商品详情
书名：线性代数
定价：37.0
ISBN：9787030506627
作者：李福乐
版次：1
出版时间：2018-01
内容提要：
本书较全面地介绍了线性代数的主要内容.全书共7章，分别介绍了行列式、n维向量、矩阵、线性方程组、方阵的特征值和特征向量、二次型以及线性空间与线性变换.每章末配有一定数量的习题，并在书后附有习题参考答案.每章后面都附有一篇阅读材料，或介绍一则基础知识，或给出一种重要方法，以便于查阅和开阔视野.
目录：
目录
前言
**章行列式1
1.1行列式的概念1
1.2行列式的性质5
1.3行列式的展开定理10
1.4克拉默法则14
1.5*拉普拉斯定理与行列式的乘法16
习题118
阅读材料1连加号“∑”与连乘号“∏”20
第二章n维向量22
2.1n维向量的定义和运算22
2.2向量的线性相关性25
2.3向量的内积33
习题239
阅读材料2数域和数环40
第三章矩阵42
3.1矩阵的基本概念42
3.2矩阵的基本运算44
3.3逆矩阵50
3.4矩阵的初等变换与初等矩阵53
3.5矩阵的秩61
3.6*分块矩阵66
习题373
阅读材料3分块矩阵的初等变换及其应用76
第四章线性方程组78
4.1基本概念78
4.2齐次线性方程组80
4.3非齐次线性方程组84
习题488
阅读材料4无解线性方程组的*小二乘解91
第五章方阵的特征值和特征向量94
5.1定义与求法94
5.2方阵的相似关系和对角化问题98
5.3实对称矩阵的正交对角化101
习题5105
阅读材料5若当(Jordan)标准形介绍107
第六章二次型110
6.1二次型及其矩阵表示110
6.2标准形及其求法113
6.3正定二次型和正定矩阵120
习题6122
阅读材料6正定二次型及其他123
第七章*线性空间与线性变换125
7.1线性空间的基本概念125
7.2基与坐标127
7.3基变换与坐标变换131
7.4线性变换134
7.5线性变换的矩阵137
习题7141
阅读材料7集合与映射143
自测题145
习题参考答案159
自测题参考答案与提示168
参考文献194
**章行列式1
1.1行列式的概念1
1.2行列式的性质5
1.3行列式的展开定理10
1.4克拉默法则14
1.5*拉普拉斯定理与行列式的乘法16
习题118
阅读材料1连加号“∑”与连乘号“∏”20
第二章n维向量22
2.1n维向量的定义和运算22
2.2向量的线性相关性25
2.3向量的内积33
习题239
阅读材料2数域和数环40
第三章矩阵42
3.1矩阵的基本概念42
3.2矩阵的基本运算44
3.3逆矩阵50
3.4矩阵的初等变换与初等矩阵53
3.5矩阵的秩61
3.6*分块矩阵66
习题373
阅读材料3分块矩阵的初等变换及其应用76
第四章线性方程组78
4.1基本概念78
4.2齐次线性方程组80
4.3非齐次线性方程组84
习题488
阅读材料4无解线性方程组的*小二乘解90
第五章方阵的特征值和特征向量93
5.1定义与求法93
5.2方阵的相似关系和对角化问题97
5.3实对称矩阵的正交对角化100
习题5105
阅读材料5若当(Jordan)标准形介绍106
第六章二次型109
6.1二次型及其矩阵表示109
6.2标准形及其求法112
6.3正定二次型和正定矩阵119
习题6121
阅读材料6正定二次型及其他122
第七章*线性空间与线性变换124
7.1线性空间的基本概念124
7.2基与坐标126
7.3基变换与坐标变换130
7.4线性变换133
7.5线性变换的矩阵136
习题7140
阅读材料7集合与映射142
自测题144
习题参考答案158
自测题参考答案与提示167
参考文献193
在线试读：
**章行列式
中学数学中一个非常重要的内容就是一次方程(组),从一元一次方程、二元一次方程组、三元一次方程组到较为多元的一次方程组,解法往往是换元、替代或高斯消元.对于多元一次方程组而言,用中学的方法求解显然是比较繁杂的,所以进一步研究一次方程组的解法是很有必要的,而行列式是研究一次方程组的重要数学工具之一.本章在对行列式概念和性质讨论的基础上,深入阐述行列式的展开定理和克拉默法则,并介绍拉普拉斯定理与行列式乘法.
1.1行列式的概念
一、 排列和逆序数
在给出行列式定义之前,首先介绍排列的有关概念和结论.先看一个例子.
例1用1,2,3三个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数？
解有6个不同的三位数,它们是：123,132,213,231,312,321.
同理,对于n个不同的数字,也可以作类似的排列.
定义1由n个正整数1,2,…,n组成的一个有序数组称为一个n元排列.
一般常用j1j2…jn表示一个n元排列,其中j1是该排列的第1个数,j2是该排列的第2个数,依此类推.显然,由数集{1,2,…,n}组成的所有n元排列的种数为n!.下面用逆序来对排列进行分类.
定义2在一个排列中,若有一个大数排在一个小数之前(即左边),则称这两个数构成该排列的一个逆序(反序).一个排列中逆序的总数,称为该排列的逆序数(反序数),记作τ(j1j2…jn).逆序数是偶数的排列称为偶排列,逆序数是奇数的排列称为奇排列.
接下来讨论排列j1j2…jn的逆序数的计算.考虑排列中的第k个位置上的数jk(k=1,2,…,n),如果比jk大的且排在jk前面的数有ak个,则由jk构成的逆序数就是ak,由此可得该排列的逆序数就是
例2求排列24135的逆序数.
解在该排列中,2排在首位,逆序数a1=0；4的前面比4大的数没有,逆序数a2=0；1的前面比1大的数有2和4,逆序数a3=2；3的前面比3大的数有4,逆序数a4=1；5的前面比5大的数没有,逆序数a5=0.所以该排列的逆序数τ(24135)=0+0+2+1+0=3.
二、 二阶与三阶行列式在线性代数发展的过程中,行列式的研究源于对线性方程组的研究.例如,在中学时求解二元一次线性方程组 (1)
用加减消元法不难求出,当a11a22≠a12a21时,得到解
(2)
现把方程组(1)中的未知数系数按照下标次序排列在一起
(3)
从(2)式的结果可以看出,分母正好是(3)式排列的对角线乘积之差.
定义叫作一个二阶行列式,它的值定义为,
即
其中,aij表示第i行第j列(i,j分别为行标和列标)位置上的元素.
由此,若记
则(2)式可写成
用这个公式可以求解二元一次方程组,请读者自己检验.
注意,在a11a22-a12a21里,从a11a22到-a12a21,行标顺序没有变,而列标的顺序颠倒了,并且a11a22中的列标逆序为0(偶数),它的系数就为正数；反之，-a12a21的列标逆序为1(奇数),它的系数为负,这是巧合吗？下面来看三阶行列式.
定义叫作一个三阶行列式,它的值定义为
即,
其中aij(i,j=1,2,3)表示第i行第j列(i,j分别为行标和列标)位置上的元素.
例3计算三阶行列式.
解按三阶行列式的定义代入便.
同理,在里，从正项到负项每项a1j1a2j2a3j3行标的顺序没有变,而列标的顺序变了,并且正项的列标逆序数为偶数,负项的列标逆序数为奇数,看来这不是巧合.这样三阶行列式可表示为
其中∑j1j2j3表示对所有三元排列j1j2j3求和.由此可以给出n阶行列式的定义.
三、n阶行列式
定义5将n2个数按n行n列排列为
叫作一个n阶行列式,它的值定义为
即
其中表示对所有n元排列j1j2…jn求和.
例4证明上三角行列式
证我们只关心D的展开式中不为零的那些项.D的展开式是
由于D的第n行元素除去ann外全是零,所以只要考虑jn=n的那些项；同理,D的第n-1行只需考虑jn-1=n-1.逐步推导下去得,在D的展开式中,除a11a22…ann这项外,其余项全为零,且此项前的系数为(-1)τ(12…n)=1.
另外,由这个结论可得
同理可得
和
1.2行列式的性质
一、 排列的对换
在研究n阶行列式的性质之前必须要了解排列的性质.
定义6在排列中任意对调两个元素,其余的元素不动,这一过程被称为对换.若两个元素相邻,则称为相邻对换.
定理1每作一个对换,排列的逆序数改变奇偶性.
证*先看相邻情况,设…ab… …ba….
这种情况下,a和b与其他数是否构成逆序的事实没有改变.不同的只是对换了a与b的次序.若原来它们不构成逆序,那么对换后,排列的逆序数增加1；反之减少1.因此,相邻数的对换改变了排列的奇偶性.
再看一般情况,设…aj1j2…jsb… …bj1j2…jsa….
显然,这个对换总可以通过一系列的相邻对换来实现.先把a与j1对换，再与j2对换,…,即把a一位一位地向右移,则经过s+1次相邻的对换,就变成了…aj1j2…jsb… …j1j2…jsba….
同样,再把b一位一位相邻左移,经过s次相邻的对换可得…j1j2…jsba… …bj1j2…jsa….
因此,a,b的对换可以通过2s+1次相邻的对换来实现.前面已证明相邻的对换改变排列的奇偶性,显然,2s+1次相邻对换的*终结果还是改变排列的奇偶性.
定理2 n阶行列式也可定义为
证按行列式定义,原式有
记
对于D中任一项(-1)τ(j1j2…jn)a1j1a2j2…anjn,经过因子的交换便得到D1中的**一项,以下只需说明与的奇偶性相同即可.我们说,每进行一次因子的交换,行排列和列排列都发生一次对换,由定理1可知,行排列和列排列的奇偶性同时改变,而行排列由偶排列12…n变成排列,列排列则由排列j1j2…jn变成偶排列12…n,所以排列与有相同的奇偶性.于是,D=D1.
二、 行列式的性质
定义7称行列式
是行列式
的转置行列式,记为DT.
性质1行列式和它的转置行列式相等.
证根据行列式的定义不难得到
再由定理2即可得出结论.
性质1告诉我们这样一个事实：行列式中行具有的性质列也具有.这使得性质的证明过程省掉一半,即只对行(或列)证明即可.
性质2互换行列式的两行(或列),行列式变号.
为了便于书写,往往以ri表示行列式的第i行,以ci表示行列式的第i列.交换两行记作,交换两列记作.
推论1若行列式有两行(或列)完全相同,则行列式为零.
证把这两行互换,有D=-D,故D=0.
性质3行列式的某一行(或列)中所有的元素都乘以同一个数k,等于用数k乘以此行列式.即
定价：37.0
ISBN：9787030506627
作者：李福乐
版次：1
出版时间：2018-01
内容提要：
本书较全面地介绍了线性代数的主要内容.全书共7章，分别介绍了行列式、n维向量、矩阵、线性方程组、方阵的特征值和特征向量、二次型以及线性空间与线性变换.每章末配有一定数量的习题，并在书后附有习题参考答案.每章后面都附有一篇阅读材料，或介绍一则基础知识，或给出一种重要方法，以便于查阅和开阔视野.
目录：
目录
前言
**章行列式1
1.1行列式的概念1
1.2行列式的性质5
1.3行列式的展开定理10
1.4克拉默法则14
1.5*拉普拉斯定理与行列式的乘法16
习题118
阅读材料1连加号“∑”与连乘号“∏”20
第二章n维向量22
2.1n维向量的定义和运算22
2.2向量的线性相关性25
2.3向量的内积33
习题239
阅读材料2数域和数环40
第三章矩阵42
3.1矩阵的基本概念42
3.2矩阵的基本运算44
3.3逆矩阵50
3.4矩阵的初等变换与初等矩阵53
3.5矩阵的秩61
3.6*分块矩阵66
习题373
阅读材料3分块矩阵的初等变换及其应用76
第四章线性方程组78
4.1基本概念78
4.2齐次线性方程组80
4.3非齐次线性方程组84
习题488
阅读材料4无解线性方程组的*小二乘解91
第五章方阵的特征值和特征向量94
5.1定义与求法94
5.2方阵的相似关系和对角化问题98
5.3实对称矩阵的正交对角化101
习题5105
阅读材料5若当(Jordan)标准形介绍107
第六章二次型110
6.1二次型及其矩阵表示110
6.2标准形及其求法113
6.3正定二次型和正定矩阵120
习题6122
阅读材料6正定二次型及其他123
第七章*线性空间与线性变换125
7.1线性空间的基本概念125
7.2基与坐标127
7.3基变换与坐标变换131
7.4线性变换134
7.5线性变换的矩阵137
习题7141
阅读材料7集合与映射143
自测题145
习题参考答案159
自测题参考答案与提示168
参考文献194
**章行列式1
1.1行列式的概念1
1.2行列式的性质5
1.3行列式的展开定理10
1.4克拉默法则14
1.5*拉普拉斯定理与行列式的乘法16
习题118
阅读材料1连加号“∑”与连乘号“∏”20
第二章n维向量22
2.1n维向量的定义和运算22
2.2向量的线性相关性25
2.3向量的内积33
习题239
阅读材料2数域和数环40
第三章矩阵42
3.1矩阵的基本概念42
3.2矩阵的基本运算44
3.3逆矩阵50
3.4矩阵的初等变换与初等矩阵53
3.5矩阵的秩61
3.6*分块矩阵66
习题373
阅读材料3分块矩阵的初等变换及其应用76
第四章线性方程组78
4.1基本概念78
4.2齐次线性方程组80
4.3非齐次线性方程组84
习题488
阅读材料4无解线性方程组的*小二乘解90
第五章方阵的特征值和特征向量93
5.1定义与求法93
5.2方阵的相似关系和对角化问题97
5.3实对称矩阵的正交对角化100
习题5105
阅读材料5若当(Jordan)标准形介绍106
第六章二次型109
6.1二次型及其矩阵表示109
6.2标准形及其求法112
6.3正定二次型和正定矩阵119
习题6121
阅读材料6正定二次型及其他122
第七章*线性空间与线性变换124
7.1线性空间的基本概念124
7.2基与坐标126
7.3基变换与坐标变换130
7.4线性变换133
7.5线性变换的矩阵136
习题7140
阅读材料7集合与映射142
自测题144
习题参考答案158
自测题参考答案与提示167
参考文献193
在线试读：
**章行列式
中学数学中一个非常重要的内容就是一次方程(组),从一元一次方程、二元一次方程组、三元一次方程组到较为多元的一次方程组,解法往往是换元、替代或高斯消元.对于多元一次方程组而言,用中学的方法求解显然是比较繁杂的,所以进一步研究一次方程组的解法是很有必要的,而行列式是研究一次方程组的重要数学工具之一.本章在对行列式概念和性质讨论的基础上,深入阐述行列式的展开定理和克拉默法则,并介绍拉普拉斯定理与行列式乘法.
1.1行列式的概念
一、 排列和逆序数
在给出行列式定义之前,首先介绍排列的有关概念和结论.先看一个例子.
例1用1,2,3三个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数？
解有6个不同的三位数,它们是：123,132,213,231,312,321.
同理,对于n个不同的数字,也可以作类似的排列.
定义1由n个正整数1,2,…,n组成的一个有序数组称为一个n元排列.
一般常用j1j2…jn表示一个n元排列,其中j1是该排列的第1个数,j2是该排列的第2个数,依此类推.显然,由数集{1,2,…,n}组成的所有n元排列的种数为n!.下面用逆序来对排列进行分类.
定义2在一个排列中,若有一个大数排在一个小数之前(即左边),则称这两个数构成该排列的一个逆序(反序).一个排列中逆序的总数,称为该排列的逆序数(反序数),记作τ(j1j2…jn).逆序数是偶数的排列称为偶排列,逆序数是奇数的排列称为奇排列.
接下来讨论排列j1j2…jn的逆序数的计算.考虑排列中的第k个位置上的数jk(k=1,2,…,n),如果比jk大的且排在jk前面的数有ak个,则由jk构成的逆序数就是ak,由此可得该排列的逆序数就是
例2求排列24135的逆序数.
解在该排列中,2排在首位,逆序数a1=0；4的前面比4大的数没有,逆序数a2=0；1的前面比1大的数有2和4,逆序数a3=2；3的前面比3大的数有4,逆序数a4=1；5的前面比5大的数没有,逆序数a5=0.所以该排列的逆序数τ(24135)=0+0+2+1+0=3.
二、 二阶与三阶行列式在线性代数发展的过程中,行列式的研究源于对线性方程组的研究.例如,在中学时求解二元一次线性方程组 (1)
用加减消元法不难求出,当a11a22≠a12a21时,得到解
(2)
现把方程组(1)中的未知数系数按照下标次序排列在一起
(3)
从(2)式的结果可以看出,分母正好是(3)式排列的对角线乘积之差.
定义叫作一个二阶行列式,它的值定义为,
即
其中,aij表示第i行第j列(i,j分别为行标和列标)位置上的元素.
由此,若记
则(2)式可写成
用这个公式可以求解二元一次方程组,请读者自己检验.
注意,在a11a22-a12a21里,从a11a22到-a12a21,行标顺序没有变,而列标的顺序颠倒了,并且a11a22中的列标逆序为0(偶数),它的系数就为正数；反之，-a12a21的列标逆序为1(奇数),它的系数为负,这是巧合吗？下面来看三阶行列式.
定义叫作一个三阶行列式,它的值定义为
即,
其中aij(i,j=1,2,3)表示第i行第j列(i,j分别为行标和列标)位置上的元素.
例3计算三阶行列式.
解按三阶行列式的定义代入便.
同理,在里，从正项到负项每项a1j1a2j2a3j3行标的顺序没有变,而列标的顺序变了,并且正项的列标逆序数为偶数,负项的列标逆序数为奇数,看来这不是巧合.这样三阶行列式可表示为
其中∑j1j2j3表示对所有三元排列j1j2j3求和.由此可以给出n阶行列式的定义.
三、n阶行列式
定义5将n2个数按n行n列排列为
叫作一个n阶行列式,它的值定义为
即
其中表示对所有n元排列j1j2…jn求和.
例4证明上三角行列式
证我们只关心D的展开式中不为零的那些项.D的展开式是
由于D的第n行元素除去ann外全是零,所以只要考虑jn=n的那些项；同理,D的第n-1行只需考虑jn-1=n-1.逐步推导下去得,在D的展开式中,除a11a22…ann这项外,其余项全为零,且此项前的系数为(-1)τ(12…n)=1.
另外,由这个结论可得
同理可得
和
1.2行列式的性质
一、 排列的对换
在研究n阶行列式的性质之前必须要了解排列的性质.
定义6在排列中任意对调两个元素,其余的元素不动,这一过程被称为对换.若两个元素相邻,则称为相邻对换.
定理1每作一个对换,排列的逆序数改变奇偶性.
证*先看相邻情况,设…ab… …ba….
这种情况下,a和b与其他数是否构成逆序的事实没有改变.不同的只是对换了a与b的次序.若原来它们不构成逆序,那么对换后,排列的逆序数增加1；反之减少1.因此,相邻数的对换改变了排列的奇偶性.
再看一般情况,设…aj1j2…jsb… …bj1j2…jsa….
显然,这个对换总可以通过一系列的相邻对换来实现.先把a与j1对换，再与j2对换,…,即把a一位一位地向右移,则经过s+1次相邻的对换,就变成了…aj1j2…jsb… …j1j2…jsba….
同样,再把b一位一位相邻左移,经过s次相邻的对换可得…j1j2…jsba… …bj1j2…jsa….
因此,a,b的对换可以通过2s+1次相邻的对换来实现.前面已证明相邻的对换改变排列的奇偶性,显然,2s+1次相邻对换的*终结果还是改变排列的奇偶性.
定理2 n阶行列式也可定义为
证按行列式定义,原式有
记
对于D中任一项(-1)τ(j1j2…jn)a1j1a2j2…anjn,经过因子的交换便得到D1中的**一项,以下只需说明与的奇偶性相同即可.我们说,每进行一次因子的交换,行排列和列排列都发生一次对换,由定理1可知,行排列和列排列的奇偶性同时改变,而行排列由偶排列12…n变成排列,列排列则由排列j1j2…jn变成偶排列12…n,所以排列与有相同的奇偶性.于是,D=D1.
二、 行列式的性质
定义7称行列式
是行列式
的转置行列式,记为DT.
性质1行列式和它的转置行列式相等.
证根据行列式的定义不难得到
再由定理2即可得出结论.
性质1告诉我们这样一个事实：行列式中行具有的性质列也具有.这使得性质的证明过程省掉一半,即只对行(或列)证明即可.
性质2互换行列式的两行(或列),行列式变号.
为了便于书写,往往以ri表示行列式的第i行,以ci表示行列式的第i列.交换两行记作,交换两列记作.
推论1若行列式有两行(或列)完全相同,则行列式为零.
证把这两行互换,有D=-D,故D=0.
性质3行列式的某一行(或列)中所有的元素都乘以同一个数k,等于用数k乘以此行列式.即