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书名：数学分析学习辅导II——微分与积分
定价：49.0
ISBN：9787030382306
作者：刘名生，韩彦昌，徐志庭，冯伟贞
版次：3101
出版时间：2015-11
内容提要：
本书主要研究数学分析中的微分与积分及相关的一些问题. 包括一 元函数微分学、一元函数微分法的应用、一元函数积分学和多元函数及 其微分学等. 本书在内容的安排上, 深入浅出, 表达清楚, 可读性和系 统性强. 书中主要通过一些疑难解析和大量的典型例题来解析数学分析 的内容和解题方法, 并提供了一定数量的习题, 便于教师在习题课中使 用, 也有利于学生在学习数学分析时练习提高.
目录：
《数学分析立体化教材》序言
前言
第1 章一元函数微分学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 疑难解析. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 典型例题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 微分与导数的概念. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 微分与导数的计算. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.3 综合举例. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16
1.3 练习题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
第2 章一元函数微分法的应用. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1 疑难解析. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2 典型例题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.1 微分中值定理及其应用. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.2 Taylor 公式与不定式极限. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33
2.2.3 利用导数研究函数的性态. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2.4 利用导数证明不等式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.2.5 综合举例. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52
2.3 练习题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
第3 章一元函数积分学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.1 疑难解析. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.2 典型例题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.2.1 不定积分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74
3.2.2 定积分的概念与性质. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.2.3 微积分基本定理及定积分的计算. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83
3.2.4 定积分的可积性判别. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.2.5 积分中值定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.2.6 定积分在几何上的应用. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.3 练习题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
第4 章多元函数微分学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.1 疑难解析. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102
4.2 典型例题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .105
4.2.1 偏导数与全微分的概念. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.2.2 利用偏导数运算法则求偏导数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107
4.2.3 高阶偏导数的计算. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.2.4 综合举例. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.3 练习题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
第5 章多元函数微分法的应用. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.1 疑难解析. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121
5.2 典型例题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125
5.2.1 方向导数与多元函数Taylor 公式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.2.2 一般极值和条件极值. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.2.3 隐函数(组) 定理及其应用. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.2.4 几何应用. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.2.5 综合举例. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.3 练习题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
第6 章重积分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .146
6.1 疑难解析. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .146
6.2 典型例题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .156
6.2.1 二重积分的概念. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
6.2.2 直角坐标系下二重积分的计算. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .159
6.2.3 二重积分的变量变换. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.2.4 三重积分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
6.2.5 综合举例. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
6.3 练习题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
第7 章曲线积分与曲面积分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
7.1 疑难解析. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .182
7.2 典型例题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .188
7.2.1 **型曲线积分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
7.2.2 **型曲面积分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
7.2.3 第二型曲线积分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
7.2.4 第二型曲面积分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
7.2.5 综合举例. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
7.3 练习题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
第8 章各种积分之间的关系. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
8.1 疑难解析. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .223
8.2 典型例题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .225
8.2.1 Green 公式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
8.2.2 Gauss 公式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
8.2.3 Stokes 公式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
8.2.4 曲线积分与路径无关的条件. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .233
8.2.5 综合举例. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
8.3 练习题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
练习题的参考答案或提示. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
参考文献. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .250
在线试读：
第1章 一兀函数微分学 I.I 疑难解析 1．对于函数Ⅳ=，(z)，什么叫可微？什么叫微分？ 答：设函数∥=，(z)在某个U(xo;巧)内有定义，x0+△z∈U(xo;占)．如果存 在与△z无关的常数A，使△y= f(x0+△z)- f(x0)能表示成 Ay=AAx+o(Ax)， (1.1.1) 则称函数，在点xo可微，并称4△z为，在点x0的微分，记作 dyl。：。。=4△x 或d,I。：。。=4△x. 2．对于函数Ⅳ=，(z)，什么叫可导？什么叫导数？ 答：设函数可=，(z)在某个U(xo；巧)内有定义，如果极限 ． A可 lim fx0+Ax) -，(xo) limo巫2△。。0——A_一 (1.1.2) 存在，则称函数，在点xo可导，并称这个极限值为，在点x0的导数，记作，7(zo)， 即 ：x0+Ax) -，(xo) ，7(z。)=生竺。丛旦 ———五■—一‘ 3．可微、可导、微分、导数都是一回事吗？它们之间有什么关系？ 答：不是一回事．可微与可导是指函数在一点的状态，而微分与导数是与函数 在一点的可微与可导性相关的两个量，对于一元函数来说，可微与可导是等价的， 如果函数可=，(z)在点xo附近满足式(1.1.1)，那么称函数∥=，(z)茌点x0 可微，此时函数∥=，(z)在点x0也可导，反之亦然．A就等于函数∥=，(z)在 点x0的导数，7(zo)，而A△x就是函数可=，(z)在点x0的微分dyl。：。。，即函数 可=，(z)在点x0可导与可微是等价的，当函数∥=，(z)在点x0可导或者可微时， 函数在这点肯定有微分和导数，但是函数y - f(x)在点x0的微分与导数一般不 相等． 4．若函数可=，(z)在点xo存在左导数和右导数，问，(x)在点x0是否可导？ 它们之间有什么关系？ 答：如果函数y = f(x) 在点x0 存在左导数和右导数, f(x) 在点x0 不一定可 导. 例如, 函数f(x) = jxj 在点x = 0 存在左导数f0？ (0) = ？1 和右导数f0+ (0) = 1, 但是f(x) = jxj 在点x = 0 不可导. 函数f(x) 在点x0 可导当且仅当f(x) 在点x0 存在左导数和右导数, 且左导 数等于右导数. 5. 若函数y = f(x) 在点x0 存在左导数和右导数, 问f(x) 在点x0 是否连续? 它们之间有什么关系？ 答：函数f(x) 在点x0 连续, 因为函数y = f(x) 在点x0 存在左导数和右导数, 所以函数f(x) 在点x0 左连续和右连续, 因此f(x) 在点x0 连续. 反过来, 如果函数f(x) 在点x0 连续, 不能推出f(x) 在点x0 存在左导数或者 右导数. 例如, 函数f(x) = 3 p x 在点x = 0 连续, 但是f(x) 在点x = 0 不存在左导 数, 也不存在右导数. 6. 微分、导数的几何意义是什么? 答：微分与导数的几何意义是：函数y = f(x) 在x0 处的导数f0(x0) 是曲线 y = f(x) 在(x0; f(x0)) 处的切线的斜率, 函数y = f(x) 在x0 处的微分dyjx=x0 是 曲线y = f(x) 在(x0; f(x0)) 处的切线方程y = f0(x0)(x？x0)+f(x0) 在(x0; f(x0)) 处的增量f0(x0)(x ？ x0). 7. 若曲线y = f(x) 在点(x0; f(x0)) 有切线, 问函数y = f(x) 在x0 处是否 可导? 答：若曲线y = f(x) 在点(x0; f(x0)) 有切线, 函数y = f(x) 在x0 处不一定可 导. 例如, 函数y = x 1 3 在x = 0 处有切线x = 0, 但是它在x = 0 处不可导. 如果曲线y = f(x) 在点(x0; f(x0)) 有不垂直于x 轴的切线, 那么函数y = f(x) 在x0 处是可导的. 8. 如果函数f(x) 在x0 处可导, 能否推知f(x) 在x0 的某个邻域内处处可导? 能否推知f(x) 在x0 的某个邻域内处处连续? 能否推知f(x) 在x0 的某个邻域内 有定义? 答：如果函数f(x) 在x0 处可导, 那么由可导的定义知, f(x) 必然在x0 的某 个邻域内有定义. 但是, 不能由此推出f(x) 在x0 的某个邻域内处处连续, 更不能 推出f(x) 在x0 的某个邻域内处处可导. 例如, 对于函数 f(x) = ( x2; x为有理数; 0; x为无理数; 易证f0(0) = 0. 但是f(x) 在所有x 6= 0 处都不连续, 更不可导. 9. 设f(x) = 8< : x2 sin 1 x ; x 6= 0; 0; x = 0; 当x 6= 0 时, f0(x) = 2x sin 1 x ？cos 1 x . 下面 关于f0(0) 不存在的两种证明是否正确? (1) 在等式f0(x) = 2x sin 1 x ？ cos 1 x 中, 令x = 0, 显然没有意义, 所以f0(0) 不 存在; (2) 因为lim x!0 f0(x) = lim x!0 · 2x sin 1 x ？ cos 1 x ？ 不存在, 所以f0(0) 不存在. 答：这两种分析都不正确. (1) 中的错误是：只有当x 6= 0 时, 等式f0(x) = 2x sin 1 x ？cos 1 x 才正确. (2) 中的错误是：不能由极限lim x!0 f0(x) 的存在性推出f0(0) 的存在性, 因为只有当f0(x) 在x = 0 处连续时, 才有f0(0) = lim x!0 f0(x). 正确的方法是按照导数的定义求f0(0)： f0(0) = lim x!0 f(x) ？ f(0) x ？ 0 = lim x!0 x sin 1 x = 0: 一般地, 对于分段函数在分段点的导数都要用导数的定义或者左右导数来求. 10. 判断下列命题的真假, 并说明理由： 1) 设f 在x = 0 处可导, 若f(0) = 0, 则f0(0) = 0, 反之也成立; 2) 若f 在x0 处可导, 且在U(x0) 内f(x) > 0, 则f0(x0) > 0; 3) 若f 为[？a ; a] 上偶函数, 且f0(0) 存在, 则f0(0) = 0; 4) 设f = ' + ？. 若f 在x0 处可导, 则' ; ？ 至少有一个在点x0 可导; 5) 设f = ' ￠ ？. 若f 在x0 处可导, 则' ; ？ 至少有一个在点x0 可导; 6) 若f 在x0 可导, 则jfj 也在x0 可导, 反之也成立. 答：1) 是假命题. 例如, f(x) = x 在x = 0 处可导, 且满足f(0) = 0, 但是 f0(0) = 1 6= 0. 反之, 对于f(x) ′ 1 在x = 0 处可导, 且f0(0) = 0, 但是f(0) = 1 6= 0. 2) 是假命题. 例如, f(x) = x2 + 1 在x = 0 处可导, 且在U(0) 内f(x) > 0, 但 是f0(0) = 0. 3) 是真命题. 因为f 为[？a ; a] 上偶函数, 且f0(0) 存在, 所以 f0(0) = lim x!0 f(x) ？ f(0) x ？ 0 = lim x!0 f(？x) ？ f(0) ？x = ？ lim x!0 f(x) ？ f(0) x ？ 0 = ？f0(0); 因此f0(0) = 0. 4) 是假命题. 例如, 设' 在x0 处不可导, ？ = 1？', 则f(x) = '(x)+？(x) = 1 在x = 0 处可导, 但是' ; ？ 都在点x0 不可导. 5) 是假命题. 例如, '(x) = jxj 与？(x) = ？2jxj 都在x = 0 处不可导, 但是 f(x) = ' ￠ ？ = ？2x2 在点x = 0 可导. 6) 是假命题. 例如, f(x) = x 在x = 0 处可导, 但是jfj = jxj 在x = 0 处不可 导. 又如, 对于g(x) = ( 1; x 2 Q; ？1; x 62 Q; 有jg(x)j ′ 1 在x = 0 处可导, 但g(x) 在 x = 0 处不可导. 即反之不成立. 11. 如何正确理解高阶微分不具备微分形式的不变性? 答：以二阶微分为例, 当x 是自变量时, d2y = f00(x)dx2: (1.1.3) 当x 是中间变量时, 考虑两个可导函数y = f(x) ; x = '(t) 复合而成的函数y = f('(t)), 于是 d2y=(f('(t)))00dt2 = (f0('(t))'0(t))0dt2 =[f00('(t))'02(t) + f0('(t))'00(t)]dt2 =f00('(t))'02(t)dt2 + f0('(t))'00(t)dt2 =f00(x)dx2 + f0(x)d2x: (1.1.4) 式(1.1.3) 和式(1.1.4) 表明, 二阶微分不具有微分形式的不变性. 其原因是当 x 是自变量时, d2x ′ 0; 当x = '(t) 是中间变量时, d2x = '00(t)dt2 6′ 0. 1.2 典型例题 1.2.1 微分与导数的概念 例1 设f(x) = xjxj, 试讨论函数f(x) 的可微性, 并求其微分. 分析可以用可微的定义验证. 解由于 ￠f(0) = f(0 + ￠x) ？ f(0) = ￠xj￠xj = 0 + o(￠x); 所以函数f(x) 在x = 0 处可微, 且dfjx=0 = 0. 又因为当x > 0 时, 对于任意￠x 2 (？x; x), 有 ￠f(x)=f(x + ￠x) ？ f(x) = (x + ￠x)2 ？ x2 =2x ￠ ￠x + (￠x)2 =2x ￠ ￠x + o(￠x); 所以f(x) 在(0;+1) 内可微, 且df = 2xdx. 同理可得, 函数f(x) 在(？1; 0) 内可微, 且df = ？2xdx. 综上所述, 函数f(x) 在(？1;+1) 内可微, 且df = 2jxjdx. ¤ 例2 设f0(x0) 存在, a; b 为两个非零常数, 求极限lim h!0 f(x0+ah)？f(x0+bh) h . 若lim h!0 f(x0 + h) ？ f(x0 ？ h) h 存在, 能否推出f0(x0) 存在? 分析所求极限与函数在一点的导数定义类似, 可以通过恒等变形, 设法利用 导数定义计算. 解由于f0(x0) 存在, 及a; b 为两个非零常数, 所以 lim h!0 f(x0 + ah) ？ f(x0 + bh) h = lim h!0 · a f(x0 + ah) ？ f(x0) ah ？ b f(x0 + bh) ？ f(x0) bh ？ =(a ？ b)f0(x0): 若lim h!0 f(x0 + h) ？ f(x0 ？ h) h 存在, 不能推出f0(x0) 存在. 例如, 设f(x) = jxj, 则 lim h!0 f(0 + h) ？ f(0 ？ h) h = lim h!0 jhj ？ j ？ hj h = 0; 但是f(x) = jxj 在x = 0 处没有导数. ¤ 例3 讨论下列函数的连续性与可导性: f(x) = ( 0; x 为无理数; x; x 为有理数; g(x) = ( 0; x 为无理数; x2; x 为有理数: 解先考虑函数f 的连续性与可导性. 对任意x0 6= 0, 取数列fx0 ng ？ RnQ, fx00 ng ？ Q, 使满足 x0 n ! x0; x00 n ! x0 (n ! 1); 则 lim n!1 f(x0 n) = lim n!1 0 = 0; lim n!1 f(x00 n) = lim n!1 x00 n = x0 6= 0; 于是根据归结原则得, lim x!x0 f(x) 不存在, 因此f(x) 在x0 处不连续, 当然也不可导. 对于x0 = 0, 由于jf(x)j 6 jxj, 所以f(x) 在x = 0 处连续. 但因为 f(x) ？ f(0) x ？ 0 = ( 0; x 为无理数; 1; x 为有理数 当x ! 0 时极限不存在, 所以f(x) 在x = 0 处不可导. 再考虑函数g 的连续性与可导性. 对任意x0 6= 0, 同理可得, g(x) 在x0 处不 连续, 也不可导. 对于x0 = 0, 由于 g(x) ？ g(0) x ？ 0 = f(x) ! 0 (x ! 0); 所以g(x) 在x = 0 处可导, 当然也连续, 且g0(0) = 0. ¤ 注函数f(x) 是在(？1;+1) 内有定义, 但是处处不可导的例子; 函数g(x) 是在(？1;+1) 内有定义, 但是仅在一点可导的例子. 例4 求曲线y = 2 p x 在点x = 1 的切线与法线方程. 分析注意函数f(x) 的导数f0(x0) 是曲线y = f(x) 在点(x0; f(x0)) 的切线 的斜率. 解由于y0jx=1 = p1 x jx=1 = 1, 所以曲线在点x = 1 的切线方程为 y ？ 2 = 1 ￠ (x ？ 1); 即y = x + 1. 又因为法线的斜率为？1, 所以法线方程为 y ？ 2 = ？1 ￠ (x ？ 1); 即y = ？x + 3. ¤ 1.2.2 微分与导数的计算 1. 利用定义求函数的导数 例1 设f(x) = 8< : x2 cos 1 x ; x > 0; x3; x 6 0; 求f0(0) 和dfjx=0. 分析这是分段函数, 在x = 0 的两侧, 函数有不同的表达式, 所以要分别求 左右导数, 然后求导数. 解由于 lim x!0+ f(x) ？ f(0) x ？ 0 = lim x!0+ x cos 1 x = 0; lim x!0？ f(x) ？ f(0) x ？ 0 = lim x!0？ x2 = 0; 所以f0+ (0) = f0？ (0) = 0, 因此f0(0) = 0, dfjx=0 = f0(0)dx = 0. ¤ 注分段函数在分段点的导数, 一般都要用导数的定义求. 例2 求函数f(x) = 8< : x2e？x2 ; jxj 6 1; 1 e ; jxj > 1 的导函数. 分析这是分段函数, 在x = §1 的两侧, 函数有不同的表达式, 所以在x = §1 处要分别用定义求左右导数, 然后求导数. 在其余地方可以用公式求导数. 解由条件, 根据求导公式, 有 f0(x) = 8>< >: (x2e？x2 )0 = 2x(1 ？ x2)e？x2 ; jxj < 1; μ 1 e ？0 = 0; jxj > 1:
定价：49.0
ISBN：9787030382306
作者：刘名生，韩彦昌，徐志庭，冯伟贞
版次：3101
出版时间：2015-11
内容提要：
本书主要研究数学分析中的微分与积分及相关的一些问题. 包括一 元函数微分学、一元函数微分法的应用、一元函数积分学和多元函数及 其微分学等. 本书在内容的安排上, 深入浅出, 表达清楚, 可读性和系 统性强. 书中主要通过一些疑难解析和大量的典型例题来解析数学分析 的内容和解题方法, 并提供了一定数量的习题, 便于教师在习题课中使 用, 也有利于学生在学习数学分析时练习提高.
目录：
《数学分析立体化教材》序言
前言
第1 章一元函数微分学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 疑难解析. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 典型例题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 微分与导数的概念. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 微分与导数的计算. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.3 综合举例. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16
1.3 练习题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
第2 章一元函数微分法的应用. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1 疑难解析. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2 典型例题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.1 微分中值定理及其应用. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.2 Taylor 公式与不定式极限. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33
2.2.3 利用导数研究函数的性态. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2.4 利用导数证明不等式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.2.5 综合举例. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52
2.3 练习题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
第3 章一元函数积分学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.1 疑难解析. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.2 典型例题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.2.1 不定积分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74
3.2.2 定积分的概念与性质. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.2.3 微积分基本定理及定积分的计算. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83
3.2.4 定积分的可积性判别. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.2.5 积分中值定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.2.6 定积分在几何上的应用. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.3 练习题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
第4 章多元函数微分学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.1 疑难解析. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102
4.2 典型例题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .105
4.2.1 偏导数与全微分的概念. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.2.2 利用偏导数运算法则求偏导数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107
4.2.3 高阶偏导数的计算. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.2.4 综合举例. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.3 练习题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
第5 章多元函数微分法的应用. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.1 疑难解析. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121
5.2 典型例题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125
5.2.1 方向导数与多元函数Taylor 公式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.2.2 一般极值和条件极值. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.2.3 隐函数(组) 定理及其应用. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.2.4 几何应用. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.2.5 综合举例. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.3 练习题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
第6 章重积分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .146
6.1 疑难解析. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .146
6.2 典型例题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .156
6.2.1 二重积分的概念. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
6.2.2 直角坐标系下二重积分的计算. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .159
6.2.3 二重积分的变量变换. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.2.4 三重积分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
6.2.5 综合举例. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
6.3 练习题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
第7 章曲线积分与曲面积分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
7.1 疑难解析. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .182
7.2 典型例题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .188
7.2.1 **型曲线积分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
7.2.2 **型曲面积分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
7.2.3 第二型曲线积分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
7.2.4 第二型曲面积分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
7.2.5 综合举例. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
7.3 练习题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
第8 章各种积分之间的关系. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
8.1 疑难解析. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .223
8.2 典型例题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .225
8.2.1 Green 公式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
8.2.2 Gauss 公式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
8.2.3 Stokes 公式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
8.2.4 曲线积分与路径无关的条件. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .233
8.2.5 综合举例. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
8.3 练习题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
练习题的参考答案或提示. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
参考文献. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .250
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第1章 一兀函数微分学 I.I 疑难解析 1．对于函数Ⅳ=，(z)，什么叫可微？什么叫微分？ 答：设函数∥=，(z)在某个U(xo;巧)内有定义，x0+△z∈U(xo;占)．如果存 在与△z无关的常数A，使△y= f(x0+△z)- f(x0)能表示成 Ay=AAx+o(Ax)， (1.1.1) 则称函数，在点xo可微，并称4△z为，在点x0的微分，记作 dyl。：。。=4△x 或d,I。：。。=4△x. 2．对于函数Ⅳ=，(z)，什么叫可导？什么叫导数？ 答：设函数可=，(z)在某个U(xo；巧)内有定义，如果极限 ． A可 lim fx0+Ax) -，(xo) limo巫2△。。0——A_一 (1.1.2) 存在，则称函数，在点xo可导，并称这个极限值为，在点x0的导数，记作，7(zo)， 即 ：x0+Ax) -，(xo) ，7(z。)=生竺。丛旦 ———五■—一‘ 3．可微、可导、微分、导数都是一回事吗？它们之间有什么关系？ 答：不是一回事．可微与可导是指函数在一点的状态，而微分与导数是与函数 在一点的可微与可导性相关的两个量，对于一元函数来说，可微与可导是等价的， 如果函数可=，(z)在点xo附近满足式(1.1.1)，那么称函数∥=，(z)茌点x0 可微，此时函数∥=，(z)在点x0也可导，反之亦然．A就等于函数∥=，(z)在 点x0的导数，7(zo)，而A△x就是函数可=，(z)在点x0的微分dyl。：。。，即函数 可=，(z)在点x0可导与可微是等价的，当函数∥=，(z)在点x0可导或者可微时， 函数在这点肯定有微分和导数，但是函数y - f(x)在点x0的微分与导数一般不 相等． 4．若函数可=，(z)在点xo存在左导数和右导数，问，(x)在点x0是否可导？ 它们之间有什么关系？ 答：如果函数y = f(x) 在点x0 存在左导数和右导数, f(x) 在点x0 不一定可 导. 例如, 函数f(x) = jxj 在点x = 0 存在左导数f0？ (0) = ？1 和右导数f0+ (0) = 1, 但是f(x) = jxj 在点x = 0 不可导. 函数f(x) 在点x0 可导当且仅当f(x) 在点x0 存在左导数和右导数, 且左导 数等于右导数. 5. 若函数y = f(x) 在点x0 存在左导数和右导数, 问f(x) 在点x0 是否连续? 它们之间有什么关系？ 答：函数f(x) 在点x0 连续, 因为函数y = f(x) 在点x0 存在左导数和右导数, 所以函数f(x) 在点x0 左连续和右连续, 因此f(x) 在点x0 连续. 反过来, 如果函数f(x) 在点x0 连续, 不能推出f(x) 在点x0 存在左导数或者 右导数. 例如, 函数f(x) = 3 p x 在点x = 0 连续, 但是f(x) 在点x = 0 不存在左导 数, 也不存在右导数. 6. 微分、导数的几何意义是什么? 答：微分与导数的几何意义是：函数y = f(x) 在x0 处的导数f0(x0) 是曲线 y = f(x) 在(x0; f(x0)) 处的切线的斜率, 函数y = f(x) 在x0 处的微分dyjx=x0 是 曲线y = f(x) 在(x0; f(x0)) 处的切线方程y = f0(x0)(x？x0)+f(x0) 在(x0; f(x0)) 处的增量f0(x0)(x ？ x0). 7. 若曲线y = f(x) 在点(x0; f(x0)) 有切线, 问函数y = f(x) 在x0 处是否 可导? 答：若曲线y = f(x) 在点(x0; f(x0)) 有切线, 函数y = f(x) 在x0 处不一定可 导. 例如, 函数y = x 1 3 在x = 0 处有切线x = 0, 但是它在x = 0 处不可导. 如果曲线y = f(x) 在点(x0; f(x0)) 有不垂直于x 轴的切线, 那么函数y = f(x) 在x0 处是可导的. 8. 如果函数f(x) 在x0 处可导, 能否推知f(x) 在x0 的某个邻域内处处可导? 能否推知f(x) 在x0 的某个邻域内处处连续? 能否推知f(x) 在x0 的某个邻域内 有定义? 答：如果函数f(x) 在x0 处可导, 那么由可导的定义知, f(x) 必然在x0 的某 个邻域内有定义. 但是, 不能由此推出f(x) 在x0 的某个邻域内处处连续, 更不能 推出f(x) 在x0 的某个邻域内处处可导. 例如, 对于函数 f(x) = ( x2; x为有理数; 0; x为无理数; 易证f0(0) = 0. 但是f(x) 在所有x 6= 0 处都不连续, 更不可导. 9. 设f(x) = 8< : x2 sin 1 x ; x 6= 0; 0; x = 0; 当x 6= 0 时, f0(x) = 2x sin 1 x ？cos 1 x . 下面 关于f0(0) 不存在的两种证明是否正确? (1) 在等式f0(x) = 2x sin 1 x ？ cos 1 x 中, 令x = 0, 显然没有意义, 所以f0(0) 不 存在; (2) 因为lim x!0 f0(x) = lim x!0 · 2x sin 1 x ？ cos 1 x ？ 不存在, 所以f0(0) 不存在. 答：这两种分析都不正确. (1) 中的错误是：只有当x 6= 0 时, 等式f0(x) = 2x sin 1 x ？cos 1 x 才正确. (2) 中的错误是：不能由极限lim x!0 f0(x) 的存在性推出f0(0) 的存在性, 因为只有当f0(x) 在x = 0 处连续时, 才有f0(0) = lim x!0 f0(x). 正确的方法是按照导数的定义求f0(0)： f0(0) = lim x!0 f(x) ？ f(0) x ？ 0 = lim x!0 x sin 1 x = 0: 一般地, 对于分段函数在分段点的导数都要用导数的定义或者左右导数来求. 10. 判断下列命题的真假, 并说明理由： 1) 设f 在x = 0 处可导, 若f(0) = 0, 则f0(0) = 0, 反之也成立; 2) 若f 在x0 处可导, 且在U(x0) 内f(x) > 0, 则f0(x0) > 0; 3) 若f 为[？a ; a] 上偶函数, 且f0(0) 存在, 则f0(0) = 0; 4) 设f = ' + ？. 若f 在x0 处可导, 则' ; ？ 至少有一个在点x0 可导; 5) 设f = ' ￠ ？. 若f 在x0 处可导, 则' ; ？ 至少有一个在点x0 可导; 6) 若f 在x0 可导, 则jfj 也在x0 可导, 反之也成立. 答：1) 是假命题. 例如, f(x) = x 在x = 0 处可导, 且满足f(0) = 0, 但是 f0(0) = 1 6= 0. 反之, 对于f(x) ′ 1 在x = 0 处可导, 且f0(0) = 0, 但是f(0) = 1 6= 0. 2) 是假命题. 例如, f(x) = x2 + 1 在x = 0 处可导, 且在U(0) 内f(x) > 0, 但 是f0(0) = 0. 3) 是真命题. 因为f 为[？a ; a] 上偶函数, 且f0(0) 存在, 所以 f0(0) = lim x!0 f(x) ？ f(0) x ？ 0 = lim x!0 f(？x) ？ f(0) ？x = ？ lim x!0 f(x) ？ f(0) x ？ 0 = ？f0(0); 因此f0(0) = 0. 4) 是假命题. 例如, 设' 在x0 处不可导, ？ = 1？', 则f(x) = '(x)+？(x) = 1 在x = 0 处可导, 但是' ; ？ 都在点x0 不可导. 5) 是假命题. 例如, '(x) = jxj 与？(x) = ？2jxj 都在x = 0 处不可导, 但是 f(x) = ' ￠ ？ = ？2x2 在点x = 0 可导. 6) 是假命题. 例如, f(x) = x 在x = 0 处可导, 但是jfj = jxj 在x = 0 处不可 导. 又如, 对于g(x) = ( 1; x 2 Q; ？1; x 62 Q; 有jg(x)j ′ 1 在x = 0 处可导, 但g(x) 在 x = 0 处不可导. 即反之不成立. 11. 如何正确理解高阶微分不具备微分形式的不变性? 答：以二阶微分为例, 当x 是自变量时, d2y = f00(x)dx2: (1.1.3) 当x 是中间变量时, 考虑两个可导函数y = f(x) ; x = '(t) 复合而成的函数y = f('(t)), 于是 d2y=(f('(t)))00dt2 = (f0('(t))'0(t))0dt2 =[f00('(t))'02(t) + f0('(t))'00(t)]dt2 =f00('(t))'02(t)dt2 + f0('(t))'00(t)dt2 =f00(x)dx2 + f0(x)d2x: (1.1.4) 式(1.1.3) 和式(1.1.4) 表明, 二阶微分不具有微分形式的不变性. 其原因是当 x 是自变量时, d2x ′ 0; 当x = '(t) 是中间变量时, d2x = '00(t)dt2 6′ 0. 1.2 典型例题 1.2.1 微分与导数的概念 例1 设f(x) = xjxj, 试讨论函数f(x) 的可微性, 并求其微分. 分析可以用可微的定义验证. 解由于 ￠f(0) = f(0 + ￠x) ？ f(0) = ￠xj￠xj = 0 + o(￠x); 所以函数f(x) 在x = 0 处可微, 且dfjx=0 = 0. 又因为当x > 0 时, 对于任意￠x 2 (？x; x), 有 ￠f(x)=f(x + ￠x) ？ f(x) = (x + ￠x)2 ？ x2 =2x ￠ ￠x + (￠x)2 =2x ￠ ￠x + o(￠x); 所以f(x) 在(0;+1) 内可微, 且df = 2xdx. 同理可得, 函数f(x) 在(？1; 0) 内可微, 且df = ？2xdx. 综上所述, 函数f(x) 在(？1;+1) 内可微, 且df = 2jxjdx. ¤ 例2 设f0(x0) 存在, a; b 为两个非零常数, 求极限lim h!0 f(x0+ah)？f(x0+bh) h . 若lim h!0 f(x0 + h) ？ f(x0 ？ h) h 存在, 能否推出f0(x0) 存在? 分析所求极限与函数在一点的导数定义类似, 可以通过恒等变形, 设法利用 导数定义计算. 解由于f0(x0) 存在, 及a; b 为两个非零常数, 所以 lim h!0 f(x0 + ah) ？ f(x0 + bh) h = lim h!0 · a f(x0 + ah) ？ f(x0) ah ？ b f(x0 + bh) ？ f(x0) bh ？ =(a ？ b)f0(x0): 若lim h!0 f(x0 + h) ？ f(x0 ？ h) h 存在, 不能推出f0(x0) 存在. 例如, 设f(x) = jxj, 则 lim h!0 f(0 + h) ？ f(0 ？ h) h = lim h!0 jhj ？ j ？ hj h = 0; 但是f(x) = jxj 在x = 0 处没有导数. ¤ 例3 讨论下列函数的连续性与可导性: f(x) = ( 0; x 为无理数; x; x 为有理数; g(x) = ( 0; x 为无理数; x2; x 为有理数: 解先考虑函数f 的连续性与可导性. 对任意x0 6= 0, 取数列fx0 ng ？ RnQ, fx00 ng ？ Q, 使满足 x0 n ! x0; x00 n ! x0 (n ! 1); 则 lim n!1 f(x0 n) = lim n!1 0 = 0; lim n!1 f(x00 n) = lim n!1 x00 n = x0 6= 0; 于是根据归结原则得, lim x!x0 f(x) 不存在, 因此f(x) 在x0 处不连续, 当然也不可导. 对于x0 = 0, 由于jf(x)j 6 jxj, 所以f(x) 在x = 0 处连续. 但因为 f(x) ？ f(0) x ？ 0 = ( 0; x 为无理数; 1; x 为有理数 当x ! 0 时极限不存在, 所以f(x) 在x = 0 处不可导. 再考虑函数g 的连续性与可导性. 对任意x0 6= 0, 同理可得, g(x) 在x0 处不 连续, 也不可导. 对于x0 = 0, 由于 g(x) ？ g(0) x ？ 0 = f(x) ! 0 (x ! 0); 所以g(x) 在x = 0 处可导, 当然也连续, 且g0(0) = 0. ¤ 注函数f(x) 是在(？1;+1) 内有定义, 但是处处不可导的例子; 函数g(x) 是在(？1;+1) 内有定义, 但是仅在一点可导的例子. 例4 求曲线y = 2 p x 在点x = 1 的切线与法线方程. 分析注意函数f(x) 的导数f0(x0) 是曲线y = f(x) 在点(x0; f(x0)) 的切线 的斜率. 解由于y0jx=1 = p1 x jx=1 = 1, 所以曲线在点x = 1 的切线方程为 y ？ 2 = 1 ￠ (x ？ 1); 即y = x + 1. 又因为法线的斜率为？1, 所以法线方程为 y ？ 2 = ？1 ￠ (x ？ 1); 即y = ？x + 3. ¤ 1.2.2 微分与导数的计算 1. 利用定义求函数的导数 例1 设f(x) = 8< : x2 cos 1 x ; x > 0; x3; x 6 0; 求f0(0) 和dfjx=0. 分析这是分段函数, 在x = 0 的两侧, 函数有不同的表达式, 所以要分别求 左右导数, 然后求导数. 解由于 lim x!0+ f(x) ？ f(0) x ？ 0 = lim x!0+ x cos 1 x = 0; lim x!0？ f(x) ？ f(0) x ？ 0 = lim x!0？ x2 = 0; 所以f0+ (0) = f0？ (0) = 0, 因此f0(0) = 0, dfjx=0 = f0(0)dx = 0. ¤ 注分段函数在分段点的导数, 一般都要用导数的定义求. 例2 求函数f(x) = 8< : x2e？x2 ; jxj 6 1; 1 e ; jxj > 1 的导函数. 分析这是分段函数, 在x = §1 的两侧, 函数有不同的表达式, 所以在x = §1 处要分别用定义求左右导数, 然后求导数. 在其余地方可以用公式求导数. 解由条件, 根据求导公式, 有 f0(x) = 8>< >: (x2e？x2 )0 = 2x(1 ？ x2)e？x2 ; jxj < 1; μ 1 e ？0 = 0; jxj > 1: