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书名：偏微分方程引论
定价：118.0
ISBN：9787030477323
作者：韩丕功，刘朝霞
版次：1
出版时间：2016-04
内容提要：
本书系统介绍现代偏微分方程的基本理论和方法. 偏微分方程是数学学科的一个重要分支, 主要来源于物理学、化学、力学、几何学及泛函分析理论的研究, 它与其他数学分支均有广泛的联系, 而且在自然科学与工程技术中有广泛的应用. 本书内容主要包括广义函数理论, Sobolev 空间的基本性质和技巧, 二阶线性椭圆型方程、双曲型方程、抛物型方程与半群理论. 本书的特点是循序渐进, 强调基础理论的同时, 注意具体应用. 书中内容深入浅出, 文字通俗易懂, 并配有适量难易兼顾的习题.
目录：
目录
《现代数学基础丛书》序
前言
符号表
第1章预备知识1
1.1基础知识和常用不等式1
1.1.1几个常用不等式1
1.1.2常用符号和定义3
1.1.3一些基础知识3
1.2结构安排6
习题17
第2章广义函数8
2.1基本空间8
2.1.1引言8
2.1.2基本空间C1(Rn),C1c(Rn)9
2.1.3磨光算子11
2.1.4基本空间S(Rn)17
2.2三类广义函数及其性质21
2.2.1三类广义函数21
2.2.2广义函数的支集26
2.2.3广义函数的极限30
2.2.4广义函数的导数36
2.2.5广义函数的乘子41
2.2.6广义函数的自变量变换42
2.2.7广义函数的卷积43
2.3Fourier变换47
2.3.1S(Rn)空间上的Fourier变换48
2.3.2L1(Rn)空间上的Fourier变换53
2.3.3S0(Rn)空间上的Fourier变换58
2.3.4拟微分算子62
习题266
第3章Sobolev空间69
3.1非负整数Sobolev空间69
3.2负整数Sobolev空间76
3.3实指数Sobolev空间82
3.4延拓定理87
3.5Sobolev嵌入定理90
3.6Sobolev紧嵌入定理108
3.7迹定理116
3.8Besov空间及其性质121
3.9一些重要的不等式123
习题3130
第4章几类偏微分方程131
4.1一般概念131
4.2基本解134
习题4146
第5章二阶椭圆型方程148
5.1预备知识148
5.2边值问题的可解性152
5.3弱解的正则性163
5.4调和函数及其性质174
习题5181
第6章双曲型方程183
6.1能量不等式183
6.2初边值问题解的存在性190
6.3对称双曲组的可解性203
习题6212
第7章抛物型方程与半群理论214
7.1二阶抛物型方程214
7.2算子半群理论223
7.3Laplace变换及其逆变换243
7.4解析算子半群267
7.5分数次阶算子278
7.6半群理论的简单应用289
习题7295
参考文献297
索引299
《现代数学基础丛书》已出版书目300
在线试读：
第1章预备知识
作为全书的预备知识,本章主要介绍一些基础知识和常用的不等式.为了紧缩篇幅,这些不等式都没有给出证明,但会指出有详细证明的参考文献.此外,我们假定读者了解实变函数理论和泛函分析的基本知识.某些需要用到的结果将在各章适当的地方加以介绍.
1.1基础知识和常用不等式
本节介绍偏微分方程理论中一些常用的不等式、Sobolev空间的基本知识等.
1.1.1几个常用不等式
(1)设,则成立
更一般的形式:设,对任意的成立
(2)Young不等式设，且，成立
特别地,当p=q=2时,称为Cauchy不等式.
设为一可测集.
(3)H.older不等式设,且.对任意,成立
特别地,当p=q=2时,称为Schwarz不等式.
离散的H.older不等式对于任意的正整数m,以及上述p;q,成立
其中,当时,
H.older不等式还可以推广到一般形式:设，满足
则对任意的,成立
(4)内插不等式设,且，满足,则对任意,成立
(5)Minkowski不等式设,对任意，成立
离散的Minkowski不等式对于任意的正整数m,以及上述p,成立设,称f为I上的(实值)凸函数.如果对任意的,成立
容易验证:如果存在,则，关于凸函数,成立如下不等式.
(6)Jensen不等式设为有限实数,以及为凸函数,则下述不等式成立:或简写为，这里
(7)加权不等式设,则成立
(8)Jordan不等式对任意的,成立:
1.1.2常用符号和定义
为了对本书中的叙述进行准确的说明,引进一些符号和定义.例如,C表示平面复数域,Rn表示n维欧氏空间,表示Rn中的点,它的范数记为:,两个点x;y的内积记为，表示自然数集合.如果是非负整数j的一个n重组,则把称为一个多重指标,且用x.来表示次数为的单项式,即
此外,记
其中.设;为两个多重指标,如果,
则称,此时不难验证；还记.
给定一个集合,用表示的边界,表示的闭包.对于给定的另一集合以及点,用和分别表示点x到集合Q,集合和集合Q之间的距离:
对于给定的r>0以及点,记Br(x)是以x为球心,r为半径的球.
始终用C(有时也用)表示正常数,它们在不同的地方可以不同.表示通常的Lp空间,其范数的定义为
1.1.3一些基础知识
本节不加证明地罗列本书中关于实变函数与泛函分析的若干基本结论,这些基础性的结论都能在通常的实变函数论与泛函分析教材中找到,如可参见文献。书中经常用到紧集的概念.赋范空间X的子集A称为紧的,如果A中的每个点列包含一个子序列,该子序列在X中收敛到A中的一个元素.紧集是闭的有界集,但闭的有界集不一定是紧集,除非X是有限维的.A称为准紧的,如果其闭包A(在范数拓扑下)是紧的.A称为弱序列紧的,如果A中的每个序列包含一个子序列,该子序列在X中弱收敛到A中的一个元素.需要指出的是,集合KRn是紧集,当且仅当K是有界闭集.该结论仅在有穷维距离空间上成立,在无穷维空间上不成立.弱紧定理Banach空间X是自反的当且仅当X中的闭单位球是弱序列紧的.
Lusin定理假定f是Rn上的可测函数,是一可测集合,且.如果对任意的,则对任意的,存在,使得，并且，这里Cc(A)表示所有在A上的连续函数构成的线性空间,并且对任意的，具有性质,其中"表示严格包含于;.如果Rn上的实值函数s(x)的值域是有限个实数,则称s(x)为简单函数.下面是关于简单函数的逼近定理,这在积分论中是一个非常有用的工具.逼近定理设A为Rn中的一个集合,f为定义在A上的实值函数,则存在一个简单函数列sk(x),使得
如果f是有界的,则上述点点收敛可以改为一致收敛;如果f是可测函数,上述每个sk都可以选为可测函数;如果f是非负的,上述每个sk(x)都可以选为在每一点x2A上都是单调增加的.Lebesgue控制收敛定理设-是Rn(n>1)中的可测集合,是一个实值的可测函数列.如果逐点收敛于一个函数f,且存在一个Lebesgue非负可积函数,使得对每个,以及几乎处处的,都有
则,且成立
a-Ascoli定理设-是Rn(n2N)中的有界开集,M是中的子集合.如果M是一致有界和等度连续的,则M在中是准紧的.这里M的有界性:
和等度连续:对任意的,存在,使得
压缩不动点定理设是一个完备的距离空间,映射T:若
存在0<<1,使得,则T在X上存在**的不动点,即.Riesz表示定理设H是一个Hilbert空间,令是它的对偶空间.假定f是H上的一个连续的线性泛函,即,则存在**的,使得
并且:
闭图像定理设X;Y为Banach空间,赋予的范数，使得成为Banach空间.假定为线性算子.定义T的图像为的子空间
那么,闭图像定理指T是连续的(与有界等价)当且仅当(T)在内是闭集.
共鸣定理(又称一致有界定理)设X是Banach空间,Y为赋范线性空间,I为指标集,T.是的线性有界算子,如果对于一切x2X,数集都是有界的,则存在一个和无关的实常数C,使得
*后,简单介绍一下弱收敛方法,其被广泛应用于偏微分方程大初值整体弱解的建立过程中.弱收敛定义设是Rn(n>2)中的开区域若存在函数及函数序列满足:对任意的函数,成立
则称弱收敛于f,记为
弱收敛序列的有界性假定,则
注1假设,以及，则
即弱收敛+范数收敛=)强收敛.
弱收敛定理设是中的开区域,1<q<1.假定函数序列关于k是一致有界的,即,则存在子序列和函数,使得下述弱收敛关系成立
注2弱收敛定义.在上述弱收敛定义中,如果及函数序列满足:对任意的函数,成立则称弱收敛于f,记为.
注3在上述弱收敛序列的有界性、弱收敛定理以及注1中,当q=1时,结论均成立,相应的弱收敛改为弱收敛.
1.2结构安排
近几十年来,对现代偏微分方程的研究日益受到重视,这是因为一方面这些方程所涉及的大量问题来源于物理学、化学、力学和生物学中的众多数学模型,具有强烈的实际应用背景.另一方面,在对这些问题的研究中,对数学本身也提出了许多挑战性的问题,从而引起越来越多的数学家、物理学家、生物学家等的关注.本书对现代偏微分方程理论作简要的介绍,它也是读者进入一个新的理论领域的起点.
本书共分七章,第2章主要考虑广义函数,其是古典函数概念的推广.介绍三类广义函数的基本性质,包括支集、极限、导数、乘子、自变量变换、卷积和Fourier变换等.目前关于广义函数的研究构成了泛函分析理论中的一个重要分支,广义函数被广泛地应用于数学、物理、力学以及分析数学的其他各个分支.例如,微分方程、随机过程、流形理论等,它还被广泛应用到群的表示理论,特别是它有力地促进了偏微分方程近三十年来的发展.
第3章主要介绍Sobolev空间及其相关性质,包括非负整数、负整数和实指数Sobolev空间,Sobolev(紧)嵌入定理,延拓定理,迹定理,Besov空间及其性质.
第4章介绍偏微分方程的一般理论,包括一般概念与基本解等.
第5章考虑二阶线性椭圆型方程,包括边值问题的可解性和弱解的正则性等.
第6章研究二阶线性双曲型方程,重点介绍能量不等式和**性、初边值问题解的存在性以及对称双曲组的可解性.
第7章研究二阶线性抛物型方程,主要介绍能量不等式、算子半群和无穷小生成元的关系、解析算子半群、分数次阶算子等。
定价：118.0
ISBN：9787030477323
作者：韩丕功，刘朝霞
版次：1
出版时间：2016-04
内容提要：
本书系统介绍现代偏微分方程的基本理论和方法. 偏微分方程是数学学科的一个重要分支, 主要来源于物理学、化学、力学、几何学及泛函分析理论的研究, 它与其他数学分支均有广泛的联系, 而且在自然科学与工程技术中有广泛的应用. 本书内容主要包括广义函数理论, Sobolev 空间的基本性质和技巧, 二阶线性椭圆型方程、双曲型方程、抛物型方程与半群理论. 本书的特点是循序渐进, 强调基础理论的同时, 注意具体应用. 书中内容深入浅出, 文字通俗易懂, 并配有适量难易兼顾的习题.
目录：
目录
《现代数学基础丛书》序
前言
符号表
第1章预备知识1
1.1基础知识和常用不等式1
1.1.1几个常用不等式1
1.1.2常用符号和定义3
1.1.3一些基础知识3
1.2结构安排6
习题17
第2章广义函数8
2.1基本空间8
2.1.1引言8
2.1.2基本空间C1(Rn),C1c(Rn)9
2.1.3磨光算子11
2.1.4基本空间S(Rn)17
2.2三类广义函数及其性质21
2.2.1三类广义函数21
2.2.2广义函数的支集26
2.2.3广义函数的极限30
2.2.4广义函数的导数36
2.2.5广义函数的乘子41
2.2.6广义函数的自变量变换42
2.2.7广义函数的卷积43
2.3Fourier变换47
2.3.1S(Rn)空间上的Fourier变换48
2.3.2L1(Rn)空间上的Fourier变换53
2.3.3S0(Rn)空间上的Fourier变换58
2.3.4拟微分算子62
习题266
第3章Sobolev空间69
3.1非负整数Sobolev空间69
3.2负整数Sobolev空间76
3.3实指数Sobolev空间82
3.4延拓定理87
3.5Sobolev嵌入定理90
3.6Sobolev紧嵌入定理108
3.7迹定理116
3.8Besov空间及其性质121
3.9一些重要的不等式123
习题3130
第4章几类偏微分方程131
4.1一般概念131
4.2基本解134
习题4146
第5章二阶椭圆型方程148
5.1预备知识148
5.2边值问题的可解性152
5.3弱解的正则性163
5.4调和函数及其性质174
习题5181
第6章双曲型方程183
6.1能量不等式183
6.2初边值问题解的存在性190
6.3对称双曲组的可解性203
习题6212
第7章抛物型方程与半群理论214
7.1二阶抛物型方程214
7.2算子半群理论223
7.3Laplace变换及其逆变换243
7.4解析算子半群267
7.5分数次阶算子278
7.6半群理论的简单应用289
习题7295
参考文献297
索引299
《现代数学基础丛书》已出版书目300
在线试读：
第1章预备知识
作为全书的预备知识,本章主要介绍一些基础知识和常用的不等式.为了紧缩篇幅,这些不等式都没有给出证明,但会指出有详细证明的参考文献.此外,我们假定读者了解实变函数理论和泛函分析的基本知识.某些需要用到的结果将在各章适当的地方加以介绍.
1.1基础知识和常用不等式
本节介绍偏微分方程理论中一些常用的不等式、Sobolev空间的基本知识等.
1.1.1几个常用不等式
(1)设,则成立
更一般的形式:设,对任意的成立
(2)Young不等式设，且，成立
特别地,当p=q=2时,称为Cauchy不等式.
设为一可测集.
(3)H.older不等式设,且.对任意,成立
特别地,当p=q=2时,称为Schwarz不等式.
离散的H.older不等式对于任意的正整数m,以及上述p;q,成立
其中,当时,
H.older不等式还可以推广到一般形式:设，满足
则对任意的,成立
(4)内插不等式设,且，满足,则对任意,成立
(5)Minkowski不等式设,对任意，成立
离散的Minkowski不等式对于任意的正整数m,以及上述p,成立设,称f为I上的(实值)凸函数.如果对任意的,成立
容易验证:如果存在,则，关于凸函数,成立如下不等式.
(6)Jensen不等式设为有限实数,以及为凸函数,则下述不等式成立:或简写为，这里
(7)加权不等式设,则成立
(8)Jordan不等式对任意的,成立:
1.1.2常用符号和定义
为了对本书中的叙述进行准确的说明,引进一些符号和定义.例如,C表示平面复数域,Rn表示n维欧氏空间,表示Rn中的点,它的范数记为:,两个点x;y的内积记为，表示自然数集合.如果是非负整数j的一个n重组,则把称为一个多重指标,且用x.来表示次数为的单项式,即
此外,记
其中.设;为两个多重指标,如果,
则称,此时不难验证；还记.
给定一个集合,用表示的边界,表示的闭包.对于给定的另一集合以及点,用和分别表示点x到集合Q,集合和集合Q之间的距离:
对于给定的r>0以及点,记Br(x)是以x为球心,r为半径的球.
始终用C(有时也用)表示正常数,它们在不同的地方可以不同.表示通常的Lp空间,其范数的定义为
1.1.3一些基础知识
本节不加证明地罗列本书中关于实变函数与泛函分析的若干基本结论,这些基础性的结论都能在通常的实变函数论与泛函分析教材中找到,如可参见文献。书中经常用到紧集的概念.赋范空间X的子集A称为紧的,如果A中的每个点列包含一个子序列,该子序列在X中收敛到A中的一个元素.紧集是闭的有界集,但闭的有界集不一定是紧集,除非X是有限维的.A称为准紧的,如果其闭包A(在范数拓扑下)是紧的.A称为弱序列紧的,如果A中的每个序列包含一个子序列,该子序列在X中弱收敛到A中的一个元素.需要指出的是,集合KRn是紧集,当且仅当K是有界闭集.该结论仅在有穷维距离空间上成立,在无穷维空间上不成立.弱紧定理Banach空间X是自反的当且仅当X中的闭单位球是弱序列紧的.
Lusin定理假定f是Rn上的可测函数,是一可测集合,且.如果对任意的,则对任意的,存在,使得，并且，这里Cc(A)表示所有在A上的连续函数构成的线性空间,并且对任意的，具有性质,其中"表示严格包含于;.如果Rn上的实值函数s(x)的值域是有限个实数,则称s(x)为简单函数.下面是关于简单函数的逼近定理,这在积分论中是一个非常有用的工具.逼近定理设A为Rn中的一个集合,f为定义在A上的实值函数,则存在一个简单函数列sk(x),使得
如果f是有界的,则上述点点收敛可以改为一致收敛;如果f是可测函数,上述每个sk都可以选为可测函数;如果f是非负的,上述每个sk(x)都可以选为在每一点x2A上都是单调增加的.Lebesgue控制收敛定理设-是Rn(n>1)中的可测集合,是一个实值的可测函数列.如果逐点收敛于一个函数f,且存在一个Lebesgue非负可积函数,使得对每个,以及几乎处处的,都有
则,且成立
a-Ascoli定理设-是Rn(n2N)中的有界开集,M是中的子集合.如果M是一致有界和等度连续的,则M在中是准紧的.这里M的有界性:
和等度连续:对任意的,存在,使得
压缩不动点定理设是一个完备的距离空间,映射T:若
存在0<<1,使得,则T在X上存在**的不动点,即.Riesz表示定理设H是一个Hilbert空间,令是它的对偶空间.假定f是H上的一个连续的线性泛函,即,则存在**的,使得
并且:
闭图像定理设X;Y为Banach空间,赋予的范数，使得成为Banach空间.假定为线性算子.定义T的图像为的子空间
那么,闭图像定理指T是连续的(与有界等价)当且仅当(T)在内是闭集.
共鸣定理(又称一致有界定理)设X是Banach空间,Y为赋范线性空间,I为指标集,T.是的线性有界算子,如果对于一切x2X,数集都是有界的,则存在一个和无关的实常数C,使得
*后,简单介绍一下弱收敛方法,其被广泛应用于偏微分方程大初值整体弱解的建立过程中.弱收敛定义设是Rn(n>2)中的开区域若存在函数及函数序列满足:对任意的函数,成立
则称弱收敛于f,记为
弱收敛序列的有界性假定,则
注1假设,以及，则
即弱收敛+范数收敛=)强收敛.
弱收敛定理设是中的开区域,1<q<1.假定函数序列关于k是一致有界的,即,则存在子序列和函数,使得下述弱收敛关系成立
注2弱收敛定义.在上述弱收敛定义中,如果及函数序列满足:对任意的函数,成立则称弱收敛于f,记为.
注3在上述弱收敛序列的有界性、弱收敛定理以及注1中,当q=1时,结论均成立,相应的弱收敛改为弱收敛.
1.2结构安排
近几十年来,对现代偏微分方程的研究日益受到重视,这是因为一方面这些方程所涉及的大量问题来源于物理学、化学、力学和生物学中的众多数学模型,具有强烈的实际应用背景.另一方面,在对这些问题的研究中,对数学本身也提出了许多挑战性的问题,从而引起越来越多的数学家、物理学家、生物学家等的关注.本书对现代偏微分方程理论作简要的介绍,它也是读者进入一个新的理论领域的起点.
本书共分七章,第2章主要考虑广义函数,其是古典函数概念的推广.介绍三类广义函数的基本性质,包括支集、极限、导数、乘子、自变量变换、卷积和Fourier变换等.目前关于广义函数的研究构成了泛函分析理论中的一个重要分支,广义函数被广泛地应用于数学、物理、力学以及分析数学的其他各个分支.例如,微分方程、随机过程、流形理论等,它还被广泛应用到群的表示理论,特别是它有力地促进了偏微分方程近三十年来的发展.
第3章主要介绍Sobolev空间及其相关性质,包括非负整数、负整数和实指数Sobolev空间,Sobolev(紧)嵌入定理,延拓定理,迹定理,Besov空间及其性质.
第4章介绍偏微分方程的一般理论,包括一般概念与基本解等.
第5章考虑二阶线性椭圆型方程,包括边值问题的可解性和弱解的正则性等.
第6章研究二阶线性双曲型方程,重点介绍能量不等式和**性、初边值问题解的存在性以及对称双曲组的可解性.
第7章研究二阶线性抛物型方程,主要介绍能量不等式、算子半群和无穷小生成元的关系、解析算子半群、分数次阶算子等。