作为维度题材的先驱性作品，本书描绘的维度几何特性及高维投影方法，为后世提供了极具价值的参考。

同时，它也对维多利亚时期的阶级社会进行了辛辣讽刺。

再版序

第一部分：这个世界

 平面国的性质

 平面国的气候和房屋

 平面国的居民

 平面国的女性

 平面国居民区分彼此的方法

 靠视觉区分他人

 不规则的形状

 古老的染色技术

 《通用颜色法案》

 镇压色彩暴动

 僧侣阶级

 僧侣阶级的教义

第二部分：其他世界

 我梦见了直线国

 我试图解释平面国的性质，但没有成功

 一位来自空间国的陌生人

 这位陌生人试图用语言向我解释空间国的秘密，但没有成功

 既然语言不管用，球决定诉诸行动

 我如何来到空间国，以及我在空间国看到了什么

 虽然球向我展示了空间国的其他秘密，

 但我仍想知道更多，以及之后发生的事情

 球如何在梦中鼓励我传道

 我如何尝试把三维理论教给我的孙儿，以及结果如何

 我如何尝试用其他方式传播三维理论，以及结果如何

译/鲁冬旭

埃德温·艾勃特，剑桥天才，神学家，数学家，26岁就任伦敦城市学校校长，成为英国首相的老师。

鲁冬旭，美国普林斯顿大学金融学硕士，译有《X的奇幻之旅》《巴菲特高收益投资策略》《隐性动机》《中国的增长》《拯救全球经济》等。

第1章：平面国的性质

我把我们的世界叫做“平面国”。

其实，我们并不真的这样称呼我们的世界，我这么命名只是为了更清楚地向你们解释这个世界的本质。各位快乐的读者，你们能够生活在立体空间中可真是一件非常幸运的事情。

你们可以把我们的世界想象成一张巨大的纸。在这张纸上，线段 、三角形、正方形、五边形、六边形以及其他各种图形都可以自由移动。但是，这些图形既不能从纸面上浮起来，也不能沉到纸面以下，它们只能在这张纸所代表的平面中移动（我们平面国的人会说“平面中”而不是“平面上”，因为我们没有“上”或“下”的概念。我们只有这一个平面，所有东西都在这个“平面中”）。

平面国中的这些图形很像你们空间国中的影子——但它们不是虚影，而是边缘发光的实际物体。如果你们能想象这种情况，就已经基本知道我们的国家以及我国居民大概是怎么回事了。啊！几年前我恐怕还会把我们的“国家”说成我们的“宇宙”，但现在我已经有了更深的见解。

相信你们已经意识到，平面国中不可能存在任何你们称之为“立体物”的东西。但是我敢说， 有些读者肯定觉得， 既然平面国中有各种不同的图形，那么我们至少应该可以区分三角形、正方形、以及其他形状吧？

你们要是这么想可就错了。事实上，平面国的居民不可能凭视觉区分不同的形状，因为除了线段以外，我们看不见、也不可能看见任何其他东西。接下来就让我解释一下为什么会这样。

请各位读者在你们的空间国中找一张桌子，然后把一枚硬币放在桌面上。

这时，如果你弯腰俯视桌面，就会看到桌子上的硬币呈一个圆形。

接下来，请向后退几步，并逐渐降低视线，直到目光和桌面边缘齐平。随着视线的降低，一开始呈圆形的硬币在你的眼中会变成椭圆形，并且这个椭圆形会变得越来越扁。 在这个过程中，你看到的情形越来越接近平面国的居民们每天看到的情形。

最终，当你的视点完全与桌面边缘齐平时，你眼中的硬币将不再是一个椭圆，而会变成一条线段——恭喜你，现在你已经在用平面国居民的视角观察事物了。

其实，你放在桌上的东西不一定非得是圆形的硬币，也可以放三角形、正方形、或者用硬纸板剪出来的任何形状。不管什么图形，只要你的视角从俯视逐渐变为沿桌面平视，就一定会经历以上的变化。一旦视线与桌面平行、并且视点恰好与桌子边缘一样高，你就会发现你眼中的图形不再具有二维的形状，此时任何图形看起来都是一条线段。下面，让我来举一个等边三角形的例子——在我们的国家中，等边三角形是受人尊敬的商人。现在，一位平面国的商人在你的桌子上躺好了。

首先，你弯腰俯视桌面，此时商人的样子会像图1那样。接着，你变换视角，不断降低视线的高度，于是你看到的商人会逐渐从图1的样子变为图2的样子。最后，你的视线基本与桌面平行，此时商人变成了图3里的样子。

不难想象，如果你的视线能与桌面完全齐平的话，这位可敬的商人（即这个等边三角形）在你眼中就会变成一条线段。在平面国中，我们看到的商人正是一条这样的线段。

当我在你们的空间国中遨游时，我听说你们世界中的水手在航海时也会遇到类似的情况。当你们的水手瞭望远处地平线上的岛屿和海岸线时，他们常常只能看到一条连绵不断的灰色线段。

那些遥远的陆地实际上可能有着复杂的地形——海湾、海峡，数目不一、形状各异的凸出和凹进，但远处的水手无法凭肉眼分辨这些地形（除非此时阳光很强，水手们才有可能通过光影的投射看出陆地的实际形状）。

在平面国中，当一位熟人向我们走来，也正像空间国水手眼中的海岸线。平面国没有太阳或其他光源，因此就没有影子。因此我们无法像空间国的居民那样，凭借光影辨别形状。我们只会看到对面来者所呈现的线段变得越来越长；而当他远离我们时，这条线段则会越来越短。这位朋友的实际形状可能是三角形、正方形、五边形、六边形、圆形、或者其他任何你能说得上来的形状，但在我们眼中他永远只能是一条线段，而不可能是任何其他的形状。

说到这里，恐怕你们会产生这样一个疑问：既然所有形状在平面国居民眼中都是线段，那么我们究竟要如何把朋友区分开来呢？

你们有这种疑问真是再自然不过了，但我现在还不能告诉你们这个问题的答案。等一会儿我会专门介绍平面国居民的性质，那时我就可以更准确、更方便地回答这个问题了。

现在，让我们先把这个问题暂时放一放吧。在下一节中，我打算简略谈谈我们国家的气候和房屋的情况。

P2-7

立体人，你们是比作者更高级的物种，

愿探索能拓宽你们的想象，

并孕育出最少见、最卓越的美德——谦虚。

——正方形

很难简单概括《平面国》这本书。

它可以是：首次解释"维度"概念的科普读物、脑洞大开的科幻小说、煞有介事的数学童话、剑走偏锋的精神启蒙、辛辣讽喻英国维多利亚时代的社会寓言。

这本一百年前横空出世的小书，通篇在一本正经地胡说八道，散发着浓浓英式幽默，有趣、迷人，令人捧腹 。

它启发过无数大师，深刻影响了现当代科学。“平面国”已然成为全球范围内的超级文化符号。

作者在平面宇宙设定基础上，展开细节详实的“平面国”生活画卷。平面国的各形状居民操心自己的国家社会，就像我们操心自己的日常生活。他们住在平面房子里，通过雾气和光线识别他人，靠彼此触摸识别“角度”区分地位。平面国史上还发生通过染色消除阶级而引发的大事件，比起空间世界的人类历史也不遑多让。