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书名：医学图像处理中的数学理论与方法
定价：68.0
ISBN：9787030406637
作者：孔德兴,陈韵梅,董芳芳,楼琼
版次：3103
出版时间：2015-12
内容提要：
医学图像处理主要研究如何从医学影像中获取图像的内在规律，为临 床医生提供更清晰、更精确的信息, 以利于对疾病进行准确的诊断, 从而制 定出合理有效的治疗方案. 本书重点介绍与医学图像处理相关的数学模 型，特别是基于偏微分方程方法的模型，同时介绍一些有效的快速算法. 一 方面我们把传统的知识讲得尽可能清楚些、透彻些，把一些常见的数学模 型介绍得尽可能详细些、完整些；另一方面，还特别介绍了一些当前*新 的进展，这部分内容可以让读者很快接触到本领域的研究前沿.
媒体评论：
目录：
目录
《信息与计算科学丛书》序
前言
第1 章预备知识. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 变分法和梯度下降流. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 能量泛函的变分计算. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 梯度下降流. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.3 形状导数相关的梯度下降流. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
1.2 平面曲线理论. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 用参数表示的曲线. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 用水平集形式表示的曲线. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
1.3 概率统计基本知识. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1 概率论基本概念. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.2 统计学基本方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 信息论基本知识. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16
1.5 再生核希尔伯特空间. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
第2 章图像去噪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1 引言. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22
2.2 图像去噪的TV 模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 Bregman 迭代的TV 正则化模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26
2.3.1 与迭代正则化模型相关的工作||LOT 模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.2 迭代的TV 正则化模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3.3 与Bregman 迭代的关系. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4 实验仿真. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.5 阶梯效应的消除. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30
2.5.1 LOT 模型的一个改进. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30
2.5.2 耦合梯度保真的偏微分方程模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.6 TV 模型的一个推广|| 非局部正则模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.6.1 非局部正则项. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.6.2 非局部正则化模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.7 去除乘性噪声的几个基本模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.7.1 RLO 模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.7.2 AA 模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47
2.7.3 Log-TV 模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.7.4 SO 模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.8 去除乘性噪声的非局部正则模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.8.1 模型1 及算法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50
2.8.2 模型2 及算法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53
2.9 小结. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57
第3 章基于边缘的图像分割. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.1 引言. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58
3.2 蛇模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.2.1 蛇模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.2.2 GVF snake 模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.3 测地活动轮廓模型及其推广. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63
3.3.1 测地活动轮廓模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3.2 GAC 模型的推广. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65
3.4 水平集方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.4.1 水平集方法的基本概念. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66
3.4.2 嵌入函数的选用和初始化. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .68
3.4.3 自然延拓和重新初始化. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .68
3.4.4 水平集方法的优点. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.5 变分水平集方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69
3.5.1 变分水平集方法的基本概念. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.5.2 改进的变分水平集方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70
3.6 具有先验形状信息的基于边缘的图像分割模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72
3.7 小结. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74
第4 章基于区域的图像分割：一般方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.1 Mumford-Shah 模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.2 Chan-Vese 模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2.1 两相C-V 模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2.2 多相C-V 模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.3 一个既基于边缘又基于区域的图像分割模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.4 小结. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87
第5 章基于区域的图像分割：统计与信息论的方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.1 带参数概率密度估计的活动轮廓模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.1.1 MLE 方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.1.2 MAP 方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90
5.2 非参数概率密度估计的活动轮廓模型：统计的方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.2.1 非参数概率密度估计的方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.2.2 非参数统计模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.3 非参数概率密度估计的活动轮廓模型：信息论的方法. . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.4 注记. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.5 小结. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
第6 章图像配准：基本概念. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .106
6.1 什么是图像配准. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .106
6.2 配准的定义及分类. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.3 配准的基本方式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .108
6.3.1 刚性变换. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.3.2 仿射变换. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.3.3 可形变变换. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.4 几种常见的医学图像模态. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.5 小结. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
第7 章可形变的图像配准. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .117
7.1 单模态下的配准模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .117
7.2 逆一致可形变的图像配准. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7.3 多模态下的配准模型：信息论方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.4 多模态下的配准模型：统计方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
7.4.1 基于瑞利度量的配准模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
7.4.2 基于瑞利度量模型的计算. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
7.4.3 统计相关性的一点补充. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128
7.5 小结. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
第8 章核磁共振图像重构. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131
8.1 核磁共振图像的数学模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
8.2 压缩传感. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .132
8.2.1 信号的稀疏表示. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8.2.2 压缩传感理论. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8.3 基于小波变换基的MR 图像重构. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
8.3.1 基于小波基的重构模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .134
8.3.2 快速算法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
8.4 基于冗余字典的MR 图像重构. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .139
8.4.1 冗余字典. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
8.4.2 基于冗余字典的重构模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
8.4.3 快速算法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
8.5 小结. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
第9 章扩散核磁共振成像. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .146
9.1 引言. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
9.2 DMRI 简介及基本概念. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
9.3 DTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
9.3.1 DTI 的主要原理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
9.3.2 计算简介及张量估计. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151
9.3.3 基于Navier-Stokes 流体力学的DTI 跟踪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
9.4 HARDI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .157
9.4.1 扩散ODF 的分析重建. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
9.4.2 高阶张量场上的Finsler 几何及其在HARDI 上的应用. . . . . . . . . . . . . . . 159
9.5 小结. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
参考文献. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .163
索引. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
《信息与计算科学丛书》已出版书目. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
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第1 章预备知识 本章主要介绍本书中要用到的一些数学知识和方法, 包括变分法和梯度下降 流、平面曲线理论、概率统计基本知识、信息论基本知识以及再生核希尔伯特空间 的相关知识. 其中变分法和梯度下降流是贯穿整本书的方法基础, 平面曲线理论是 学习图像分割的基础, 概率统计、信息论基本知识与再生核希尔伯特空间在图像分 割与配准模型建立和计算中起到重要的作用. 1.1 变分法和梯度下降流 本节主要介绍三部分内容：能量泛函的变分计算、能量泛函的一阶变分所对应 的梯度下降流和形状导数相关的梯度下降流. 1.1.1 能量泛函的变分计算 数. 加托导数是微分学中方向导数的概念的推广. 定义1.1 假设X 是一个巴拿赫空间, E : X ! R, E 在u 点沿着v 方向的 加托导数定义为 E0(u; v) = lim t!0 E(u + tv) ？ E(u) t ; (1.1.9) 如果对于任意的v 2 X, 此极限存在, 则称E 在u 2 X 有加托导数. 若E 有加托导数, 且极小化问题min v2X E(v) 有解u, 那么 E0(u) = 0: 反之, 若E 是凸的, 那么E0(u) = 0 的解u 是极小化问题的解. 称 E0(u) = 0 或 E u = 0 (1.1.10) 为欧拉{拉格朗日(Euler-Lagrange, E-L) 方程. 1.1.2 梯度下降流 变分问题 min u2X E(u) (1.1.11) 所对应的梯度下降流为 @u @t = ？ E u ; (1.1.12) 其中？ E u 是能量泛函E 下降/减小的方向. 这是由于一方面, E0(u; v) = lim t!0 E(u + tv) ？ E(u) t = - E u vdx: (1.1.13) 当E0(u; v) < 0 时, 能量是减小的. 另一方面, 又注意到式(1.1.7) 中v 是任意的, 不妨设v = @u @t , 此时若 @u @t = ？ E u , 则E0(u; v) < 0, 且E 下降得*快. 下面介绍另外一种计算能量泛函E 所对应的梯度下降流的方法. 引入时间变量t, 则能量泛函是关于时间变量的函数, 即 E(u(x; t)) = - f(x; u(x; t);ru(x; t))dx; (1.1.14) 下面将E(u(x; t)) 简记为E(t). 一般来说, 需要求能量泛函E 的极小化问题, 那么能量泛函必须随着时间t 的 增加而减小, 即需要 @E @t < 0, 而 @E @t = - μ @f @u ut + @f @？ (ru)t ？ dx = - μ @f @u ut ？ X i @ @xi 3@f @？ ′ ut ？ dx + @- @f @o utds = - μ @f @u ？ X i @ @xi 3@f @？ ′？ utdx: (1.1.15) 式(1.1.15) 中第二个等式用到了Green 公式, 其中o 表示- 的边界@- 的外法向 量, 第三个等式用到了Neumann 边界条件 @f @o = 0: (1.1.16) 为了使 @E @t < 0, 选取 @u @t = ？ μ @f @u ？ X i @ @xi 3@f @？ ′？ : (1.1.17) 这与先求E-L 方程, 再通过梯度下降的方法求能量泛函的梯度下降流所得的结果 是一致的. 这种方法也常常用来求能量泛函极值问题的梯度下降流. 1.1.3 形状导数相关的梯度下降流 本节主要介绍对于下列形式的能量泛函, 如何求它的极小化问题的解, 即如何 求曲线c 的梯度下降流 E(c) = R(c) f(？(c))dx; (1.1.18) 其中？(c) = R(c) g(x; ^x)d^x, g 是不依赖于c 的函数, R 是曲线c 的内部区域. 注意 到此能量泛函的被积函数f 仍依赖于曲线c 或曲线c 的内部区域R, 称这样的能 量泛函为嵌套的区域积分. 引入时间变量t, 将能量泛函(1.1.18) 重新写为 E(c(t)) = R(c(t)) f(？(x; t))dx; (1.1.19) 其中？(x; t) = R(c(t)) g(x; ^x)d^x. 首先, 我们先看如下形式的区域积分： E(c(t)) = R(c(t)) f(x)dx; (1.1.20) 其中被积函数f(x) 不依赖于曲线c 和时间t. 对E 关于时间t 求导, 并将区域积分转化为曲线积分得 dE(c(t)) dt = c(t) hct; f(x)Noutids; (1.1.21) 其中Nout 表示曲线c 的单位外法向量. 因此, 曲线c 的梯度下降流为 @c(t) @t = ？f(x)Nout = f(x)Nin; (1.1.22) 其中Nin 表示曲线c 的单位内法向量. 然后, 我们来看能量泛函(1.1.19). 令'(x; t) = f(？(x; t)), 则能量泛函(1.1.19) 可写成 E(c(t)) = R(c(t)) '(x; t)dx: (1.1.23) 那么 @E(c(t)) @t = R(c(t)) 't(x; t)dx + c(t) hct; '(x; t)Noutids; (1.1.24) 其中't(x; t) = @f(？(x; t)) @t = f0(？(x; t))？t(x; t). 由于？(x; t) 具有能量(1.1.20) 的形式, 其被积函数不依赖于曲线c, 则 ？t(x; t) = c(t) hct; g(x; c)Noutids: (1.1.25) 将(1.1.25) 代入(1.1.24) 得 @E(c(t)) @t = R(c(t)) f0(？(x; t)) c(t) hct; g(x; c)Noutidsdx + c(t) hct; f(？(x; t))Noutids = R(c(t)) c(t) hct; f0(？(x; t))g(x; c)Noutidsdx + c(t) hct; f(？(x; t))Noutids = c(t) D ct; h f(？(x; t)) + R(c(t)) f0(？(x; t))g(x; c)dx i Nout E ds: (1.1.26) 因此, 曲线c 的梯度下降流为 @c(t) @t =？ h f(？(c)) + R(c(t)) f0(？(x; t))g(x; c)dx i Nout = h f(？(c)) + R(c(t)) f0(？(x; t))g(x; c)dx i Nin: (1.1.27) 1.2 平面曲线理论 本节主要介绍平面曲线理论知识, 包括用参数表示的曲线和用水平集表示的曲 线两部分内容. 它们是学习图像分割模型的基础. 1.2.1 用参数表示的曲线 设c(p) = (x(p); y(p)) 是R2 上一条正则有向曲线, 其中p 2 [0; 1] 为曲线的参 数. 记曲线在p 点处的切向量为 T(p) , c0(p) = (x0(p); y0(p)); (1.2.1) 其单位切向量为 T(p) = c0(p) jc0(p)j ; (1.2.2) 相应的内法向量为 N(p) = (？y0(p); x0(p)); (1.2.3) 其单位内法向量为 N(p) = (？y0(p); x0(p)) jc0(p)j : (1.2.4) 从起点p0 = 0 到p 点所经过的距离, 即曲线的弧长, 为 s(p) = p 0 jc0(r)jdr: (1.2.5) 从而有 ds dp = jc0(p)j: (1.2.6)
定价：68.0
ISBN：9787030406637
作者：孔德兴,陈韵梅,董芳芳,楼琼
版次：3103
出版时间：2015-12
内容提要：
医学图像处理主要研究如何从医学影像中获取图像的内在规律，为临 床医生提供更清晰、更精确的信息, 以利于对疾病进行准确的诊断, 从而制 定出合理有效的治疗方案. 本书重点介绍与医学图像处理相关的数学模 型，特别是基于偏微分方程方法的模型，同时介绍一些有效的快速算法. 一 方面我们把传统的知识讲得尽可能清楚些、透彻些，把一些常见的数学模 型介绍得尽可能详细些、完整些；另一方面，还特别介绍了一些当前*新 的进展，这部分内容可以让读者很快接触到本领域的研究前沿.
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《信息与计算科学丛书》序
前言
第1 章预备知识. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 变分法和梯度下降流. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 能量泛函的变分计算. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 梯度下降流. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.3 形状导数相关的梯度下降流. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
1.2 平面曲线理论. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 用参数表示的曲线. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 用水平集形式表示的曲线. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
1.3 概率统计基本知识. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1 概率论基本概念. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.2 统计学基本方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 信息论基本知识. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16
1.5 再生核希尔伯特空间. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
第2 章图像去噪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1 引言. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22
2.2 图像去噪的TV 模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 Bregman 迭代的TV 正则化模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26
2.3.1 与迭代正则化模型相关的工作||LOT 模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.2 迭代的TV 正则化模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3.3 与Bregman 迭代的关系. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4 实验仿真. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.5 阶梯效应的消除. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30
2.5.1 LOT 模型的一个改进. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30
2.5.2 耦合梯度保真的偏微分方程模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.6 TV 模型的一个推广|| 非局部正则模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.6.1 非局部正则项. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.6.2 非局部正则化模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.7 去除乘性噪声的几个基本模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.7.1 RLO 模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.7.2 AA 模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47
2.7.3 Log-TV 模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.7.4 SO 模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.8 去除乘性噪声的非局部正则模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.8.1 模型1 及算法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50
2.8.2 模型2 及算法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53
2.9 小结. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57
第3 章基于边缘的图像分割. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.1 引言. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58
3.2 蛇模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.2.1 蛇模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.2.2 GVF snake 模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.3 测地活动轮廓模型及其推广. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63
3.3.1 测地活动轮廓模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3.2 GAC 模型的推广. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65
3.4 水平集方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.4.1 水平集方法的基本概念. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66
3.4.2 嵌入函数的选用和初始化. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .68
3.4.3 自然延拓和重新初始化. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .68
3.4.4 水平集方法的优点. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.5 变分水平集方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69
3.5.1 变分水平集方法的基本概念. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.5.2 改进的变分水平集方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70
3.6 具有先验形状信息的基于边缘的图像分割模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72
3.7 小结. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74
第4 章基于区域的图像分割：一般方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.1 Mumford-Shah 模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.2 Chan-Vese 模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2.1 两相C-V 模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2.2 多相C-V 模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.3 一个既基于边缘又基于区域的图像分割模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.4 小结. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87
第5 章基于区域的图像分割：统计与信息论的方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.1 带参数概率密度估计的活动轮廓模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.1.1 MLE 方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.1.2 MAP 方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90
5.2 非参数概率密度估计的活动轮廓模型：统计的方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.2.1 非参数概率密度估计的方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.2.2 非参数统计模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.3 非参数概率密度估计的活动轮廓模型：信息论的方法. . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.4 注记. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.5 小结. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
第6 章图像配准：基本概念. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .106
6.1 什么是图像配准. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .106
6.2 配准的定义及分类. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.3 配准的基本方式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .108
6.3.1 刚性变换. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.3.2 仿射变换. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.3.3 可形变变换. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.4 几种常见的医学图像模态. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.5 小结. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
第7 章可形变的图像配准. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .117
7.1 单模态下的配准模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .117
7.2 逆一致可形变的图像配准. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7.3 多模态下的配准模型：信息论方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.4 多模态下的配准模型：统计方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
7.4.1 基于瑞利度量的配准模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
7.4.2 基于瑞利度量模型的计算. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
7.4.3 统计相关性的一点补充. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128
7.5 小结. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
第8 章核磁共振图像重构. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131
8.1 核磁共振图像的数学模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
8.2 压缩传感. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .132
8.2.1 信号的稀疏表示. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8.2.2 压缩传感理论. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8.3 基于小波变换基的MR 图像重构. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
8.3.1 基于小波基的重构模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .134
8.3.2 快速算法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
8.4 基于冗余字典的MR 图像重构. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .139
8.4.1 冗余字典. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
8.4.2 基于冗余字典的重构模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
8.4.3 快速算法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
8.5 小结. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
第9 章扩散核磁共振成像. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .146
9.1 引言. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
9.2 DMRI 简介及基本概念. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
9.3 DTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
9.3.1 DTI 的主要原理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
9.3.2 计算简介及张量估计. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151
9.3.3 基于Navier-Stokes 流体力学的DTI 跟踪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
9.4 HARDI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .157
9.4.1 扩散ODF 的分析重建. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
9.4.2 高阶张量场上的Finsler 几何及其在HARDI 上的应用. . . . . . . . . . . . . . . 159
9.5 小结. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
参考文献. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .163
索引. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
《信息与计算科学丛书》已出版书目. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
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第1 章预备知识 本章主要介绍本书中要用到的一些数学知识和方法, 包括变分法和梯度下降 流、平面曲线理论、概率统计基本知识、信息论基本知识以及再生核希尔伯特空间 的相关知识. 其中变分法和梯度下降流是贯穿整本书的方法基础, 平面曲线理论是 学习图像分割的基础, 概率统计、信息论基本知识与再生核希尔伯特空间在图像分 割与配准模型建立和计算中起到重要的作用. 1.1 变分法和梯度下降流 本节主要介绍三部分内容：能量泛函的变分计算、能量泛函的一阶变分所对应 的梯度下降流和形状导数相关的梯度下降流. 1.1.1 能量泛函的变分计算 数. 加托导数是微分学中方向导数的概念的推广. 定义1.1 假设X 是一个巴拿赫空间, E : X ! R, E 在u 点沿着v 方向的 加托导数定义为 E0(u; v) = lim t!0 E(u + tv) ？ E(u) t ; (1.1.9) 如果对于任意的v 2 X, 此极限存在, 则称E 在u 2 X 有加托导数. 若E 有加托导数, 且极小化问题min v2X E(v) 有解u, 那么 E0(u) = 0: 反之, 若E 是凸的, 那么E0(u) = 0 的解u 是极小化问题的解. 称 E0(u) = 0 或 E u = 0 (1.1.10) 为欧拉{拉格朗日(Euler-Lagrange, E-L) 方程. 1.1.2 梯度下降流 变分问题 min u2X E(u) (1.1.11) 所对应的梯度下降流为 @u @t = ？ E u ; (1.1.12) 其中？ E u 是能量泛函E 下降/减小的方向. 这是由于一方面, E0(u; v) = lim t!0 E(u + tv) ？ E(u) t = - E u vdx: (1.1.13) 当E0(u; v) < 0 时, 能量是减小的. 另一方面, 又注意到式(1.1.7) 中v 是任意的, 不妨设v = @u @t , 此时若 @u @t = ？ E u , 则E0(u; v) < 0, 且E 下降得*快. 下面介绍另外一种计算能量泛函E 所对应的梯度下降流的方法. 引入时间变量t, 则能量泛函是关于时间变量的函数, 即 E(u(x; t)) = - f(x; u(x; t);ru(x; t))dx; (1.1.14) 下面将E(u(x; t)) 简记为E(t). 一般来说, 需要求能量泛函E 的极小化问题, 那么能量泛函必须随着时间t 的 增加而减小, 即需要 @E @t < 0, 而 @E @t = - μ @f @u ut + @f @？ (ru)t ？ dx = - μ @f @u ut ？ X i @ @xi 3@f @？ ′ ut ？ dx + @- @f @o utds = - μ @f @u ？ X i @ @xi 3@f @？ ′？ utdx: (1.1.15) 式(1.1.15) 中第二个等式用到了Green 公式, 其中o 表示- 的边界@- 的外法向 量, 第三个等式用到了Neumann 边界条件 @f @o = 0: (1.1.16) 为了使 @E @t < 0, 选取 @u @t = ？ μ @f @u ？ X i @ @xi 3@f @？ ′？ : (1.1.17) 这与先求E-L 方程, 再通过梯度下降的方法求能量泛函的梯度下降流所得的结果 是一致的. 这种方法也常常用来求能量泛函极值问题的梯度下降流. 1.1.3 形状导数相关的梯度下降流 本节主要介绍对于下列形式的能量泛函, 如何求它的极小化问题的解, 即如何 求曲线c 的梯度下降流 E(c) = R(c) f(？(c))dx; (1.1.18) 其中？(c) = R(c) g(x; ^x)d^x, g 是不依赖于c 的函数, R 是曲线c 的内部区域. 注意 到此能量泛函的被积函数f 仍依赖于曲线c 或曲线c 的内部区域R, 称这样的能 量泛函为嵌套的区域积分. 引入时间变量t, 将能量泛函(1.1.18) 重新写为 E(c(t)) = R(c(t)) f(？(x; t))dx; (1.1.19) 其中？(x; t) = R(c(t)) g(x; ^x)d^x. 首先, 我们先看如下形式的区域积分： E(c(t)) = R(c(t)) f(x)dx; (1.1.20) 其中被积函数f(x) 不依赖于曲线c 和时间t. 对E 关于时间t 求导, 并将区域积分转化为曲线积分得 dE(c(t)) dt = c(t) hct; f(x)Noutids; (1.1.21) 其中Nout 表示曲线c 的单位外法向量. 因此, 曲线c 的梯度下降流为 @c(t) @t = ？f(x)Nout = f(x)Nin; (1.1.22) 其中Nin 表示曲线c 的单位内法向量. 然后, 我们来看能量泛函(1.1.19). 令'(x; t) = f(？(x; t)), 则能量泛函(1.1.19) 可写成 E(c(t)) = R(c(t)) '(x; t)dx: (1.1.23) 那么 @E(c(t)) @t = R(c(t)) 't(x; t)dx + c(t) hct; '(x; t)Noutids; (1.1.24) 其中't(x; t) = @f(？(x; t)) @t = f0(？(x; t))？t(x; t). 由于？(x; t) 具有能量(1.1.20) 的形式, 其被积函数不依赖于曲线c, 则 ？t(x; t) = c(t) hct; g(x; c)Noutids: (1.1.25) 将(1.1.25) 代入(1.1.24) 得 @E(c(t)) @t = R(c(t)) f0(？(x; t)) c(t) hct; g(x; c)Noutidsdx + c(t) hct; f(？(x; t))Noutids = R(c(t)) c(t) hct; f0(？(x; t))g(x; c)Noutidsdx + c(t) hct; f(？(x; t))Noutids = c(t) D ct; h f(？(x; t)) + R(c(t)) f0(？(x; t))g(x; c)dx i Nout E ds: (1.1.26) 因此, 曲线c 的梯度下降流为 @c(t) @t =？ h f(？(c)) + R(c(t)) f0(？(x; t))g(x; c)dx i Nout = h f(？(c)) + R(c(t)) f0(？(x; t))g(x; c)dx i Nin: (1.1.27) 1.2 平面曲线理论 本节主要介绍平面曲线理论知识, 包括用参数表示的曲线和用水平集表示的曲 线两部分内容. 它们是学习图像分割模型的基础. 1.2.1 用参数表示的曲线 设c(p) = (x(p); y(p)) 是R2 上一条正则有向曲线, 其中p 2 [0; 1] 为曲线的参 数. 记曲线在p 点处的切向量为 T(p) , c0(p) = (x0(p); y0(p)); (1.2.1) 其单位切向量为 T(p) = c0(p) jc0(p)j ; (1.2.2) 相应的内法向量为 N(p) = (？y0(p); x0(p)); (1.2.3) 其单位内法向量为 N(p) = (？y0(p); x0(p)) jc0(p)j : (1.2.4) 从起点p0 = 0 到p 点所经过的距离, 即曲线的弧长, 为 s(p) = p 0 jc0(r)jdr: (1.2.5) 从而有 ds dp = jc0(p)j: (1.2.6)