
[解析化归]
在一定条件下，有些事件必然会发生。例如，[问题1]中“抽到的数字小于6”，[问题2]中“出现的点数大于0”，这样的事件称为必然事件(certain event)。相反地，有些事件必然不会发生，例如，[问题1]中“抽到的数字是0”，问题2中“出现的点数是10”，这样的事件称为不可能事件(impossible event)。
必然事件与不可能事件统称为确定性事件(deterministic event)。
在一定条件下，有些事件有可能发生，也有可能不发生，事先无法确定，例如，[问题1]中“抽到的数字是1”，[问题2]中“出现的点数是4”，这两个事件是否发生事先不能确定。在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件(random event)。
[借题发挥]
1.本课例的两个问题都是生活中经常遇到f向随机试验，那么随机试验有怎样的特点？
提示：能够预知所有可能出现的结果，但每次试验之前又不能判断出现哪种结果。
2.在随机试验过程中，为了保证结果的公平性而必须设置一些不受人为因素干扰的条件。请列举出[问题1]和[问题2]中满足随机所必须的条件。
[问题1]提示：
(1)看上去完全一样；
(2)充分搅拌；
(3)随意从盒中抽取；
(4)同一而不是双重标准。
[问题2]提示：
(1)质地均匀；
(2)随意投掷；
(3)同一而不是双重标准。
3.指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件。
(1)通常（标准大气压下）加热到lOO℃时，水沸腾；
(2)掷一枚骰子，向上一面的点数是1；
(3)小明任意画了一个三角形，其内角和是168°；
(4)水滴石穿，绳锯木断；
(5)只要功夫深，铁杵磨成绣花针；
(6)小淘昨天晚上做了一个梦——梦到白己这次期末数学考试成绩名列班上第*名，
课例22.2 随机事件发生的可能性大小
袋子中装有4个黑球、2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别。存看不到球的条件下，随机从袋子中摸出1个球。
(1)这个球是白球还是黑球？
(2)如果两种球都有可能被摸出，那么摸出黑球和摸出白球的可能性一样大吗？
[教学互鉴]
本课例*好通过传统方式试验表达。
这个问题的实践操作性很强。建议教师在上课之前准备好几个装有6个乒乓球的袋子，分别用墨水染黑每个袋子中的4个球。能够像玩魔术一样一起与学生互动试验，也可以让学生分组互动试验。
每名同学随机从袋子中摸出1个球，记下颜色，然后把球重新放回袋子并摇匀，*后汇总全班同学摸球的结果并把结果填在下表中。
比较表中记录的数字大小，结果与你事先判断的结果一致吗？
[解析化归]
在摸球的活动中，“摸出黑球”和“摸出白球”是两个随机事件。一次摸球町能发生“摸出白球”，也可能发生“摸出黑球”，事先不能确定哪个事件发生。
由于两种颜色球的数量不等，所以“摸出黑球”与“摸出白球”的町能性大小不一样， “摸出黑球”的町能性大于“摸出白球”的可能性。而且对任何确定次数的摸球，都存在摸出黑球多出白球的‘可能牲，这是由试验的随机性决定的。
一般地，随机事件发生的可能性是有大小的。那么，随着摸球次数的增加，“摸出黑球”与“摸出白球”次数的比值会怎样变化？
[借题发挥]
1.能否通过改变袋子中某种颜色的球的数量，使“摸出黑球”和“摸出白球”的可能性大小相同？这种事件在什么条件下不会发生？
2.一个袋中有2个红球、2个白球，每个球除颜色外都相同。任意摸出一个球，摸到哪种颜色球的可能性大？说说你的理由。
3.已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为3：7。如果从太空飞来一块陨石落在地球上，那么“落在陆地上”与“落在海洋里”的可能性哪种较大？
4.如图22-2.有一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在A，B，C哪个区域的可能性大？说明你的理由。
图22-2
课例22.3 “概率”定义的形成
对随机事件发生可能性的大小既可以作定性描述，更需要作定量研究。
在同样条件下，某一随机事件可能发生也可能不发生。那么，它发生的可能性究竟有多大？能否用数值刻画可能性的大小呢？
在课例22.1的[问题1]中，从分别写有数字1，2，3，4，5的五个小纸团中随机抽取一个，这个纸团里的数字有五种可能，凶为纸团看上去一样，又是随机抽取，所以每个数字被抽到的可能性大小相等，我们用表示每一个数字被抽到的可能性大小。
在课例22.1的[问题2]中，掷一枚骰子，朝上一个面的点数有6种可能。因为骰子形状规则、质地均匀，又是随机掷出，所以每种点数出现的可能性大小相等，我们用表示每一种点数出现的可能性大小。
数值和刻画了试验中相应随机事件发生的可能性大小。一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件发生的概率，记为P（A）。这也是概率的古典定义。
课例22.1的[问题1]和[问题2]的随机试验有两个共同的特征：
(1)每一次试验中，只有有限个可能出现的结果数值；
(2)每一次试验中，各种结果出现的可能性机会相等，
·数学上把具备元素布限且出现可能性相等的数学模型称为古典概率模型(classical models of probability)。
对于具有上述特征的随机试验，我们用事件所包含的各种可能的结果个数在全部可能的结果总数中所占的比，表示事件发生的概率。这是*一一种给出有效计算方法的定义。例如，在抽签试验中，“抽到1”这个事件只包含一种可能的结果，而全部的可能结果有五种，所以其占比为；在掷骰子试验中，在“点数1朝上”这个事件中只包含一种可能的结果，而全部的可能结果有六种，所以其占比为。于是两个事件的概率分别是P（抽到1），P（点数1朝上）。
直接用事件所包含的各种可能结果个数表示事件发生可能性的大小是否合适？
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)=，在P(A)=中，由m和n的含义，可知0≤m≤n，进而有，因此0≤P(4)≤1。特别地，当A为必然事件时，P(A)=1；当4为不可能事件时，P(4)=0。
当然，事件发生的可能性越大，它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，它的概率越靠近0。不妨用图22-3加以诠释。
[例1]掷一枚质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，求下列事件的概率：
(1)点数为4；(2)点数为偶数；(3)点数大于2且小于7。
[解析作答]
掷一枚质地均匀的骰子时，向上一面的点数可能为1，2，3，4，5，6，共有六种，这些点数出现的可能性相等。
(1)点数为4有一种可能，因此P（点数为4）。
(2)点数为偶数有3种可能，即点数为2，4，6，因此P（点数为偶数）
(3)点数大于2且于7有4种可能，即点数3，4，5，6，因此P（大于2且小于7）。
[例2]如图22-4是一个可以自由转动的转盘，转盘分成7个大小相同的扇形，颜色分为红、绿、黄三种颜色。指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），求下列事件的概率：
(1)指针指向红色；
(2)指针指向红色或黄色；
(3)指针不指向红色。
[解析作答]
问题中可能出现的结果有七种，即指针可能指向七个扇形中的任何一个。因力这七个扇形大小相同，转动的转盘又是自由停止，所以指针指向每个扇形的可能性相等。
按颜色把七个扇形分别记为：红1，红2，红3，绿l，绿2，黄1，黄2。所有可能结果的总数为7，并且它们出现的可能性相等。
(1)指针指向红色（记为事件A）的结果有三种，即红1，红2，红3，因此P(A)。
(2)指针指向红色或黄色(记为事件B的结果有五种，即红1，红2，红3，黄1，黄2，因此P(B)。
(3)指针不指向红色（记为事件c）的结果有四种，即绿1，绿2，黄1，黄2，因此
(1)(3)两个答案加起来刚好等于1。“指向红色”与“不指向红色”两个事件包含了所有可能的试验结果，相互对立且不含有公共部分，所以它们的概率和为1，这两个事件称为对立事件(contrary event)。
为什么以每一个扇形为一种结果，而不以每一种颜色为一种结果呢？
能否把事件颜色所对应的圆心角度数与周角360°的比值作为相应事件的概率呢？
[借题发挥]
1.判断题。在正确命题语句后的括弧内打“√”，在错误命题语句后的括弧内打“x”。
(1)简单随机试验的前提条件是所有可能结果的种数有限，且各种结果等。可能发生。( )
(2)必然事什发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0，随机事件发生的概率为0<P（A）<1。( )
(3)概率为1的事件一定是必然事件，概率为0的事件为不可能事件。( )
2.“一枚骰子抛掷一次得到1的概率是，这说明一枚骰子抛掷6次就会出现一次1”，这种说法对吗？谈谈你的理由。
3.10件外观相同的产品中有1件不合格。现从中随机抽取一件进行检测，抽到不合格产品的概率为多少？
4.如图22-5是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，被分成12个相同的扇形。请你在转盘的适当地方涂上密集的横线、竖线阴影，使得转动的转盘停止时，指针指向横线、竖线阴影所在的扇形的概率分别为。
图22-5
5.(1)单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确的答案。如果某位考生掌握了考查内容，他可以选择*一正确的答案。假设这位考生不会做，他随机地选择一个答案，那么他答错的概率是多少？答对的概率是多少？
(2)多选题也是标准化考试中常用的题型，多选题是从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案，同学们可能有一种感觉，如果不知道正确答案，多选题更难以猜对，这是为什么？
6.不透明袋子中有5个红球、4个绿球、3个蓝球，这些球除颜色外无其他差别，现从袋子中随机取山1个球。
(1)能够事先确定取出的球是哪种颜色吗？
(2)取出每种颜色的球的概率相等吗？为什么？
(3)取出哪种颜色的球的概率*小？
(4)如何改变各色球的数目，使取出每种颜色的球的概率都相等？（请提出两种方案）
7.只有一张电影票，小明和小刚想通过抽取扑克牌的方式来决定谁去看电影，现有一副扑克牌，请你设计对小明和小刚都公平的抽签方案，你能设计出哪几种？
8.盒中有x枚黑棋子和y枚白棋子，这些棋子除颜色外无其他差别。
(1)从盒中随机抽取一枚棋子，如果它是黑棋子的概率是，写出表示x和y关系的表达式。
(2)往盒中再放进10枚黑棋子，取得黑棋子的概率变为，求x和y的值。
9.(1)如果某地明天降雨概率为20%，后天降雨概率为70%，当地居民这两天中哪一天出门时更有可能会带伞？
(2)生活中，我们经常听到有人抱怨：“天气预报说昨天降水概率为90%，结果连一点雨都没有下，天气预报也太不准确了。”你能给出合理的解释吗？
*10.赌博决策
你愿意选择哪种赌博方案，A或B?
A.的几率赢得80000美元；
B.的几率赢得30000美元，
现在假设你必须选择下面一种赌博方案，你会怎样选择?C或D?
C.50%的几率赢得10000美元，50%的可能性输10000美元；
D.不输不赢。