书名：实变函数
定价：59.0
ISBN：9787030849175
作者：孙红蕊,杨四辈,李新华
版次：1
出版时间：2026-05

内容提要：

本书是甘肃省高等学校省级一流课程配套教材，是编者在多年高等院校实变函数课程教学实践的基础上精心编写而成的，主要内容包括集合论、Lebesgue测度与积分、可测函数、微分与积分理论、Lp空间以及现代分析中不可或缺的抽象测度与初步应用。本书不仅注重数学概念实质的揭示、理论脉络的有机串联，还强调定理证明背后的几何直观和分析思想，着力培养学生逻辑推理与直观理解相结合的能力。每章配有与教学内容紧密结合的习题，便于学生巩固和提升。本书逻辑结构清晰，编排合理，注重测度论、可测函数与Lebesgue积分之间的衔接，旨在帮助学生顺利进入现代分析学的学习阶段，为其后续在泛函分析、概率论及偏微分方程等方向的学习和研究奠定坚实基础。

目录：
目录
前言
第1章 预备知识 1
1.1 集合的基本性质 1
1.1.1 集合的定义与运算 1
1.1.2 集合列的上、下极限集 4
1.2 集合的基数 7
1.2.1 映射 7
1.2.2 集合的基数 9
1.3 集合的拓扑性质 14
1.3.1 开集 闭集Borel集 14
1.3.2 Cantor集 20
1.3.3 连续函数的延拓 25
习题1 28
第2章 Lebesgue测度 31
2.1 点集的Lebesgue外测度 31
2.2 可测集与Lebesgue测度 37
2.3 不可测集 47
习题2 48
第3章 可测函数 50
3.1 可测函数的定义与性质 50
3.2 可测函数列的收敛 58
3.3 可测函数的结构与Luzin定理 65
习题3 68
第4章 Lebesgue积分 70
4.1 非负可测函数的积分 70
4.1.1 非负可测简单函数的积分 70
4.1.2 非负可测函数的积分 72
4.2 一般可测函数的积分 77
4.3 Lebesgue积分与Riemann积分的关系 89
4.4 Fubini定理与Tonelli定理 93
4.4.1 Fubini定理 94
4.4.2 积分的几何意义 99
4.4.3 卷积函数 102
习题4 105
第5章 微分与积分 110
5.1 不定积分的微分 110
5.1.1 Hardy-Littlewood极大函数 111
5.1.2 Lebesgue微分定理 115
5.2 函数的可微性与微积分基本定理 118
5.2.1 单调函数的可微性 118
5.2.2 有界变差函数 124
5.2.3 绝对连续函数与微积分基本定理 128
习题5 132
第6章 Lp空间 134
6.1 Lp空间的定义与不等式 134
6.2 Lp空间的结构 138
6.2.1 Lp(E)是完备的距离空间 138
6.2.2 Lp(E)(1≤p<∞)是可分空间 141
6.2.3 Lp空间的范数公式 146
6.2.4 卷积 150
6.2.5 弱收敛 153
6.3 L2内积空间 158
习题6 161
第7章 现代拓展 164
7.1 抽象的测度和积分 164
7.1.1 测度 164
7.1.2 可测函数与积分 167
7.1.3 Lp(X,A,μ) 169
7.2 Hausdorff测度 177
7.2.1 定义与基本性质 177
7.2.2 等径不等式 H？ = L？ 183
7.2.3 函数与Hausdorff测度 189
7.3 分形维数 192
习题7 194
参考文献 196