书名：偏微分方程数值解法
定价：88.0
ISBN：9787030424273
作者：陈艳萍，鲁祖亮，刘利斌
版次：1
出版时间：2015-11

内容提要：
本书试图用较少的篇幅描述偏微分方程的几种数值方法. 主要内容包括：Sobolev 空间初步, 椭圆边值问题的变分问题, 椭圆问题的有限差分方法, 抛物型方程的有限差分方法, 双曲型方程的有限差分方法, 椭圆型方程的有限元方法, 抛物及双曲方程的有限元方法, 椭圆型方程的混合有限元方法, 谱方法等. 本书内容丰富, 深入浅出, 尽可能地用简单的方法来描述一些理论结果, 并根据作者对有限差分、有限元、混合有限元、谱方法的理解和研究生教学要求, 全面、客观地评价各种数值计算方法，并列举一些数值计算的例子, 阐述许多新的学术观点.



目录：
《信息与计算科学丛书》序 前言 第1 章引言 1 1.1 预备知识 1 1.1.1 符号说明 1 1.1.2 泛函基础知识 3 1.2 Sobolev 空间初步 5 1.2.1 广义导数 5 1.2.2 Sobolev 空间的定义 6 1.2.3 嵌入定理 8 1.2.4 迹定理 10 1.2.5 等价模定理 13 1.3 习题 14 第2 章椭圆型方程边值问题 15 2.1 Lax-Milgram 定理 15 2.2 变分形式及解的存在**性 16 2.2.1 Dirichlet 问题16 2.2.2 Neumann 边值问题 18 2.2.3 混合边值问题 20 2.2.4 双调和方程 22 2.3 正则性 23 2.4 习题 24 第3 章椭圆型方程的有限差分方法 26 3.1 有限差分法的基础 26 3.1.1 网格剖分 26 3.1.2 有限差分近似的基本概念.27 3.2 一维两点边值问题的有限差分方法 29 3.3 二维椭圆型方程的有限差分方法 31 3.3.1 Poisson 方程的Dirichlet 边值问题 31 3.3.2 Poisson 方程的Neumann 边值问题 36 3.3.3 一般的二阶线性椭圆问题的差分格式 38 3.3.4 双调和问题的差分格式 40 3.4 差分方程解的**性和收敛性 40 3.4.1 差分方程解的存在**性 41 3.4.2 差分方程解的收敛性 42 3.5 习题 45 第4 章抛物型方程的有限差分方法 47 4.1 一维抛物型方程的有限差分格式 47 4.1.1 一维常系数抛物型方程的Dirichlet 初边值问题 48 4.1.2 一维常系数抛物型方程的混合边值问题 52 4.2 差分格式的稳定性和收敛性 54 4.2.1 基本概念 54 4.2.2 判别稳定性的直接法 56 4.2.3 判别稳定性的分离变量法 57 4.2.4 稳定性与收敛性的关系 60 4.3 二维抛物型方程的有限差分格式 61 4.3.1 二维古典差分格式 61 4.3.2 交替方程隐式差分格式 63 4.4 习题 64 第5 章双曲型方程的有限差分法 67 5.1 一维一阶线性双曲型方程的差分格式 67 5.1.1 双曲型方程的初值问题 67 5.1.2 双曲型方程的初边值问题 71 5.2 一维二阶线性双曲型方程的差分方法 73 5.2.1 显示差分格式 73 5.2.2 隐式差分格式 73 5.2.3 初边值条件的离散 74 5.3 二维二阶双曲型方程的有限差分格式 75 5.3.1 显式差分格式 76 5.3.2 交替方向隐式差分格式 77 5.4 习题 78 第6 章椭圆型方程边值问题的有限元法 80 6.1 两点边值问题的有限元法 80 6.1.1 Galerkin 方法与Ritz 方法 80 6.1.2 两点边值问题的线性有限元方法86 6.1.3 两点边值问题的线性有限元解的误差估计 97 6.2 两点边值问题的高次有限元方法 102 6.2.1 二次元 102 6.2.2 三次元 103 6.3 二维椭圆问题的有限元方法 105 6.3.1 二维椭圆问题 105 6.3.2 二维椭圆问题的有限元逼近格式 105 6.3.3 数值例子 118 6.4 习题 121 第7 章抛物及双曲方程的有限元方法 124 7.1 抛物型方程的有限元方法 124 7.1.1 半离散有限元逼近 126 7.1.2 全离散有限元逼近 130 7.2 双曲型方程的有限元方法 134 7.2.1 半离散有限元逼近 135 7.2.2 全离散有限元逼近 137 7.3 习题 144 第8 章椭圆问题的混合有限元方法 145 8.1 混合有限元基本理论 145 8.1.1 基本概念 145 8.1.2 混合变分形式 148 8.1.3 Babuska-Brezzi 理论 149 8.2 二阶椭圆方程的混合有限元方法 154 8.2.1 线性椭圆方程的混合有限元方法 154 8.2.2 拟线性椭圆方程的混合有限元方法 163 8.2.3 线性椭圆方程的超收敛分析 165 8.2.4 线性椭圆方程的后验误差估计 169 8.3 习题 175 第9 章谱方法.176 9.1 正交多项式 176 9.1.1 正交多项式的定义 176 9.1.2 Gauss 型求积公式 177 9.2 Jacobi 正交多项式 180 9.3 Legendre 正交多项式.183 9.4 Chebyshev 正交多项式 185 9.5 谱方法的一般形式 185 9.5.1 变分形式的导出 185 9.5.2 谱逼近的一般形式 188 9 6 Galerkin 方法 190 9 6.1 数值格式的导出 190 9 6.2 稳定性和收敛性 191 9.7 配置法 193 9.7.1 数值格式的导出 193 9.7.2 稳定性和收敛性 195 9.8 Volterra 型积分方程的谱配置法 200 9.8.1 Volterra 积分方程的Legendre 谱配置法 200 9.8.2 弱奇性Volterra 积分方程的Jacobi 谱配置法 202 9.8.3 Volterra 积分微分方程的Legendre 谱配置法 203 9.9 习题 204 参考文献 207 索引 208 《信息与计算科学丛书》已出版书目 211

在线试读：
第1章引言 在对偏微分方程及其数值解的研究中,通常用建立在函数空间X和Y上的算子L来刻画一些方程及其边值问题的结构,然后借助泛函分析的方法来研究方程的性质.这里主要的困难就是如何选择合适的函数空间使得算子L具有可解性.本章即将介绍的Sobolev空间正是在偏微分方程中所必需的函数空间,具体内容可参见文献[1],[2].为了让读者更好地理解本教材中的内容,这里向读者介绍一些的Sobolev空间的基本知识. 1.1预备知识 1.1.1符号说明 本小节简单地介绍本书中常用的一些数学符号. N表示整数集合. R表示实数集合. Rn表示n维欧氏空间. Ω表示Rn中的区域,即连通开集,当n=1时,即为开区间,σΩ为Ω的边界. △表示Laplace算子 ▽表示梯度算子:0(Ω)表示Cm(Ω)中所有在Ω内有紧支集的函数的集合. Cm0(Ω)表示在Ω中具有紧支集的无穷次可微函数的集合. Cm∞(Ω)表示在Ω内m次连续可微的函数的集合. Cm(Ω)表示在闭区域Ω上m次连续可微的函数的集合. div表示散度算子 其中v=(v1,v2,…,vn). H*表示空间H上的线性连续泛函全体. loc(Ω)表示Ω上的局部可积函数集合. Lp(Ω)表示Ω上的p次Lebesgue可积函数的全体. meas(Ω)表示Ω？Rn的Lebesgue测度. n表示@Ω上的单位外法向量. Pk(x)表示次数不超过k的多项式全体. S0(Th)？L2(Ω)表示在Th上的分片线性空间. S1(Th)？H1Ω)或者S1 0(Ω)表示连续的分片线性函数. t表示沿着曲线或边界E的单位切向量. 边界算子的定义域为DB(L)=fv2D(L)j在σΩb上有Bv=0g. 二阶求导算子L的定义域为 集合Eh表示在Th中的所有单元边的集合. 空间Cm;？(Ω)(m为整数,a(0;1])表示Cm(Ω)中m阶导数为a次H？older连续函数的全体.空间Cm;？(Ω)上定义的范数为算子[v]:H1(Th)!L2(Eh)表示函数v的一个沿着边E的跳跃算子. 除了上述数学符号外,本书中经常用下面几个重要的数学公式. 设n=(n1;n2;…Nn)是αΩ上的单位外法向量.对任意u;vC1(Ω),有下述Green公式 以及对任意u2H4(Ω);v2H2(Ω)有 1.1.2泛函基础知识 本小节先简单介绍Lp(Ω)空间的定义和相关性质,然后再引入与本书有关的 一些泛函基础知识. 假定Ω是n维空间Rn中的有界开集,设Ωf(x)dx为函数f(x)的Lebesgue积分,对16p<+1,记范数则Lp(Ω)空间可定义为 Lp(Ω)=ff(x)||f(x)||kLp(Ω)<+1g: 对于p=+1,定义范数则L1(Ω)空间可定义为 L1(Ω)=ff(x)jkf(x)kL1(Ω)<+1g: 关于Lp(Ω)空间,有下面几个重要不等式. Minkowski不等式若16p6+1,则对任意f;g2Lp(Ω),有kf+gkLp(Ω)6kfkLp(Ω)+kgkLp(Ω):(1.1.1) H？older不等式若16p;q6+1;1=p+1=q=1,则对任意f2Lp(Ω);g2Lq(Ω),有fg2L1(Ω),并且kfgkL1(Ω)6kfkLp(Ω)kgkLq(Ω):(1.1.2) Schwarz不等式(H？older不等式的特殊情形)对p=q=2,若f;g2L2(Ω), 则fg2L1(Ω) 由Minkowski不等式可知,前面定义的k￠kLP(Ω)是一种范数,因此可以验证 (Lp(Ω);k￠kLP(Ω))是一个赋范线性空间. 下面给出有界线性算子及其范数的定义. 定义1.1.1假设W,V均为Hilbert空间,线性算子T:V!W.如果存在常数C>0则称T为有界线性算子,其范数可定义 特别地,设V¤为V的共轭空间,则可定义V¤中的线性泛函L的范数为 定理1.1.1(Riesz表示定理)设V是Hilbert空间,其内积定义为(￠;￠),则对V中的任意的有界线性泛函L,存在**的u,使得kukV=kLkV¤,且L(v)=(v;u);8v2V:(1.1.4) 证明首先证明**性:假设u1和u2满足方程(1.1.4),则 (v;u1)=(v;u2);8v2V: 在上式中令v=u1？u2,可得 (u1？u2;u1？u2)=0; 即u1=u2. 然后证明存在性:若8v2V,有L(v)=0,则u=0.若存在ev2V,使L(ev)6=0, 则为了获得u,可先构造如下子空间 u的存在性证明完毕. 1.2Sobolev空间初步 下面给出本书必备的有关Sobolev空间的基本理论,有关系统的知识可参看参考书目. 1.2.1广义导数 给定函数u2C1(Ω),由分部积分可知,对任意的á2C10(Ω),就有 一般地,对于一个正整数k,给定函数u2Ck(Ω)和一个多重指标 上面两式的结论都是u在Ω上k次连续可微的情况下成立的.如果u在Ω上只是局部可积,是否有类似上述的(1.2.2)等式呢?以下给出广义导数的定义. 定义1.2.1假设函数u在区域Ω上局部可积.若存在区域Ω上局部可积函数v 则称v是u关于自变量xi的一阶广义导数(弱导数),记作v=@u=@xi: 特别地,若u2C1(Ω),则广义导数@u=@xi和古典意义下的偏导数@u=@xi一致.因此,广义导数的概念其实是古典导数概念的一个推广. 类似地,可以给出？阶广义导数的定义. 定义1.2.2假设函数u在区域Ω上局部可积.若存在一个在区域Ω上局部可积函数v,使得则称v是u的一个？阶广义导数,记为v=@？u.也就是说,对于给定的u,若存在一个函数v,使得对任意的á2C10(Ω),有式(1.2.4)成立,则@？u=v称为u的？阶广义导数.若满足式(1.2.4)的v不存在,则u的？阶广义导数不存在.如果u的？阶广义导数存在,那么是不是**的呢? 关于此问题,有以下结论. 定理1.2.1若u的？阶广义导数存在,则在除去一个零测度集的意义下**. 证明设有局部可积的函数v;ev, 即v？ev=0在Ω上几乎处处成立.也就是说,在去掉一个零测度集的意义下,u的？阶广义导数**.是函数f(x)=jxj在Ω=(？1;1)上的广义导数,即f0(x)=g(x),但是在古典意义下,f(x)在Ω=[i1;1]上不可导. 1.2.2Sobolev空间的定义 给定Rn中的有界开集Ω和Ω中的任意紧集K,定义局部可积函数的集合