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书名：代数选讲
定价：68.0
ISBN：9787030566621
作者：王宪栋
版次：1
出版时间：2018-03
内容提要：
本书是代数学的入门读物，主要讨论基本概念与方法。从直观例子分析到抽象概念引入，循序渐进，不断深化。全书共24讲，前12讲主要对代数学的基础性内容进行梳理，包括群、环、域、模及向量空间与线性映射的定义与例子，以及一些基本结论的推导；后12讲介绍代数学中的一些经典构造方法，包括张量代数、对称代数、李代数的泛包络代数、量子群、Hopf-代数等，还介绍了顶点算子代数的概念与初步性质。
目录：
目录
前言
第1讲 中国剩余定理 1
第2讲 算术基本定理 7
第3讲 代数数与超*数 14
第4讲 同态基本定理 19
第5讲 群在集合上的作用 25
第6讲 向量空间基的存在性 30
第7讲 线性映射与矩阵 36
第8讲 多线性映射与行列式 42
第9讲 线性变换的特征值与特征向量 49
第10讲 Jordan-Chevalley分解 55
第11讲 向量空间的典范构造 60
第12讲 群在向量空间上的线性作用 66
第13讲 非结合代数 74
第14讲 有限生成可换群的结构 81
第15讲 张量代数 86
第16讲 李代数sl2及其表示 94
第17讲 Hopf-代数的概念 103
第18讲 量子群Uq(sl2)及其表示 113
第19讲 模的张量积与局部化 126
第20讲 Hilbert零点定理 135
第21讲 GL(V )与多元多项式 142
第22讲 Yoneda引理 153
第23讲 顶点代数与局部系统 164
第24讲 VIR与VOA 178
参考文献 190
索引 192
在线试读：
第1讲 中国剩余定理
中国剩余定理是由下列问题衍生出来的：今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三：七七数之剩二。问物几何？意思是说：有一些物品，不知道它的数量，如果三个三个地数*后剩二个，五个五个地数*后剩三个，七个七个地数*后剩二个，问这些物品共有多少个？
《孙子算经》中的这道著名数学问题是我国古代数学思想“大衍求一术”的具体体现[1]，针对这道题给出的解法是。
中国剩余定理的一般形式为如下定理。
定理1.1 （中国剩余定理）设R是有单位元的交换环，Ps是R的两两互素的理想，则有典范满射环同态同态的核为所有这些理想的交。
本讲的主要目的是详细解释并严格证明上述定理，证明中用到的方法将用于上述古典问题的求解，也由此说明上述解法的合理性。这个定理涉及有单位元的交换环，这个抽象的数学概念有一个重要特例：整数环。因此，我们首先讨论整数环的构造与定义，并假定自然数及其运算等基本知识是读者所熟悉的。
自然数的集合通常记为，它有两个运算：加法“+”与乘法。这两个运算满足一些通常的运算规则。例如，有加法结合律、交换律、零元素（自然数0），有乘法结合律、交换律、单位元（自然数1），还有乘法关于加法的分配律等。
对两个自然数a，b，称a小于b（记为a<b）或b大于a（记为b>a），如果存在非零的自然数c，使得b=a+c；对任意的自然数a；b，必有a=b或a<b或b<a。若a>b或a=b，则记a>b（a大于等于b）。类似地，可以定义a6b（a小于等于b）。
定义1.2 给定自然数的集合N，构造新集合，这是集合的通常直积。是如下定义的二元关系。
对任意元素定义子集称其为元素（a；b）所在的等价类。令称其为整数的集合，其中的元素称为整数（一个整数就是一个“子集”）。
严格来讲，。是直积集合上的一个等价关系，而Z是集合关于等价关系。的商集，一个整数就是一个等价类（见下面的定义）。
定义1.3 集合S上的一个二元关系是的一个子集，元素也记为。按照通常的做法，任何二元关系R都将用统一的符号“。”表示。称二元关系。是一个等价关系，如果它满足：
（1）反身性；
（2）对称性；
（3）传递性。
集合S上的任何一个等价关系，诱导该集合关于的商集，其元素形如，即商集中的元素[x]（有时也记为1x）称为原集合S中的元素x所在的等价类，而元素x只是等价类[x]中的元素之一，也称其为等价类[x]的代表元。
根据等价关系的定义可以直接验证：这些不同的等价类是集合S的一些互不相交的子集，并且它们的并集是整个集合S。此时，这些等价类构成了集合S的一个“划分”：把集合S表示成互不相交的子集并的分解式。
反之，任意给定集合S的一个划分，可以*一确定集合S上的一个等价关系使得元素x当且仅当它们属于划分的同一个子集。此时，等价关系。确定的等价类的集合构成原来给定的划分。
因此，相对抽象的集合上等价关系的概念与比较直观的集合划分的概念本质上是一样的。但是，考虑到和其他数学概念的相容性，以后主要采用等价关系这一术语。
注记1.4 在上述整数集合的定义中，元素所在的等价类，一般记为。特别地，当b=0时，整数可以等同于自然数；当时，整数记为，称为负整数。
考虑映射，不难验证：这是一个单射。即，当时。从而，自然数集合N可以看成整数集合Z的一部分。当给出整数的加法与乘法运算之后，还可以说明：上述映射关于这两个运算是相容的。即，先运算后映射的结果与先映射后运算的结果一致。
命题1.5 整数集合Z可以表示为自然数集合N与负整数的集合的不交并：N[负整数集合。
证明若a=b，则是自然数；若a<b，则有自然数c，使得b=a+c，从而是负整数；若b<a，则有自然数c，使得a=b+c，从而是自然数。
注记1.6 通过自然数的运算，可以按照下述方式定义整数的运算。
加法：
乘法：
定义1.7 整数集合Z，带有上述加法与乘法运算，满足通常的运算规则。关于加法有：结合律、零元素、负元素、交换律；关于乘法有：结合律、单位元、交换律；关于加法与乘法有：分配律。称Z为整数环。
注记1.8 关于整数乘法结合律的验证，有等式类似有下列等式从而，乘法的结合律成立。这里用到自然数运算的结合律、分配律等。
练习1.9 验证整数加法与乘法运算的合理性（一个整数是一个等价类，合理性是指运算结果与等价类中代表元的选取无关）；验证其加法与乘法运算的所有规则。整数之间也可以定义小于等于关系：对任意两个整数则记。
类似于自然数的情形，当时，也记b>a，称整数b大于等于a；当a<b时，也记b>a，称整数b大于a。
定义1.10 集合G，带有一个运算（称为乘法），满足结合律，有单位元，每个元素有逆元，则称G是一个群。若运算还满足交换律，则称G是一个可换群（也称为Abel群）。此时，群的运算称为加法。
定义1.11 集合R，带有加法与乘法两个运算，并满足上述整数的八条运算规则，称R是一个有单位元的交换环。当乘法交换律未必成立时，称R是一个有单位元的环，简称环。
由上述讨论可知，整数集合Z关于加法构成一个可换群，其加法零元素为自然数0；整数集合Z关于加法与乘法构成一个有单位元的交换环，其乘法单位元为自然数1。
定义1.12 设R，S是有单位元的环是一个映射。称是环的同态，如果它保持单位元，保持加法与乘法运算。即，有下列等式这里分别表示环R与S的单位元（以后均可以简写为1）。
称是环的一个同构映射，如果它是环的同态，也是双射。
称环R与S是同构的，如果它们之间存在同构映射。当'是单射环同态时，环R可以看成环S的一个子环（环的子环是指：包含单位元，且关于环的两个运算封闭的非空子集）。
定义1.13 设R是有单位元的环，称R的非空子集I是R的理想，如果它满足条件：
若I是环R的理想，且，则称I为R的真理想。由理想的定义直接看出：环R的任何真理想不可能包含R的单位元1。
例1.14 对整数环，它是由n的所有整数倍数构成的子集，则I是整数环Z的一个理想。在第2讲将证明：整数环Z的任何理想都具有这种形式。
练习1.15 （1）设是环的同态，定义同态的核同态的像。证明：是环R的理想，是环S的子环。
（2）设是环R的理想，定义理想的和：与积：有限和。证明：与都是R的理想。
（3）对环R的有限个理想，归纳定义它们的和与积，并说明它们还是R的理想。
（4）环R的任意多个理想的交还是R的理想。
提示 根据理想的定义及理想运算的定义，容易验证这些结论成立。
通过环R的理想I，定义R上的一个二元关系可以验证：。是一个等价关系，从而有商集：在集合R=I上定义两个运算根据理想的定义条件可以证明（见下面引理）：这两个运算的定义合理，且关于有单位元的环的条件都成立。因此，商集R=I是一个有单位元的环，称其为环R关于其理想I的商环。
由乘法的定义不难看出：当R是可换环时，商环R=I也是可换环。
引理1.16 上述加法与乘法运算定义合理：与代表元的选取无关。
证明 只证明加法运算定义的合理性，乘法情形的证明是类似的。
设，只要证明：根据等价关系。的定义，有。再根据理想的定义，直接得到即。
定义1.17 设R是有单位元的交换环，称R的真理想I是R的素理想，如果它满足条件：对或。
称R的两个理想I，J是互素的，如果它满足条件：I+J=R。
称R的真理想J是极大理想，如果它不严格包含于R的任何其他真理想内。即，对R的任何理想K，由J。K，必有K=J或者K=R。
引理1.18 设Ps是有单位元的交换环R的理想，且Q与每个都互素，则Q与乘积理想也是互素的。
证明 由条件，要证明。只要证明：Ps。利用乘积理想的定义容易看出此包含关系成立。
中国剩余定理的证明按照自然的方式定义环的直积（对应分量做加法与乘法运算）它也是一个有单位元的交换环。容易验证，典范映射：）保持环的加法与乘法运算。因此，它是一个环同态。
另外，对固定的m，由定理条件及上述引理不难看出即，在商环R=Pm中，[a]=[am]。因此，上述映射为满射。
*后，不难看出同态的核为所有这些理想的交，从而定理结论成立。
例1.19 对整数环Z，任何整数m确定它的一个理想I=（m），它由m的所有倍数构成，也称为主理想。相应于I的商环为剩余类环在环Z=（m）中，加法与乘法也称为模m的加法与乘法。
对，分别有剩余类环。考虑典范映射由中国剩余定理可知，这是一个满射同态。
特别地，对像元素，根据上述定理证明中的做法，由等式得到，由等式得到，由等式得到于是，是它的一个原像，这就是前面提到的古典数学问题的一个解。
注记1.20 在中国剩余定理中的典范映射是环的满同态，它的核是理想的交此时，有等式事实上，利用上述证明中的等式，只要对两个理想的情形证明即可。通过取固定的元素使得中的元素。
特别地，对例1.19中的整数环情形，我们得到关于理想的等式:这涉及整数分解的问题，详见第2讲的内容。
注记1.21 在这一讲我们主要给出了有单位元的环、有单位元的交换环、环的理想与同态等概念，整数环是它的一个*基本的例子。在第2讲给出多项式环的构造之后，将会有大量环的例子自然出现。
定价：68.0
ISBN：9787030566621
作者：王宪栋
版次：1
出版时间：2018-03
内容提要：
本书是代数学的入门读物，主要讨论基本概念与方法。从直观例子分析到抽象概念引入，循序渐进，不断深化。全书共24讲，前12讲主要对代数学的基础性内容进行梳理，包括群、环、域、模及向量空间与线性映射的定义与例子，以及一些基本结论的推导；后12讲介绍代数学中的一些经典构造方法，包括张量代数、对称代数、李代数的泛包络代数、量子群、Hopf-代数等，还介绍了顶点算子代数的概念与初步性质。
目录：
目录
前言
第1讲 中国剩余定理 1
第2讲 算术基本定理 7
第3讲 代数数与超*数 14
第4讲 同态基本定理 19
第5讲 群在集合上的作用 25
第6讲 向量空间基的存在性 30
第7讲 线性映射与矩阵 36
第8讲 多线性映射与行列式 42
第9讲 线性变换的特征值与特征向量 49
第10讲 Jordan-Chevalley分解 55
第11讲 向量空间的典范构造 60
第12讲 群在向量空间上的线性作用 66
第13讲 非结合代数 74
第14讲 有限生成可换群的结构 81
第15讲 张量代数 86
第16讲 李代数sl2及其表示 94
第17讲 Hopf-代数的概念 103
第18讲 量子群Uq(sl2)及其表示 113
第19讲 模的张量积与局部化 126
第20讲 Hilbert零点定理 135
第21讲 GL(V )与多元多项式 142
第22讲 Yoneda引理 153
第23讲 顶点代数与局部系统 164
第24讲 VIR与VOA 178
参考文献 190
索引 192
在线试读：
第1讲 中国剩余定理
中国剩余定理是由下列问题衍生出来的：今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三：七七数之剩二。问物几何？意思是说：有一些物品，不知道它的数量，如果三个三个地数*后剩二个，五个五个地数*后剩三个，七个七个地数*后剩二个，问这些物品共有多少个？
《孙子算经》中的这道著名数学问题是我国古代数学思想“大衍求一术”的具体体现[1]，针对这道题给出的解法是。
中国剩余定理的一般形式为如下定理。
定理1.1 （中国剩余定理）设R是有单位元的交换环，Ps是R的两两互素的理想，则有典范满射环同态同态的核为所有这些理想的交。
本讲的主要目的是详细解释并严格证明上述定理，证明中用到的方法将用于上述古典问题的求解，也由此说明上述解法的合理性。这个定理涉及有单位元的交换环，这个抽象的数学概念有一个重要特例：整数环。因此，我们首先讨论整数环的构造与定义，并假定自然数及其运算等基本知识是读者所熟悉的。
自然数的集合通常记为，它有两个运算：加法“+”与乘法。这两个运算满足一些通常的运算规则。例如，有加法结合律、交换律、零元素（自然数0），有乘法结合律、交换律、单位元（自然数1），还有乘法关于加法的分配律等。
对两个自然数a，b，称a小于b（记为a<b）或b大于a（记为b>a），如果存在非零的自然数c，使得b=a+c；对任意的自然数a；b，必有a=b或a<b或b<a。若a>b或a=b，则记a>b（a大于等于b）。类似地，可以定义a6b（a小于等于b）。
定义1.2 给定自然数的集合N，构造新集合，这是集合的通常直积。是如下定义的二元关系。
对任意元素定义子集称其为元素（a；b）所在的等价类。令称其为整数的集合，其中的元素称为整数（一个整数就是一个“子集”）。
严格来讲，。是直积集合上的一个等价关系，而Z是集合关于等价关系。的商集，一个整数就是一个等价类（见下面的定义）。
定义1.3 集合S上的一个二元关系是的一个子集，元素也记为。按照通常的做法，任何二元关系R都将用统一的符号“。”表示。称二元关系。是一个等价关系，如果它满足：
（1）反身性；
（2）对称性；
（3）传递性。
集合S上的任何一个等价关系，诱导该集合关于的商集，其元素形如，即商集中的元素[x]（有时也记为1x）称为原集合S中的元素x所在的等价类，而元素x只是等价类[x]中的元素之一，也称其为等价类[x]的代表元。
根据等价关系的定义可以直接验证：这些不同的等价类是集合S的一些互不相交的子集，并且它们的并集是整个集合S。此时，这些等价类构成了集合S的一个“划分”：把集合S表示成互不相交的子集并的分解式。
反之，任意给定集合S的一个划分，可以*一确定集合S上的一个等价关系使得元素x当且仅当它们属于划分的同一个子集。此时，等价关系。确定的等价类的集合构成原来给定的划分。
因此，相对抽象的集合上等价关系的概念与比较直观的集合划分的概念本质上是一样的。但是，考虑到和其他数学概念的相容性，以后主要采用等价关系这一术语。
注记1.4 在上述整数集合的定义中，元素所在的等价类，一般记为。特别地，当b=0时，整数可以等同于自然数；当时，整数记为，称为负整数。
考虑映射，不难验证：这是一个单射。即，当时。从而，自然数集合N可以看成整数集合Z的一部分。当给出整数的加法与乘法运算之后，还可以说明：上述映射关于这两个运算是相容的。即，先运算后映射的结果与先映射后运算的结果一致。
命题1.5 整数集合Z可以表示为自然数集合N与负整数的集合的不交并：N[负整数集合。
证明若a=b，则是自然数；若a<b，则有自然数c，使得b=a+c，从而是负整数；若b<a，则有自然数c，使得a=b+c，从而是自然数。
注记1.6 通过自然数的运算，可以按照下述方式定义整数的运算。
加法：
乘法：
定义1.7 整数集合Z，带有上述加法与乘法运算，满足通常的运算规则。关于加法有：结合律、零元素、负元素、交换律；关于乘法有：结合律、单位元、交换律；关于加法与乘法有：分配律。称Z为整数环。
注记1.8 关于整数乘法结合律的验证，有等式类似有下列等式从而，乘法的结合律成立。这里用到自然数运算的结合律、分配律等。
练习1.9 验证整数加法与乘法运算的合理性（一个整数是一个等价类，合理性是指运算结果与等价类中代表元的选取无关）；验证其加法与乘法运算的所有规则。整数之间也可以定义小于等于关系：对任意两个整数则记。
类似于自然数的情形，当时，也记b>a，称整数b大于等于a；当a<b时，也记b>a，称整数b大于a。
定义1.10 集合G，带有一个运算（称为乘法），满足结合律，有单位元，每个元素有逆元，则称G是一个群。若运算还满足交换律，则称G是一个可换群（也称为Abel群）。此时，群的运算称为加法。
定义1.11 集合R，带有加法与乘法两个运算，并满足上述整数的八条运算规则，称R是一个有单位元的交换环。当乘法交换律未必成立时，称R是一个有单位元的环，简称环。
由上述讨论可知，整数集合Z关于加法构成一个可换群，其加法零元素为自然数0；整数集合Z关于加法与乘法构成一个有单位元的交换环，其乘法单位元为自然数1。
定义1.12 设R，S是有单位元的环是一个映射。称是环的同态，如果它保持单位元，保持加法与乘法运算。即，有下列等式这里分别表示环R与S的单位元（以后均可以简写为1）。
称是环的一个同构映射，如果它是环的同态，也是双射。
称环R与S是同构的，如果它们之间存在同构映射。当'是单射环同态时，环R可以看成环S的一个子环（环的子环是指：包含单位元，且关于环的两个运算封闭的非空子集）。
定义1.13 设R是有单位元的环，称R的非空子集I是R的理想，如果它满足条件：
若I是环R的理想，且，则称I为R的真理想。由理想的定义直接看出：环R的任何真理想不可能包含R的单位元1。
例1.14 对整数环，它是由n的所有整数倍数构成的子集，则I是整数环Z的一个理想。在第2讲将证明：整数环Z的任何理想都具有这种形式。
练习1.15 （1）设是环的同态，定义同态的核同态的像。证明：是环R的理想，是环S的子环。
（2）设是环R的理想，定义理想的和：与积：有限和。证明：与都是R的理想。
（3）对环R的有限个理想，归纳定义它们的和与积，并说明它们还是R的理想。
（4）环R的任意多个理想的交还是R的理想。
提示 根据理想的定义及理想运算的定义，容易验证这些结论成立。
通过环R的理想I，定义R上的一个二元关系可以验证：。是一个等价关系，从而有商集：在集合R=I上定义两个运算根据理想的定义条件可以证明（见下面引理）：这两个运算的定义合理，且关于有单位元的环的条件都成立。因此，商集R=I是一个有单位元的环，称其为环R关于其理想I的商环。
由乘法的定义不难看出：当R是可换环时，商环R=I也是可换环。
引理1.16 上述加法与乘法运算定义合理：与代表元的选取无关。
证明 只证明加法运算定义的合理性，乘法情形的证明是类似的。
设，只要证明：根据等价关系。的定义，有。再根据理想的定义，直接得到即。
定义1.17 设R是有单位元的交换环，称R的真理想I是R的素理想，如果它满足条件：对或。
称R的两个理想I，J是互素的，如果它满足条件：I+J=R。
称R的真理想J是极大理想，如果它不严格包含于R的任何其他真理想内。即，对R的任何理想K，由J。K，必有K=J或者K=R。
引理1.18 设Ps是有单位元的交换环R的理想，且Q与每个都互素，则Q与乘积理想也是互素的。
证明 由条件，要证明。只要证明：Ps。利用乘积理想的定义容易看出此包含关系成立。
中国剩余定理的证明按照自然的方式定义环的直积（对应分量做加法与乘法运算）它也是一个有单位元的交换环。容易验证，典范映射：）保持环的加法与乘法运算。因此，它是一个环同态。
另外，对固定的m，由定理条件及上述引理不难看出即，在商环R=Pm中，[a]=[am]。因此，上述映射为满射。
*后，不难看出同态的核为所有这些理想的交，从而定理结论成立。
例1.19 对整数环Z，任何整数m确定它的一个理想I=（m），它由m的所有倍数构成，也称为主理想。相应于I的商环为剩余类环在环Z=（m）中，加法与乘法也称为模m的加法与乘法。
对，分别有剩余类环。考虑典范映射由中国剩余定理可知，这是一个满射同态。
特别地，对像元素，根据上述定理证明中的做法，由等式得到，由等式得到，由等式得到于是，是它的一个原像，这就是前面提到的古典数学问题的一个解。
注记1.20 在中国剩余定理中的典范映射是环的满同态，它的核是理想的交此时，有等式事实上，利用上述证明中的等式，只要对两个理想的情形证明即可。通过取固定的元素使得中的元素。
特别地，对例1.19中的整数环情形，我们得到关于理想的等式:这涉及整数分解的问题，详见第2讲的内容。
注记1.21 在这一讲我们主要给出了有单位元的环、有单位元的交换环、环的理想与同态等概念，整数环是它的一个*基本的例子。在第2讲给出多项式环的构造之后，将会有大量环的例子自然出现。