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书名：简明微积分教程（第二版）
定价：59.0
ISBN：9787030541512
作者：高印珠
版次：1
出版时间：2017-08
在线试读：
第1章 函数
函数的概念起源于对运动与变化的定量研究，伽利略(G.Galilei)的落体运动定律，爱因斯坦(A.Einstein)的质能转换公式都是用函数概念表达的，微积分学的主要研究对象是函数，本章将对中学已讲过的函数的概念和性质进行较系统的复习，并作一些必要的补充，为以后各章的学习作准备。
1.1 集合
本节简要介绍集合的基本概念、表示方法和本书常用的逻辑符号。
我们把具有某种性质的、确定的、有区别的事物的全体称为集合，通常用大写字母A，B，C等表示。集合中的事物称为元素，常用小写字母a，b，c等表示，若a是集合A的元素，则称a属于A，记作a∈A；若a不是集合A的元素，则称a不属于A，记作a？A。
不含元素的集合称为空集，记作。若集合A只含有限个元素，则称A是有限集。若集合含无限多个元素，则称它为无限集。
若集合A的任一元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作。若，且存在，而，则称A是B的真子集，记作。空集是任何非空集合的真子集。
若集合A与B所含的元素完全相同，则称A与B相等，记作A=B。显然，对于集合A与B，若且，则
集合一般有两种表示方法：
(1) 列举法：把集合所包含的元素列举出来，例如，B={-1，1}，C={0，1，2，…}；
(2) 示性法：给出集合的元素具有的性质，写成
A={x|x具有性质P}，
例如，
D={x|x是满足方程x2-1=0的实数），
E一{x|x是自然数），
F一{x|x2<0，x是实数），
显然，B=D是有限集，C=E是无限集，F是空集。
对于集合A与B，定义如下集合：
集合{x|x∈A或x∈B）称为A与B的并集，记为；
集合{x|x∈A且x∈B）称为A与B的交集，记为；
集合{x|x∈A且x？B）称为A与B的差集，记为。
集合A与B的并集、交集及差集如图1.1.1阴影部分所示。
图1.1.1
例如，设，则
以下是本书常用的一些集合：
(1) 正整数集N+={xlx为正整数}={1，2，3，…）；
(2) 实数集R（或称实直线）={x|x为实数}=（-∞，+∞），这里符号∞①读作“无穷大”或“无穷”，+∞读作“正无穷大”或“正无穷”，一∞读作“负无穷大”或“负无穷”。
设a，b∈R，且a<b，则R及以下(1)～(8)所表示的集合统称为区间：
(1) 闭区间
(2) 开区间
(3) 左闭右开区间
(4) 左开右闭区间
(5)
(6)
(7)
(8)
其中a和b均称为区间的端点，a称为左端点，b称为右端点，区间(1)～(4)称为有限区间，R及区间(5)～(8)称为无限区间，R、(5)以及(7)也称为无限开区间。
二维欧氏平面
三维欧氏空间
R，R2及R3的元素也称为点。
R2的点（x，y）常用P(x，y)或M(x，y)等来表示，简记为P或M。
R3的点（x，y，z）常用P(x，y，z)或M(x，y，z)等表示，在不发生混淆的情况下，也简记为P或M。
邻域和空心邻域是本书常用的概念，现定义如下，并设且。
设a∈R。点a的邻域是指集合
图1.1.2
该集合是以a为中心，为半径，长为2的开区间，表示与a的距离小于的点x的全体，即R中满足不等式的点x的全体。
点a的空心邻域是指集合
图1.1.3
设PO (x0，Yo)∈R2。点PO的6邻域是指集合
见图1.1.4。
图1.1.4
设P0(x0，Y0，Z0)∈R2，点P0的邻域是指集合
以下是本书常用的逻辑符号：
(1) *表示“对每一个”或“对任意一个”，例如，
表示“对任意一个实数x”。
(2) *表示“存在某个”或“至少存在一个”，例如，
表示“在正整数集N+中存在这样的数n”。
(3) *表示“充分必要”或“等价于”。例如，
“P1*P2”表示“P2是P1成立的充分必要条件”或“P1等价于P2”。又如，设且，则
在一般的微积分教材中，表示一个小正数，所以表示以0为中心，以为半径的开区间，即点0的邻域。以下是一个简单而重要的原理：
也就是说，如果|x|比任何正数都小，那么x就是0，因为包含在每个以0为中心的开区间内的*一的点是0。
1.2 函数的概念
一、函数的定义
定义1.2.1 （映射）给定非空集合D和M，若按对应法则f，D中每个元素x，M中有*一确定的元素y与之对应，则称y是D到M的映射，记作
其中y=f(x)称为x在f下的像，x称为y的原像（见图1.2.1）。有时也将y=f(x)记为y=y(x)。
定义1.2.2设f：D→M。
(1) 若对于不同的x1，x2∈D，有f(x1)≠f(x2)，则称f是单射；
(2) 若对于每一个y∈M，有x∈D使得y=f(x)，则称f是满射；
(3) 若f既是单射又是满射，则称，是双射或一一对应。
定义1.2.3 设
(1) 若，则称f是D上的一元函数①，称x为自变量，y为因变量。
(2) 若，则称f是D上的二元函数，记为
其中P表示点P(x，y)，称x，y为自变量，z为因变量。
(3) 若，则称f是D上的三元函数，记为
其中P表示点P(x，y，z)，称x，y和z为自变量，u为因变量。
以上三种情况中，集合D称为函数，的定义域。对于，y=f(x)称为f在点x的函数值，全体函数值的集合称为函数f的值域。
设函数，的定义域为D，我们称，在集合E上有定义是指。特别地，当f是一元函数，E为开区间(a，b)、(0，+∞)、（-∞，a）、R以及某点的邻域或空心邻域时，f在E上有定义通常也称为，在E内有定义。
如果函数用一个分析式y=f(x)表达，当没有标明它的定义域时，我们就认为f的定义域是使达一表达式有意义的全体x的集合，通常称它为自然定义域。
例如，
的自然定义域分别为R\{1}，R\{0}和R。
若函数f与g有相同的定义域D，而且对于任意，则称f与g相等，
例如，也不相等。
设一元函数y=f(x)的定义域为D，则R2的子集
称为函数f的图像。
图1.2.2的三个图中，前两个是一元函数的图像，第三个不是，
图1.2.2
注 一条垂直于x轴的直线与一个一元函数的图像至多相交于一点(当此直线通过定义域D的点时交于一点，否则不交)。
本书的前四章主要研究一元函数，第5章主要研究二元函数，相关结论有些可推广到三元或更多元函数的情形。
二、函数的表示法
一元函数*常用的表示法有如下三种：
(1) 解析法：即自变量和因变量之间的函数关系借助公式（或解析式）表达，例如，本书主要讨论用解析法表示的函数，这对理论研究很方便。
(2) 表格法：即将一系列自变量的值与对应的函数值列成表，如对数表、三角函数表等。此表示法不但可以避免函数研究中麻烦的计算，而且可以表示不知解析表达式的函数，在社会实践中经常使用，例如，
2011年上半年我国消费者物价指数(CPI)表①
(3) 图示法：即函数可由坐标平面上的曲线来表示，如自动记录器，可以把大气压力与时间的关系用曲线表示出来。
定价：59.0
ISBN：9787030541512
作者：高印珠
版次：1
出版时间：2017-08
在线试读：
第1章 函数
函数的概念起源于对运动与变化的定量研究，伽利略(G.Galilei)的落体运动定律，爱因斯坦(A.Einstein)的质能转换公式都是用函数概念表达的，微积分学的主要研究对象是函数，本章将对中学已讲过的函数的概念和性质进行较系统的复习，并作一些必要的补充，为以后各章的学习作准备。
1.1 集合
本节简要介绍集合的基本概念、表示方法和本书常用的逻辑符号。
我们把具有某种性质的、确定的、有区别的事物的全体称为集合，通常用大写字母A，B，C等表示。集合中的事物称为元素，常用小写字母a，b，c等表示，若a是集合A的元素，则称a属于A，记作a∈A；若a不是集合A的元素，则称a不属于A，记作a？A。
不含元素的集合称为空集，记作。若集合A只含有限个元素，则称A是有限集。若集合含无限多个元素，则称它为无限集。
若集合A的任一元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作。若，且存在，而，则称A是B的真子集，记作。空集是任何非空集合的真子集。
若集合A与B所含的元素完全相同，则称A与B相等，记作A=B。显然，对于集合A与B，若且，则
集合一般有两种表示方法：
(1) 列举法：把集合所包含的元素列举出来，例如，B={-1，1}，C={0，1，2，…}；
(2) 示性法：给出集合的元素具有的性质，写成
A={x|x具有性质P}，
例如，
D={x|x是满足方程x2-1=0的实数），
E一{x|x是自然数），
F一{x|x2<0，x是实数），
显然，B=D是有限集，C=E是无限集，F是空集。
对于集合A与B，定义如下集合：
集合{x|x∈A或x∈B）称为A与B的并集，记为；
集合{x|x∈A且x∈B）称为A与B的交集，记为；
集合{x|x∈A且x？B）称为A与B的差集，记为。
集合A与B的并集、交集及差集如图1.1.1阴影部分所示。
图1.1.1
例如，设，则
以下是本书常用的一些集合：
(1) 正整数集N+={xlx为正整数}={1，2，3，…）；
(2) 实数集R（或称实直线）={x|x为实数}=（-∞，+∞），这里符号∞①读作“无穷大”或“无穷”，+∞读作“正无穷大”或“正无穷”，一∞读作“负无穷大”或“负无穷”。
设a，b∈R，且a<b，则R及以下(1)～(8)所表示的集合统称为区间：
(1) 闭区间
(2) 开区间
(3) 左闭右开区间
(4) 左开右闭区间
(5)
(6)
(7)
(8)
其中a和b均称为区间的端点，a称为左端点，b称为右端点，区间(1)～(4)称为有限区间，R及区间(5)～(8)称为无限区间，R、(5)以及(7)也称为无限开区间。
二维欧氏平面
三维欧氏空间
R，R2及R3的元素也称为点。
R2的点（x，y）常用P(x，y)或M(x，y)等来表示，简记为P或M。
R3的点（x，y，z）常用P(x，y，z)或M(x，y，z)等表示，在不发生混淆的情况下，也简记为P或M。
邻域和空心邻域是本书常用的概念，现定义如下，并设且。
设a∈R。点a的邻域是指集合
图1.1.2
该集合是以a为中心，为半径，长为2的开区间，表示与a的距离小于的点x的全体，即R中满足不等式的点x的全体。
点a的空心邻域是指集合
图1.1.3
设PO (x0，Yo)∈R2。点PO的6邻域是指集合
见图1.1.4。
图1.1.4
设P0(x0，Y0，Z0)∈R2，点P0的邻域是指集合
以下是本书常用的逻辑符号：
(1) *表示“对每一个”或“对任意一个”，例如，
表示“对任意一个实数x”。
(2) *表示“存在某个”或“至少存在一个”，例如，
表示“在正整数集N+中存在这样的数n”。
(3) *表示“充分必要”或“等价于”。例如，
“P1*P2”表示“P2是P1成立的充分必要条件”或“P1等价于P2”。又如，设且，则
在一般的微积分教材中，表示一个小正数，所以表示以0为中心，以为半径的开区间，即点0的邻域。以下是一个简单而重要的原理：
也就是说，如果|x|比任何正数都小，那么x就是0，因为包含在每个以0为中心的开区间内的*一的点是0。
1.2 函数的概念
一、函数的定义
定义1.2.1 （映射）给定非空集合D和M，若按对应法则f，D中每个元素x，M中有*一确定的元素y与之对应，则称y是D到M的映射，记作
其中y=f(x)称为x在f下的像，x称为y的原像（见图1.2.1）。有时也将y=f(x)记为y=y(x)。
定义1.2.2设f：D→M。
(1) 若对于不同的x1，x2∈D，有f(x1)≠f(x2)，则称f是单射；
(2) 若对于每一个y∈M，有x∈D使得y=f(x)，则称f是满射；
(3) 若f既是单射又是满射，则称，是双射或一一对应。
定义1.2.3 设
(1) 若，则称f是D上的一元函数①，称x为自变量，y为因变量。
(2) 若，则称f是D上的二元函数，记为
其中P表示点P(x，y)，称x，y为自变量，z为因变量。
(3) 若，则称f是D上的三元函数，记为
其中P表示点P(x，y，z)，称x，y和z为自变量，u为因变量。
以上三种情况中，集合D称为函数，的定义域。对于，y=f(x)称为f在点x的函数值，全体函数值的集合称为函数f的值域。
设函数，的定义域为D，我们称，在集合E上有定义是指。特别地，当f是一元函数，E为开区间(a，b)、(0，+∞)、（-∞，a）、R以及某点的邻域或空心邻域时，f在E上有定义通常也称为，在E内有定义。
如果函数用一个分析式y=f(x)表达，当没有标明它的定义域时，我们就认为f的定义域是使达一表达式有意义的全体x的集合，通常称它为自然定义域。
例如，
的自然定义域分别为R\{1}，R\{0}和R。
若函数f与g有相同的定义域D，而且对于任意，则称f与g相等，
例如，也不相等。
设一元函数y=f(x)的定义域为D，则R2的子集
称为函数f的图像。
图1.2.2的三个图中，前两个是一元函数的图像，第三个不是，
图1.2.2
注 一条垂直于x轴的直线与一个一元函数的图像至多相交于一点(当此直线通过定义域D的点时交于一点，否则不交)。
本书的前四章主要研究一元函数，第5章主要研究二元函数，相关结论有些可推广到三元或更多元函数的情形。
二、函数的表示法
一元函数*常用的表示法有如下三种：
(1) 解析法：即自变量和因变量之间的函数关系借助公式（或解析式）表达，例如，本书主要讨论用解析法表示的函数，这对理论研究很方便。
(2) 表格法：即将一系列自变量的值与对应的函数值列成表，如对数表、三角函数表等。此表示法不但可以避免函数研究中麻烦的计算，而且可以表示不知解析表达式的函数，在社会实践中经常使用，例如，
2011年上半年我国消费者物价指数(CPI)表①
(3) 图示法：即函数可由坐标平面上的曲线来表示，如自动记录器，可以把大气压力与时间的关系用曲线表示出来。