本书以大量生动有趣的问题求解实例为背景，使用通俗易懂的语言，深入浅出地介绍优美的数学思维和严谨的证明方法，所涉及的数学内容不仅包含函数与集合、数学归纳法理论、组合计算与组合证明、整数理论、数理逻辑、图论等离散数学，而且包含微积分与实数理论等连续数学，覆盖了多个不同的数学领域。本书内容在逻辑上层层展开、环环相扣，形成一套相对完备的知识体系，可以有效地激发学生的学习兴趣，唤醒学生的数学潜能和数学思维。本书可以作为数学、计算机以及人工智能等专业学生的数学入门读物。

译者序

写给教师

写给学生

第一部分基本概念

第1章数、集合与函数/2

求根公式/2

基本不等式/4

集合/5

函数/9

原象与水平集/13

实数系统/14

解题方法/16

习题/19

第2章语言与证明/25

关于方程的两个定理/25

量词与逻辑语句/27

复合语句/31

基本证明技术/34

解题方法/37

习题/41

第3章归纳法/48

归纳法原理/48

应用/55

强归纳法/59

解题方法/62

习题/67

第4章双射与基数/72

自然数的表示/72

双射/75

单射与满射/78

函数的复合/79

基数/81

解题方法/85

习题/87

第二部分数的性质

第5章组合推理/94

排列与组合/94

二项式系数/98

置换/104

函数有向图/105

解题方法/108

习题/110

第6章整除性/116

因子与因子分解/116

欧几里得算法/118

飞镖板问题/120

多项式的扩展知识（选学）/122

习题/124

ⅩⅧ

ⅩⅨ

第7章模算术/130

关系/130

同余/132

应用/135

费马小定理/136

同余与群（选学）/138

习题/140

第8章有理数/145

有理数与几何/146

无理数/148

毕达哥拉斯三元组/150

Q的进一步性质（选学）/152

习题/153

第三部分离散数学

第9章概率/158

概率空间/158

条件概率/161

随机变量与期望/164

多项式系数/167

习题/170

第10章两个计数原理/174

鸽笼原理/174

容斥原理/177

习题/181

第11章图论/185

哥尼斯堡桥问题/186

图的同构/189

连通性与树/192

二分图/196

着色问题/199

可平面图/202

习题/206

第12章递推关系/210

一般性质/211

一阶递推/212

二阶递推/215

一般线性递推/217

其他典型递推/220

生成函数（选学）/222

习题/225

第四部分连续数学

第13章实数/232

完备性公理/232

极限与单调收敛/234

十进制展开与不可数/238

解题方法/241

习题/242

第14章序列与级数/245

序列的收敛性/245

柯西序列/249

无穷级数/251

解题方法/256

习题/259

第15章连续函数/265

极限与连续性/265

连续性的应用/269

连续性与闭区间/272

习题/274

第16章微分/278

导数/279

导数的应用/284

牛顿法/288

凸性与曲率/289

函数级数/293

习题/298

第17章积分/305

积分的定义/305

微积分基本定理/313

指数与对数/315

三角函数与π/317

回到无穷级数/319

习题/322

第18章复数/327

复数的性质/327

极限与收敛性/330

代数基本定理/332

习题/333

附录A从N到R/336

附录B部分习题提示/347

附录C推荐阅读/363

附录D符号列表/365