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书名：工科数学分析教程（上册）
定价：79.0
ISBN：9787030585998
作者：无
版次：1
出版时间：2018-09
内容提要：
《工科数学分析教程(上册)}是一本信息化研究型教材本书包括数列极限、函数极限与连续、导数的计算与应用、泰勒公式、不定积分、定积分的应用、广义积分、数项级数.本书体系内容由浅入深，符舍学生认知规律.每章都有提高课，内容包括混沌现象与极限、连续函数不动点定理以及应用、极值问题与数学建模、泰勒公式与科学计算、积分算子的磨光性质以及应用等系列内容，初步为学生打开现代数学的窗口.同时每章都设置了系列探索类问题，包括理论问题、应用问题，培养学生应用数学解决实际问题的能力.本教材有与之配套的MOOC 课程，充分利用多媒体信息技术，将复杂数学问题直观化，图文并茂视频课为读者营造一对一的视频授课环境，通过扫描教材中的二维码进入视频课的学习，使得学生对数学问题的理解更通透.
目录：
目录
第1章 数列极限
1.1数列极限的定义与基本性质 1
1.1.1数列极限的定义 1
1.1.2数列极限定义的应用 4
1.1.3收敛数列的性质 10
1.1.4数列极限的运算法则 14
1.1.5无穷小量及其运算性质 21
1.1.6趋向于无穷大的数列 21
1.2单调有界定理与应用 24
1.2.1单调有界定理 24
1.2.2两个典型单调数列 26
1.2.3单调数列综合例题 29
1.3闭区间套定理与应用 33
1.3.1 闭区间套定理 33
1.3.2闭区间套定理的应用 34
1.4柯西收敛准则及其应用 36
1.4.1列紧性定理 36
1.4.2柯西收敛准则 37
1.4.3柯西收敛准则的应用 39
1.5确界存在定理与应用 42
1.5.1确界存在定理 42
1.5.2 确界存在走理的应用44
1.6 有限覆盖定理 46
1.7 实数系六个定理的等价性讨论 47
1.7.1 实数的连续与完备性讨论 47
1.7.2 无理数集合、有理数集合与实数集合的进一步讨论 51
1.8 数列的上下极限与应用 52
1 9 施笃兹定理与应用 56
1.9.1 施笃兹定理 56
1.9.2 施笃兹定理的应用 58
1 10 综合例题选讲 59
1.11 提高课 64
1 12 探索类问题72
第2章函数植限与连续 77
2.1 集合 77
2.1.1 集合的定义 77
2.1.2 集合的基本术语 78
2.1.3 集合的势的定义与基本性质 83
2.2 初等函数的讨论 87
2.2.1 初等函数回顾 87
2.2.2 函数曲线的数学描述 89
2.2.3 函数曲线与数学建模 90
2.2.4 函数基本性质讨论 91
2.3 函数极限的定义与基本理论 44
2.3.1 函数极限的定义 94
2.3.2 函数极限的基本性质 98
2.3.3 函数极限的四则运算与夹逼定理 101
2.3.4 复合函数的极限 103
2.3.5 典型例题 104
2.3.6 海理原理 107
2.3.7 柯西收敛定理 109
2 4连续函数 112
2.4.1 连续函数与间断点分类 112
2.4.2 函数的间断点类型分析 115
2.4.3 连续函数的应用:函数极限求解与函数方程 117
2.5 函数极限的其他形式与结论 120
2.5.1 单侧极限 120
2.5.2 自变量趋向于无穷太时函数的极限 122
2.5.3 典型例题 127
2.6 一致连续函数 133
2.6.1 函数一致连续的定义 133
2.6.2 函数一致连续典型例题 137
2.7 收敛速度讨论:无穷小与无穷大阶的比较 140
2.7.1 无穷小阶的比较 140
2.7.2 无穷小阶的运算性质 143
2.7.3 无穷大阶的比较 145
2.8 有限闭区间上连续函数的整体性质 148
2.8.1 有限闭区间上连续函数的性质 148
2.8.2 连续函数性质的进一步讨论 153
2.9 综合例题选讲 156
2.10 提高课 162
2.10.1 有限覆盖定理的进一步认识 162
2.10.2 连续函数的不动点定理以及应用 164
2.11 探索类问题 167
第3章导数的计算与应用 173
3.1 导数的定义与计算 173
3.1.1 导数的定义 173
3.1.2 导数的四则运算法则 176
3.1.3 四则运算应用举例 177
3.1.4 复合函数逐层外推求导定理 178
3.1.5 复合函数逐层外推求导计算例题 179
3.1.6 反函数求导法则与应用 181
3.2 高阶导数 182
3.2.1 高阶导数的定义与计算 182
3.2.2 莱布尼茨求导公式与应用 184
3.2.3 高阶导数的计算 184
3.3 隐函数和参数方程的求导 186
3.4微分中值定理 188
3.4.1 罗尔定理证明 188
3.4.2 罗尔定理应用 189
3.4.3 拉格朗日中值定理证明 191
3.4.4 拉格朗日中值定理应用 193
3.4.5 柯西中值定理 194
3.4.6 柯西中值定理应用 195
3.5 函数的单调性197
3.5.1 函数单调性判定定理 197
3.5.2 函数单调区间分析应用例题 198
3.6 极值问题 200
3.6.1 极值问题判定定理 200
3.6.2 极值问题求解 201
3.6.3 函数的*大*小值 203
3.7 凹凸函数 206
3.7.1 函数凹凸的定义及詹森定理 a 206
3.7.2 凹凸函数的判定定理 207
3.7.3 凹凸函数应用 210
3.8 洛必达法则 213
3.8.1 洛必达法则 213
3.8.2 洛必达法则应用 215
3.9 函数作图 217
3.10 综合例题选讲 219
3.11 提高课 223
3.11.1 数学建模:彩虹现象 223
3.11 2 数学建模罐子设计 225
3.11.3 方程求根 227
3.11.4 儿类特殊函数性质的讨论 231
3.12探索类问题 236
第4章泰勒公式 239
4.1 微分的定义与运算性质 239
4.1.1 微分的定义与计算 239
4.1.2 高阶微分的定义与计算 242
4.1.3 微分的应用:近似计算243
4.2 带佩亚诺型余项的泰勒公式 243
4.2.1 带佩亚诺型余项的泰勒公式 243
4.2.2 常用函数的泰勒展开(佩亚诺型余项) 245
4.2.3 泰勒公式局部逼近 247
4.2.4 函数的泰勒渐近展开 248
4.3 带拉格朗日余项的泰勒公式 250
4.3.1 带拉格朗日余项的泰勒公式 250
4.3.2 泰勒公式的应用 a 252
4.3.3 泰勒公式典型例题 255
4.4综合例题选讲 258
4.5 提高课 44261
4.5.1 泰勒公式在科学计算中的应用 261
4.5.2 拉格朗日插值逼近 264
4.6 探索类问题 266
第5章不定积分 269
5.1 不定积分的定义与基本性质 269
5.2 **类换元公式与应用 271
5.3 分部积分公式与应用 276
5.4第二类换元公式与应用 278
5.5 几类特殊函数的不定积分 282
5.5.1 有理函数的不定积分 283
5.5.2 三角函数有理式的不定积分 286
5.5.3 无理根式的不定积分 287
5.6 综合例题选讲289
5.7 探索类问题 295
第6章定积分 297
6.1 定积分的定义与基本运算性质 297
6.2 画数可积性讨论 303
6.2.1 函数可积定理 303
6.2.2 可积函数类 310
6.3 微积分基本定理 318
6.3.1 牛顿-莱布尼茨公式 318
6.3.2 徽积分基本定理 320
6.4定积分的计算 325
6.4.1 定积分的分部积分公式 325
6.4.2 定积分的换元公式 329
6.5 定积分中值定理 44 335
6.5.1 定积分**中值定理 335
6.5.2 定积分第二中值定理 337
6.5.3 定积分第三中值定理 340
6.6 勒贝格定理 a 341
6.6.1 勒贝格定理 341
6.6.2 勒贝格定理的应用 343
6.7 综合例题选讲 345
6.8 提高课 352
6.8.1 积分算子的应用:函数的磨光 352
6.8.2 定积分的数值计算 356
6.8.3 勒贝格积分初步 363
6.9 探索类问题 367
第7章定积分的应用 370
7.1 定积分解决实际问题的一般方法 370
7.2 平面图形面积的计算 371
7.2.1 直角坐标系下图形面积计算 371
7.2.2 参数方程表示的曲线圄成平面图形的面积 373
7.2.3 极坐标系下平面图形面积的计算 375
7.3 旋转曲面面积的计算 377
7.4旋转体体积的计算方法 383
7.5 曲线的弧长 388
7.6 平面曲线的曲率 391
7.7 定积分的物理应用 393
7.7.1 变力做功与压力压强 393
7.7.2 液体的压力与压强 394
7.7.3 引力问题 395
7.7.4 力矩和质心 397
7.8 探索类问题 399
第8章广义积分 401
8.1 无穷积分的基本概念与性质 401
8.1.1 无穷积分的定义 401
8.1.2 无穷积分的计算 405
8.2 无穷积分敛散性的判别方法 408
8.2.1 无穷区间上非负函数积分的敛散性判剔 408
8.2.2 无穷积分的狄利克雷和阿贝尔判定定理 412
8.3 瑕积分 419
8.4综合例题选讲 428
8.5 探索类问题 431
第9章数项级数 433
9.1 数项级数的基本概念与性质 433
9.1.1 数项级数的概念 433
9.1.2 数项级数的性质 434
9.2 正项级数 439
9.2.1 正项级数的比较判别法 439
9.2.2 正项级数的柯西积分判别法 443
9.2.3 正项级数的柯西判别法 446
9.2.4 正项级数的达朗贝尔判别法 448
9.2.5 正项级数的拉贝判别法 451
9.3 一般级数收敛问题讨论 455
9.3.1 交错级数 455
9.3.2 狄利克雷判别法和阿贝尔判别法 456
9.3.3 绝对收敛和条件收敛级数 460
9.3.4 绝对收敛级数的性质 464
9.3.5 广义积分与数项级数 467
9.4综合例题选讲 469
9.5 提高课 473
9.5.1 级数的乘法 473
9.5.2 无穷乘职 476
9.6 探索类问题 480
参考文献 482
在线试读：
**章 数列极限
工欲善其事，必先利其器. 极限是微积分理论的基础，要想真正掌握微积分这门学科的实质，就必须掌握极限的概念.这一章讨论数列极限的定义与基本性质以及实数系六个定理:单调有界定理、闭区间套定理、列紧性定理、柯西收敛准则、确界存在定理和有限覆盖定理.提高拓展部分讨论了数列在实际问题中的应用.本章的*后设直了系列研究探索类问题.
1.1 数列极限的定义与基本性质
1.1.1 数列极限的定义
例1.1. 1 利用数学家刘徽提出的方法<<斗争l 之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割"，求圆的面积.
解如图1.1. 1 所示，设圆的内接正六边形的面积为Al' 内接正十二边形的面积为A2 ，依次类推3 内接正6 x 2n- 1 边形的面积为An ， 得到点列Al' ， … ， An ， … ， 该点列{An }逐步逼近圆的面积s .
例1.1. 2 庄子提出的截杖问题"一尺之栓， 日取其半7 万世不竭"的数学分析.
解如图1.1.2 所示，长度为1 尺的杖，**天截下Xl=;， 第二天截下马=去， ，第n天截下几=去依次类推得到点列X1， X2，x3 ，… ，xn， 该点列{几}逐步逼近0
例1.1. 1 和例1.1. 2 利用数列的变化趋势解决实际问题.下面给出数列的定义.
定义1. 1.1 按照自然数编号排列的无穷多个数Xl ,X2 ,… ,Xn,…称为数列，记为{Xn} 或者{xn}~=l' Xn 为数列的通项.
例如，以为通项的数列分别为
例1.1.3 分析数列的变化趋势:
解如图1.1.3 所示，通过四个数列变化的几何直观图可以发现，随着η 的不断增大，数列逐步逼近1， {arctan n} 逐步逼近;，而数列{sin n} 和{sin..，f？}没有逼近任何实数
随着"的增大，逐步逼近一个常数的数列是我们将要重点讨论的，下面用数学语言刻画数列变化的规律.
例1.1. 4 分析数列的变化趋势，用数学语言刻画数列的变化规律.
解(1)E=1/2;，如果要使，则只需n> 附意自然数n > N1 = 2，都有|rk;，或者刨主3 C (一片)
(2) 取é= 去如果要使|αn 一01 = I~Sin~1ζ;<E，则只需n> 22， 即对任意自然数n > N2 = 22 ，都有
(3)依次类推，取é= 去，如果要使，则只需n> 护，即对任意自然数n> Nk = 州有|向一01 <去，或者{αn}，如图1.1.4所示，但第1 章制极限-
图1.1.4 是数列{逐步逼近零的几何示意图，即当k 充分大时，四l-2~k' 刮的长度趋向于零，因此趋于0
一般情况下，对于任意给定的e > 0，要使:，因此存在自然数N=[~]+1， 对任意自然数n， 当n>N 时，有lan -01 <ε 这里符号[.]是取整运算下面给出数列极限的严格的数学定义.
定义1.1. 2 给定数列，若存在实数α，对于任意给定的é > 0，都存在一个自然数
则称数列{αn} 是收敛的，并称α 为该数列的极限，或者{αn} 收敛于α，记为lim an = α.
如果不存在实数α，使得{αn} 以α 为极限，则称数列{αn} 是发散数列.
注1.1. 1 定义1.1. 2 中的E 刻画了an 与α 的逼近程度，ε可以限制为小于某一正数，比如限制。< e ~ 1; 定义中的N 和E 有关，仅要求存在，一般E 越小，N 越大.
在本套教材中用N* = {1 ， 2 ， 3，…}表示自然数集合， Z = {O ，土1 ，土2，…}表示整数集合，Q 表示全体有理数集合， R 表示全体实数集合
定义1.1. 2 可以用下述逻辑符号表示:其中V 表示任意选取，表示存在，冒号:表示满足的结论.
数列可看成是数轴上的一列点，也可以看成定义在自然数集上的函数. 数列极限的儿何意义可以用图形直观地反映出来.
把数列{Xn} 看成数轴上的一列点，则lim Xn = α 意味着对任意的e> 0， 存在自然数N， 使得{Xn}汇N+1 C (α -e ，α +e). 如图1.1.5所示.
把数列{Xn} 看成自然数集上的函数，则主理。Xn = α 意味着对任意的ε> 0，存在自然数N， 使得{(n， xn)}工N+1 c (N，+∞) x (α－ε，α +e). 如图1.1.6 所示.由上述讨论结果，可以得到下面的结论.
结论1的充要条件为:'Vε >0 ，3N εN*，使得.
结论2的充要条件为:'Vε> 0, {Xn}汇1 中只有有限项落在(α－ε， α+ε)之外.
下面讨论数列{αn} 的极限不存在的表述方法首先由丘旦。αn - α 的定义推出的定义.这里V 的否定是，的否定是.
(1.1.4) 式的含义是存在ε0> 0，对于任意自然数N， 无论多么大，都存在自然数no >N,使得.
下面给出数列极限不存在的定义.
定义1.1. 3 给定数列{αn} ， 若对任意实数αεR，存在 > 0，对任意NεN飞总存在no > N， 使得，则称{αn} 为发散数列.用逻辑符号表述为 (1.1. 5) 式的含义是对于任意实数α， 都存在一个> 0，对任意自然数N， 无论多么大都存在自然数no >N， 使得
1.1.2 数列极限定义的应用
利用数列极限的定义证明极限存在的关键是确定定义1.1.2 中的自然数N(ε) ， 一般采用反分析和不等式放大的方法确定.下面介绍几个常用等式和不等式?其证明留给读者完成.
定价：79.0
ISBN：9787030585998
作者：无
版次：1
出版时间：2018-09
内容提要：
《工科数学分析教程(上册)}是一本信息化研究型教材本书包括数列极限、函数极限与连续、导数的计算与应用、泰勒公式、不定积分、定积分的应用、广义积分、数项级数.本书体系内容由浅入深，符舍学生认知规律.每章都有提高课，内容包括混沌现象与极限、连续函数不动点定理以及应用、极值问题与数学建模、泰勒公式与科学计算、积分算子的磨光性质以及应用等系列内容，初步为学生打开现代数学的窗口.同时每章都设置了系列探索类问题，包括理论问题、应用问题，培养学生应用数学解决实际问题的能力.本教材有与之配套的MOOC 课程，充分利用多媒体信息技术，将复杂数学问题直观化，图文并茂视频课为读者营造一对一的视频授课环境，通过扫描教材中的二维码进入视频课的学习，使得学生对数学问题的理解更通透.
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第1章 数列极限
1.1数列极限的定义与基本性质 1
1.1.1数列极限的定义 1
1.1.2数列极限定义的应用 4
1.1.3收敛数列的性质 10
1.1.4数列极限的运算法则 14
1.1.5无穷小量及其运算性质 21
1.1.6趋向于无穷大的数列 21
1.2单调有界定理与应用 24
1.2.1单调有界定理 24
1.2.2两个典型单调数列 26
1.2.3单调数列综合例题 29
1.3闭区间套定理与应用 33
1.3.1 闭区间套定理 33
1.3.2闭区间套定理的应用 34
1.4柯西收敛准则及其应用 36
1.4.1列紧性定理 36
1.4.2柯西收敛准则 37
1.4.3柯西收敛准则的应用 39
1.5确界存在定理与应用 42
1.5.1确界存在定理 42
1.5.2 确界存在走理的应用44
1.6 有限覆盖定理 46
1.7 实数系六个定理的等价性讨论 47
1.7.1 实数的连续与完备性讨论 47
1.7.2 无理数集合、有理数集合与实数集合的进一步讨论 51
1.8 数列的上下极限与应用 52
1 9 施笃兹定理与应用 56
1.9.1 施笃兹定理 56
1.9.2 施笃兹定理的应用 58
1 10 综合例题选讲 59
1.11 提高课 64
1 12 探索类问题72
第2章函数植限与连续 77
2.1 集合 77
2.1.1 集合的定义 77
2.1.2 集合的基本术语 78
2.1.3 集合的势的定义与基本性质 83
2.2 初等函数的讨论 87
2.2.1 初等函数回顾 87
2.2.2 函数曲线的数学描述 89
2.2.3 函数曲线与数学建模 90
2.2.4 函数基本性质讨论 91
2.3 函数极限的定义与基本理论 44
2.3.1 函数极限的定义 94
2.3.2 函数极限的基本性质 98
2.3.3 函数极限的四则运算与夹逼定理 101
2.3.4 复合函数的极限 103
2.3.5 典型例题 104
2.3.6 海理原理 107
2.3.7 柯西收敛定理 109
2 4连续函数 112
2.4.1 连续函数与间断点分类 112
2.4.2 函数的间断点类型分析 115
2.4.3 连续函数的应用:函数极限求解与函数方程 117
2.5 函数极限的其他形式与结论 120
2.5.1 单侧极限 120
2.5.2 自变量趋向于无穷太时函数的极限 122
2.5.3 典型例题 127
2.6 一致连续函数 133
2.6.1 函数一致连续的定义 133
2.6.2 函数一致连续典型例题 137
2.7 收敛速度讨论:无穷小与无穷大阶的比较 140
2.7.1 无穷小阶的比较 140
2.7.2 无穷小阶的运算性质 143
2.7.3 无穷大阶的比较 145
2.8 有限闭区间上连续函数的整体性质 148
2.8.1 有限闭区间上连续函数的性质 148
2.8.2 连续函数性质的进一步讨论 153
2.9 综合例题选讲 156
2.10 提高课 162
2.10.1 有限覆盖定理的进一步认识 162
2.10.2 连续函数的不动点定理以及应用 164
2.11 探索类问题 167
第3章导数的计算与应用 173
3.1 导数的定义与计算 173
3.1.1 导数的定义 173
3.1.2 导数的四则运算法则 176
3.1.3 四则运算应用举例 177
3.1.4 复合函数逐层外推求导定理 178
3.1.5 复合函数逐层外推求导计算例题 179
3.1.6 反函数求导法则与应用 181
3.2 高阶导数 182
3.2.1 高阶导数的定义与计算 182
3.2.2 莱布尼茨求导公式与应用 184
3.2.3 高阶导数的计算 184
3.3 隐函数和参数方程的求导 186
3.4微分中值定理 188
3.4.1 罗尔定理证明 188
3.4.2 罗尔定理应用 189
3.4.3 拉格朗日中值定理证明 191
3.4.4 拉格朗日中值定理应用 193
3.4.5 柯西中值定理 194
3.4.6 柯西中值定理应用 195
3.5 函数的单调性197
3.5.1 函数单调性判定定理 197
3.5.2 函数单调区间分析应用例题 198
3.6 极值问题 200
3.6.1 极值问题判定定理 200
3.6.2 极值问题求解 201
3.6.3 函数的*大*小值 203
3.7 凹凸函数 206
3.7.1 函数凹凸的定义及詹森定理 a 206
3.7.2 凹凸函数的判定定理 207
3.7.3 凹凸函数应用 210
3.8 洛必达法则 213
3.8.1 洛必达法则 213
3.8.2 洛必达法则应用 215
3.9 函数作图 217
3.10 综合例题选讲 219
3.11 提高课 223
3.11.1 数学建模:彩虹现象 223
3.11 2 数学建模罐子设计 225
3.11.3 方程求根 227
3.11.4 儿类特殊函数性质的讨论 231
3.12探索类问题 236
第4章泰勒公式 239
4.1 微分的定义与运算性质 239
4.1.1 微分的定义与计算 239
4.1.2 高阶微分的定义与计算 242
4.1.3 微分的应用:近似计算243
4.2 带佩亚诺型余项的泰勒公式 243
4.2.1 带佩亚诺型余项的泰勒公式 243
4.2.2 常用函数的泰勒展开(佩亚诺型余项) 245
4.2.3 泰勒公式局部逼近 247
4.2.4 函数的泰勒渐近展开 248
4.3 带拉格朗日余项的泰勒公式 250
4.3.1 带拉格朗日余项的泰勒公式 250
4.3.2 泰勒公式的应用 a 252
4.3.3 泰勒公式典型例题 255
4.4综合例题选讲 258
4.5 提高课 44261
4.5.1 泰勒公式在科学计算中的应用 261
4.5.2 拉格朗日插值逼近 264
4.6 探索类问题 266
第5章不定积分 269
5.1 不定积分的定义与基本性质 269
5.2 **类换元公式与应用 271
5.3 分部积分公式与应用 276
5.4第二类换元公式与应用 278
5.5 几类特殊函数的不定积分 282
5.5.1 有理函数的不定积分 283
5.5.2 三角函数有理式的不定积分 286
5.5.3 无理根式的不定积分 287
5.6 综合例题选讲289
5.7 探索类问题 295
第6章定积分 297
6.1 定积分的定义与基本运算性质 297
6.2 画数可积性讨论 303
6.2.1 函数可积定理 303
6.2.2 可积函数类 310
6.3 微积分基本定理 318
6.3.1 牛顿-莱布尼茨公式 318
6.3.2 徽积分基本定理 320
6.4定积分的计算 325
6.4.1 定积分的分部积分公式 325
6.4.2 定积分的换元公式 329
6.5 定积分中值定理 44 335
6.5.1 定积分**中值定理 335
6.5.2 定积分第二中值定理 337
6.5.3 定积分第三中值定理 340
6.6 勒贝格定理 a 341
6.6.1 勒贝格定理 341
6.6.2 勒贝格定理的应用 343
6.7 综合例题选讲 345
6.8 提高课 352
6.8.1 积分算子的应用:函数的磨光 352
6.8.2 定积分的数值计算 356
6.8.3 勒贝格积分初步 363
6.9 探索类问题 367
第7章定积分的应用 370
7.1 定积分解决实际问题的一般方法 370
7.2 平面图形面积的计算 371
7.2.1 直角坐标系下图形面积计算 371
7.2.2 参数方程表示的曲线圄成平面图形的面积 373
7.2.3 极坐标系下平面图形面积的计算 375
7.3 旋转曲面面积的计算 377
7.4旋转体体积的计算方法 383
7.5 曲线的弧长 388
7.6 平面曲线的曲率 391
7.7 定积分的物理应用 393
7.7.1 变力做功与压力压强 393
7.7.2 液体的压力与压强 394
7.7.3 引力问题 395
7.7.4 力矩和质心 397
7.8 探索类问题 399
第8章广义积分 401
8.1 无穷积分的基本概念与性质 401
8.1.1 无穷积分的定义 401
8.1.2 无穷积分的计算 405
8.2 无穷积分敛散性的判别方法 408
8.2.1 无穷区间上非负函数积分的敛散性判剔 408
8.2.2 无穷积分的狄利克雷和阿贝尔判定定理 412
8.3 瑕积分 419
8.4综合例题选讲 428
8.5 探索类问题 431
第9章数项级数 433
9.1 数项级数的基本概念与性质 433
9.1.1 数项级数的概念 433
9.1.2 数项级数的性质 434
9.2 正项级数 439
9.2.1 正项级数的比较判别法 439
9.2.2 正项级数的柯西积分判别法 443
9.2.3 正项级数的柯西判别法 446
9.2.4 正项级数的达朗贝尔判别法 448
9.2.5 正项级数的拉贝判别法 451
9.3 一般级数收敛问题讨论 455
9.3.1 交错级数 455
9.3.2 狄利克雷判别法和阿贝尔判别法 456
9.3.3 绝对收敛和条件收敛级数 460
9.3.4 绝对收敛级数的性质 464
9.3.5 广义积分与数项级数 467
9.4综合例题选讲 469
9.5 提高课 473
9.5.1 级数的乘法 473
9.5.2 无穷乘职 476
9.6 探索类问题 480
参考文献 482
在线试读：
**章 数列极限
工欲善其事，必先利其器. 极限是微积分理论的基础，要想真正掌握微积分这门学科的实质，就必须掌握极限的概念.这一章讨论数列极限的定义与基本性质以及实数系六个定理:单调有界定理、闭区间套定理、列紧性定理、柯西收敛准则、确界存在定理和有限覆盖定理.提高拓展部分讨论了数列在实际问题中的应用.本章的*后设直了系列研究探索类问题.
1.1 数列极限的定义与基本性质
1.1.1 数列极限的定义
例1.1. 1 利用数学家刘徽提出的方法<<斗争l 之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割"，求圆的面积.
解如图1.1. 1 所示，设圆的内接正六边形的面积为Al' 内接正十二边形的面积为A2 ，依次类推3 内接正6 x 2n- 1 边形的面积为An ， 得到点列Al' ， … ， An ， … ， 该点列{An }逐步逼近圆的面积s .
例1.1. 2 庄子提出的截杖问题"一尺之栓， 日取其半7 万世不竭"的数学分析.
解如图1.1.2 所示，长度为1 尺的杖，**天截下Xl=;， 第二天截下马=去， ，第n天截下几=去依次类推得到点列X1， X2，x3 ，… ，xn， 该点列{几}逐步逼近0
例1.1. 1 和例1.1. 2 利用数列的变化趋势解决实际问题.下面给出数列的定义.
定义1. 1.1 按照自然数编号排列的无穷多个数Xl ,X2 ,… ,Xn,…称为数列，记为{Xn} 或者{xn}~=l' Xn 为数列的通项.
例如，以为通项的数列分别为
例1.1.3 分析数列的变化趋势:
解如图1.1.3 所示，通过四个数列变化的几何直观图可以发现，随着η 的不断增大，数列逐步逼近1， {arctan n} 逐步逼近;，而数列{sin n} 和{sin..，f？}没有逼近任何实数
随着"的增大，逐步逼近一个常数的数列是我们将要重点讨论的，下面用数学语言刻画数列变化的规律.
例1.1. 4 分析数列的变化趋势，用数学语言刻画数列的变化规律.
解(1)E=1/2;，如果要使，则只需n> 附意自然数n > N1 = 2，都有|rk;，或者刨主3 C (一片)
(2) 取é= 去如果要使|αn 一01 = I~Sin~1ζ;<E，则只需n> 22， 即对任意自然数n > N2 = 22 ，都有
(3)依次类推，取é= 去，如果要使，则只需n> 护，即对任意自然数n> Nk = 州有|向一01 <去，或者{αn}，如图1.1.4所示，但第1 章制极限-
图1.1.4 是数列{逐步逼近零的几何示意图，即当k 充分大时，四l-2~k' 刮的长度趋向于零，因此趋于0
一般情况下，对于任意给定的e > 0，要使:，因此存在自然数N=[~]+1， 对任意自然数n， 当n>N 时，有lan -01 <ε 这里符号[.]是取整运算下面给出数列极限的严格的数学定义.
定义1.1. 2 给定数列，若存在实数α，对于任意给定的é > 0，都存在一个自然数
则称数列{αn} 是收敛的，并称α 为该数列的极限，或者{αn} 收敛于α，记为lim an = α.
如果不存在实数α，使得{αn} 以α 为极限，则称数列{αn} 是发散数列.
注1.1. 1 定义1.1. 2 中的E 刻画了an 与α 的逼近程度，ε可以限制为小于某一正数，比如限制。< e ~ 1; 定义中的N 和E 有关，仅要求存在，一般E 越小，N 越大.
在本套教材中用N* = {1 ， 2 ， 3，…}表示自然数集合， Z = {O ，土1 ，土2，…}表示整数集合，Q 表示全体有理数集合， R 表示全体实数集合
定义1.1. 2 可以用下述逻辑符号表示:其中V 表示任意选取，表示存在，冒号:表示满足的结论.
数列可看成是数轴上的一列点，也可以看成定义在自然数集上的函数. 数列极限的儿何意义可以用图形直观地反映出来.
把数列{Xn} 看成数轴上的一列点，则lim Xn = α 意味着对任意的e> 0， 存在自然数N， 使得{Xn}汇N+1 C (α -e ，α +e). 如图1.1.5所示.
把数列{Xn} 看成自然数集上的函数，则主理。Xn = α 意味着对任意的ε> 0，存在自然数N， 使得{(n， xn)}工N+1 c (N，+∞) x (α－ε，α +e). 如图1.1.6 所示.由上述讨论结果，可以得到下面的结论.
结论1的充要条件为:'Vε >0 ，3N εN*，使得.
结论2的充要条件为:'Vε> 0, {Xn}汇1 中只有有限项落在(α－ε， α+ε)之外.
下面讨论数列{αn} 的极限不存在的表述方法首先由丘旦。αn - α 的定义推出的定义.这里V 的否定是，的否定是.
(1.1.4) 式的含义是存在ε0> 0，对于任意自然数N， 无论多么大，都存在自然数no >N,使得.
下面给出数列极限不存在的定义.
定义1.1. 3 给定数列{αn} ， 若对任意实数αεR，存在 > 0，对任意NεN飞总存在no > N， 使得，则称{αn} 为发散数列.用逻辑符号表述为 (1.1. 5) 式的含义是对于任意实数α， 都存在一个> 0，对任意自然数N， 无论多么大都存在自然数no >N， 使得
1.1.2 数列极限定义的应用
利用数列极限的定义证明极限存在的关键是确定定义1.1.2 中的自然数N(ε) ， 一般采用反分析和不等式放大的方法确定.下面介绍几个常用等式和不等式?其证明留给读者完成.