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书名：数学分析讲义（**卷）
定价：68.0
ISBN：9787030583642
作者：丁彦恒，刘笑颖，吴刚编
版次：1
出版时间：2018-12
内容提要：
本书始于实数的基本理论.接着进入一元微积分学，包括极限、连续、级数、微分、复数、积分等，重视它对现代数学的启迪，适时介绍些抽象概念(如对基的极限)，以益于拓展到一般分析学回其次探讨拓扑空间(特别是度量空间、欧氏空间Rn)的映射，展开多元微积分学，其中涉及隐函数定理、集合上的积分、流形(特别是Rn 中的曲面)及微分形式、流形(特别是曲线与曲面)上微分形式的积分、向量分析与场论继而研究线性赋范空间中的微分学、函数项级数与函数族的基本分析运算、含参变量的积分(特别是函数的卷积与广义函数等)、傅里叶变换、渐近展开等。
目录：
目录
前言
一些符号与记号
第1章 实数 1
1.1 实数集的公理系统及它的某些一般性质 1
1.1.1 实数集的定义 1
1.1.2 实数的某些代数性质 3
1.1.3 确界原理 6
1.2 重要的实数类 8
1.2.1 自然数与数学归纳原理 8
1.2.2 有理数与无理数 10
1.2.3 阿基米德原理 13
1.2.4 实数集的几何解释与位置记数法 15
1.3 与实数集的完备性有关的等价引理 21
1.4 可数集与连续统 25
1.4.1 集的势（基数） 25
1.4.2 可数集 25
1.4.3 连续统的势 27
第2章 极限 30
2.1 序列的极限 30
2.1.1 定义和例子 30
2.1.2 数列极限的性质 31
2.1.3 数列极限的存在问题 34
2.1.4 级数的初步知识 41
2.2 函数的极限 51
2.2.1 定义和例子 51
2.2.2 函数极限的性质 55
2.2.3 函数极限的 般定义（对基的极限） 59
2.2.4 函数极限晌存在问题 62
2.2.5 根据极限理论定义指数函数、对数函数与幂函数 65
2.2.6 两个重要极限 70
2.2.7 函数的渐近行为比较 75
第3章 连续函数 85
3.1 基本定义和例子 85
3.1.1 函数在 点处的连续性 85
3.1.2 间断点 89
3.2 连续函数的性质 92
3.2.1 局部性质 92
3.2.2 全局（整体）性质 93
第4章 微分学 104
4.1 可微函数 104
4.1.1 导数和微分 104
4.1.2 切线；导数和微分的几何意义 106
4.1.3 一些例子 108
4.2 微分的基本法则 114
4.2.1 微分法和算术运算 114
4.2.2 反函数的微分法 117
4.2.3 复合函数的微分法 121
4.2.4 基本初等函数的导数表 123
4.2.5 高阶导数 124
4.2.6 *简单的隐函数的微分法 127
4.3 微分学的基本定理 132
4.3.1 费马引理和罗尔定理 132
4.3.2 拉格朗日和柯西的微分中值定理 134
4.3.3 泰勒公式 137
4.4 用微分学的方法研究函数 151
4.4.1 函数单调的条件（参看函数单调性检验法） 151
4.4.2 函数内极值点条件 152
4.4.3 函数凸的条件 157
4.4.4 洛必达法则 163
4.4.5 作函数的图像 166
4.5 复数初等函数彼此间的联系 172
4.5.1 复数 172
4.5.2 C中的收敛及复数项级数 175
4.5.3 欧拉公式以及初等函数彼此间的联系 179
4.5.4 函数的幂级数表示，解析性 182
4.5.5 复数域C的代数封闭性 187
4.6 自然科学中应用微分学的 些例子 l95
4.6.1 齐奥尔科夫斯基公式 195
4.6.2 放射衰变、连锁反应及原子反应堆 196
4.6.3 振动 198
第5章 积分学 201
5.1 原函数与不定积分 201
5.1.1 概念 201
5.1.2 求原函数的基本的一般方法 202
5.1.3 有理函数的原函数 207
5.1.4 R(cosz，sin x)dx型的原函数 211
5.1.5 R(x，y(x))x型的原函数 213
5.2 定积分 219
5.2.1 积分定义和可积函数集的描述 219
5.2.2 积分的性质 233
5.2.3 积分和导数 242
5.2.4 定积分的一些应用 253
5.2.5 反常积分 266
在线试读：
第1章 实数
人猿揖别后，人类就在使用数，并在随后的历史发展长河中，约定俗成了数的规则，这规则就是现在所谓的关于数的公理．进入数学科学领域，自然要知道究竟什么是数．本章起首就是回忆关于实数的一个确切的定义．
1.1 实数集的公理系统及它的某些一般性质
1.1.1 实数集的定义
这里采用抽象公理系统的形式给出实数集的定义，这个定义形式上并不假定事先知道关于数的任何知识．从这个定义出发，y把人们通常熟悉的实数的其他性质作为定理推导出来，
定义1 称集合R是一个实数集，如果其上定义了加法运算“+”、乘法运算“．”和序关系“≤”，它们满足实数集的公理系统：(I)加法公理、(II)乘法公理、(Ⅲ)序公理、(Ⅳ)完备（连续）公理以及(I，Ⅱ)加法与乘法的联系、(I，Ⅲ)加法与序关系的联系、(Ⅱ，Ⅲ)乘法与序关系的联系．此时称肽的元素为实数．
下面具体描述实数集公理系统．
(I)加法公理 R×R一R，(x，y)yx+y（称为x，y之和），满足：
1+（零元）有中性元0（加法零元），使得Vx∈R，
2+（|负元）Vx∈R，] x∈R，叫做x的负元，使得
3+（结合律）Vx，y，x∈y，成立
4+（交换律）Vx，y∈R，成立
（II）乘法公理 R×R一R，（x，y）一x．y（称为x，y之积），满足：
1．（]单位元）存在单位元1∈R，使得Vx∈肽
2．（]逆元）每个元x∈R＼{0}有逆元x-l∈R＼{0}使得
3．（结合律）Vx，y，x∈R，成立
4．（交换律）Vx，y∈R，成立
(III)序公理 R的元素间有（不等）关系≤，满足下列条件：
0≤（反身性）Vx∈R(x≤x)；
1≤（反对称性）(x≤y)（y≤x）≥（x=y）；
2≤（传递性）(x≤y)（y≤x）≥(x≤x)；
3≤（有序性）Vx∈R，Vy∈R，（x≤y）V(y≤x)．
(IV)完备（连续）公理 如果X与y是R的非空子集，且具有性质：Vx∈x，y∈y有x≤y，则c∈R，使对Vx∈X，y∈y有x≤c≤y．
（I,II）加法与乘法的联系（分配性）
(I,III)加法与序关系的联系
(II,III)乘法与序关系的联系
任何满足这些公理系统的集合都是实数集的具体实现，或通常所说的实数模型．需要强调的是这组公理所确定的数学对象是**的．所谓**须作如下理解：设RA和RB是两个满足公理系统的模型，则y建立双射，它保持算术运算与序关系，即
这时，从数学的观点来看，RA与RB只是实数的不同的（完全平等的）实现（模型）（例如，RA是无穷十进制小数，而RB是数轴上的点）．这些实现叫做同构实现，而，则叫做同构．于是，数学研究的结果对该公理系统的同构模型类中的每个模型都是适用的．
注1 (1)如果集G上确定了满足公理1+，2+，3+的一个运算，则称G是一个群；若称此运算为加法，则称G为加群；若此运算又是交换的（即4+），则称G为交换群（或阿贝尔群）．
(2)如果集G上同时确定了上述加法和乘法运算，则称它为代数域（简称域）．
(3)如果集G的某些元素之间有满足公理0≤，1≤，2≤的关系，就称此G为偏序集；若除此外又满足3≤，则称G为线性序集．
1.1.2 实数的某些代数性质
1．加法公理的推论
加法公理的推论如下：
(1)实数集中有**的零元．
(2)实数集中的每个元素有**的负元．
(3)方程a+x=b在R中有**解x=b+(-a)．
证 (1)若01与02都是肽中的零元，则由零元的定义得到
(2)若x1与x2都是x∈R的负元，则利用零元的定义、负元的定义及加法的结合律与交抉律，得到
(3)由每个元a∈R有**的负元得到
2．乘法公理的推论
乘法公理的推论如下：
(1)实数集中有**的单位元．
(2)对于每个数x≠0，有**的逆元x-1．
(3)方程a.x=b，当a∈R＼{0}时有**解x=6.a-1.
以上结论的证明与加法的相应结论证明类似，读者y自行证明
3．加法与乘法联系的公理的推论
加法与乘法联系的公理的推论如下：
由此得到，如果x∈R＼{0}，则x-1∈R＼{0}．
证 (1)
(2)假如y≠0，则由关于x的方程xy =0的解的**性得x=0．Y-1=0．
(3)由于x+（-1）x=（1+（-1））x=0．X=x.0=0，再由负元的**性即得所证．
(4)由(3)及-x的负元x的**性得，即（-1）(-x)= - (-x)，而 （-x）-x，得证．
(5)由(3)，(4)及乘法的交换律与结合律有
4．序公理的推论
首先注意，关系x≤y（读作“x小于或等于y”）也y以写成y≥x(“y大于或等于x”)；当x≠y时，关系x≤y写成x<y（读作“x小于y”）或y>x(“y大于x”)，并称之为严格不等式．
中，有且仅有一种关系成立，即实数是有序的．
证 (1)这由刚引入的严格不等式的定义，以及公理1≤与3≤推知.
(2)先证**个推断．由传递性推知
往证x≠z．若不然，就有
矛盾．
再证第二个推断．类似地，先推知x≤z．若x=z，则
从而推得（y=x）^(y≠x)，矛盾．口
5.序与加法及乘法联系的公理的推论
序与加法及乘法联系的公理的推论如下：
证 (1)仅证**、三两个推断，关于**个，按严格不等式的定义及公理(I，Ⅲ)，得
只需验证x+z≠y+z．事实上，
与x<y矛盾．
关于第三个推断．由．再由传递性得x+z≤w+y．
(2)我们只验证**个与第三个推断．
关于**个，据严格不等式的定义及公理(II，III)，有
由于前已证明
所以0≠xy.
再验证第三个．
(3)由1∈R＼{0}知0≠1．假如1<0，则由(2)有
矛盾．故必0<1．
(4)首先由0<x知x-1≠0．假如X-1<0，则有
此与(3)矛盾，
通常，我们称大于零的实数为正数，小于零的数为负数．因此我们证明了：单位元是正数，正数与负数的乘积是负数，正数的倒数也是正数．
1.1.3 确界原理
定义2 设XcR．若存在一数c∈R，使对一切x∈X都满足x≤c(c≤x)，则称集合X是上（下）有界集．此时数c就称为X的一个上（下）界．既有上界又有下界的集合叫做有界集．
定价：68.0
ISBN：9787030583642
作者：丁彦恒，刘笑颖，吴刚编
版次：1
出版时间：2018-12
内容提要：
本书始于实数的基本理论.接着进入一元微积分学，包括极限、连续、级数、微分、复数、积分等，重视它对现代数学的启迪，适时介绍些抽象概念(如对基的极限)，以益于拓展到一般分析学回其次探讨拓扑空间(特别是度量空间、欧氏空间Rn)的映射，展开多元微积分学，其中涉及隐函数定理、集合上的积分、流形(特别是Rn 中的曲面)及微分形式、流形(特别是曲线与曲面)上微分形式的积分、向量分析与场论继而研究线性赋范空间中的微分学、函数项级数与函数族的基本分析运算、含参变量的积分(特别是函数的卷积与广义函数等)、傅里叶变换、渐近展开等。
目录：
目录
前言
一些符号与记号
第1章 实数 1
1.1 实数集的公理系统及它的某些一般性质 1
1.1.1 实数集的定义 1
1.1.2 实数的某些代数性质 3
1.1.3 确界原理 6
1.2 重要的实数类 8
1.2.1 自然数与数学归纳原理 8
1.2.2 有理数与无理数 10
1.2.3 阿基米德原理 13
1.2.4 实数集的几何解释与位置记数法 15
1.3 与实数集的完备性有关的等价引理 21
1.4 可数集与连续统 25
1.4.1 集的势（基数） 25
1.4.2 可数集 25
1.4.3 连续统的势 27
第2章 极限 30
2.1 序列的极限 30
2.1.1 定义和例子 30
2.1.2 数列极限的性质 31
2.1.3 数列极限的存在问题 34
2.1.4 级数的初步知识 41
2.2 函数的极限 51
2.2.1 定义和例子 51
2.2.2 函数极限的性质 55
2.2.3 函数极限的 般定义（对基的极限） 59
2.2.4 函数极限晌存在问题 62
2.2.5 根据极限理论定义指数函数、对数函数与幂函数 65
2.2.6 两个重要极限 70
2.2.7 函数的渐近行为比较 75
第3章 连续函数 85
3.1 基本定义和例子 85
3.1.1 函数在 点处的连续性 85
3.1.2 间断点 89
3.2 连续函数的性质 92
3.2.1 局部性质 92
3.2.2 全局（整体）性质 93
第4章 微分学 104
4.1 可微函数 104
4.1.1 导数和微分 104
4.1.2 切线；导数和微分的几何意义 106
4.1.3 一些例子 108
4.2 微分的基本法则 114
4.2.1 微分法和算术运算 114
4.2.2 反函数的微分法 117
4.2.3 复合函数的微分法 121
4.2.4 基本初等函数的导数表 123
4.2.5 高阶导数 124
4.2.6 *简单的隐函数的微分法 127
4.3 微分学的基本定理 132
4.3.1 费马引理和罗尔定理 132
4.3.2 拉格朗日和柯西的微分中值定理 134
4.3.3 泰勒公式 137
4.4 用微分学的方法研究函数 151
4.4.1 函数单调的条件（参看函数单调性检验法） 151
4.4.2 函数内极值点条件 152
4.4.3 函数凸的条件 157
4.4.4 洛必达法则 163
4.4.5 作函数的图像 166
4.5 复数初等函数彼此间的联系 172
4.5.1 复数 172
4.5.2 C中的收敛及复数项级数 175
4.5.3 欧拉公式以及初等函数彼此间的联系 179
4.5.4 函数的幂级数表示，解析性 182
4.5.5 复数域C的代数封闭性 187
4.6 自然科学中应用微分学的 些例子 l95
4.6.1 齐奥尔科夫斯基公式 195
4.6.2 放射衰变、连锁反应及原子反应堆 196
4.6.3 振动 198
第5章 积分学 201
5.1 原函数与不定积分 201
5.1.1 概念 201
5.1.2 求原函数的基本的一般方法 202
5.1.3 有理函数的原函数 207
5.1.4 R(cosz，sin x)dx型的原函数 211
5.1.5 R(x，y(x))x型的原函数 213
5.2 定积分 219
5.2.1 积分定义和可积函数集的描述 219
5.2.2 积分的性质 233
5.2.3 积分和导数 242
5.2.4 定积分的一些应用 253
5.2.5 反常积分 266
在线试读：
第1章 实数
人猿揖别后，人类就在使用数，并在随后的历史发展长河中，约定俗成了数的规则，这规则就是现在所谓的关于数的公理．进入数学科学领域，自然要知道究竟什么是数．本章起首就是回忆关于实数的一个确切的定义．
1.1 实数集的公理系统及它的某些一般性质
1.1.1 实数集的定义
这里采用抽象公理系统的形式给出实数集的定义，这个定义形式上并不假定事先知道关于数的任何知识．从这个定义出发，y把人们通常熟悉的实数的其他性质作为定理推导出来，
定义1 称集合R是一个实数集，如果其上定义了加法运算“+”、乘法运算“．”和序关系“≤”，它们满足实数集的公理系统：(I)加法公理、(II)乘法公理、(Ⅲ)序公理、(Ⅳ)完备（连续）公理以及(I，Ⅱ)加法与乘法的联系、(I，Ⅲ)加法与序关系的联系、(Ⅱ，Ⅲ)乘法与序关系的联系．此时称肽的元素为实数．
下面具体描述实数集公理系统．
(I)加法公理 R×R一R，(x，y)yx+y（称为x，y之和），满足：
1+（零元）有中性元0（加法零元），使得Vx∈R，
2+（|负元）Vx∈R，] x∈R，叫做x的负元，使得
3+（结合律）Vx，y，x∈y，成立
4+（交换律）Vx，y∈R，成立
（II）乘法公理 R×R一R，（x，y）一x．y（称为x，y之积），满足：
1．（]单位元）存在单位元1∈R，使得Vx∈肽
2．（]逆元）每个元x∈R＼{0}有逆元x-l∈R＼{0}使得
3．（结合律）Vx，y，x∈R，成立
4．（交换律）Vx，y∈R，成立
(III)序公理 R的元素间有（不等）关系≤，满足下列条件：
0≤（反身性）Vx∈R(x≤x)；
1≤（反对称性）(x≤y)（y≤x）≥（x=y）；
2≤（传递性）(x≤y)（y≤x）≥(x≤x)；
3≤（有序性）Vx∈R，Vy∈R，（x≤y）V(y≤x)．
(IV)完备（连续）公理 如果X与y是R的非空子集，且具有性质：Vx∈x，y∈y有x≤y，则c∈R，使对Vx∈X，y∈y有x≤c≤y．
（I,II）加法与乘法的联系（分配性）
(I,III)加法与序关系的联系
(II,III)乘法与序关系的联系
任何满足这些公理系统的集合都是实数集的具体实现，或通常所说的实数模型．需要强调的是这组公理所确定的数学对象是**的．所谓**须作如下理解：设RA和RB是两个满足公理系统的模型，则y建立双射，它保持算术运算与序关系，即
这时，从数学的观点来看，RA与RB只是实数的不同的（完全平等的）实现（模型）（例如，RA是无穷十进制小数，而RB是数轴上的点）．这些实现叫做同构实现，而，则叫做同构．于是，数学研究的结果对该公理系统的同构模型类中的每个模型都是适用的．
注1 (1)如果集G上确定了满足公理1+，2+，3+的一个运算，则称G是一个群；若称此运算为加法，则称G为加群；若此运算又是交换的（即4+），则称G为交换群（或阿贝尔群）．
(2)如果集G上同时确定了上述加法和乘法运算，则称它为代数域（简称域）．
(3)如果集G的某些元素之间有满足公理0≤，1≤，2≤的关系，就称此G为偏序集；若除此外又满足3≤，则称G为线性序集．
1.1.2 实数的某些代数性质
1．加法公理的推论
加法公理的推论如下：
(1)实数集中有**的零元．
(2)实数集中的每个元素有**的负元．
(3)方程a+x=b在R中有**解x=b+(-a)．
证 (1)若01与02都是肽中的零元，则由零元的定义得到
(2)若x1与x2都是x∈R的负元，则利用零元的定义、负元的定义及加法的结合律与交抉律，得到
(3)由每个元a∈R有**的负元得到
2．乘法公理的推论
乘法公理的推论如下：
(1)实数集中有**的单位元．
(2)对于每个数x≠0，有**的逆元x-1．
(3)方程a.x=b，当a∈R＼{0}时有**解x=6.a-1.
以上结论的证明与加法的相应结论证明类似，读者y自行证明
3．加法与乘法联系的公理的推论
加法与乘法联系的公理的推论如下：
由此得到，如果x∈R＼{0}，则x-1∈R＼{0}．
证 (1)
(2)假如y≠0，则由关于x的方程xy =0的解的**性得x=0．Y-1=0．
(3)由于x+（-1）x=（1+（-1））x=0．X=x.0=0，再由负元的**性即得所证．
(4)由(3)及-x的负元x的**性得，即（-1）(-x)= - (-x)，而 （-x）-x，得证．
(5)由(3)，(4)及乘法的交换律与结合律有
4．序公理的推论
首先注意，关系x≤y（读作“x小于或等于y”）也y以写成y≥x(“y大于或等于x”)；当x≠y时，关系x≤y写成x<y（读作“x小于y”）或y>x(“y大于x”)，并称之为严格不等式．
中，有且仅有一种关系成立，即实数是有序的．
证 (1)这由刚引入的严格不等式的定义，以及公理1≤与3≤推知.
(2)先证**个推断．由传递性推知
往证x≠z．若不然，就有
矛盾．
再证第二个推断．类似地，先推知x≤z．若x=z，则
从而推得（y=x）^(y≠x)，矛盾．口
5.序与加法及乘法联系的公理的推论
序与加法及乘法联系的公理的推论如下：
证 (1)仅证**、三两个推断，关于**个，按严格不等式的定义及公理(I，Ⅲ)，得
只需验证x+z≠y+z．事实上，
与x<y矛盾．
关于第三个推断．由．再由传递性得x+z≤w+y．
(2)我们只验证**个与第三个推断．
关于**个，据严格不等式的定义及公理(II，III)，有
由于前已证明
所以0≠xy.
再验证第三个．
(3)由1∈R＼{0}知0≠1．假如1<0，则由(2)有
矛盾．故必0<1．
(4)首先由0<x知x-1≠0．假如X-1<0，则有
此与(3)矛盾，
通常，我们称大于零的实数为正数，小于零的数为负数．因此我们证明了：单位元是正数，正数与负数的乘积是负数，正数的倒数也是正数．
1.1.3 确界原理
定义2 设XcR．若存在一数c∈R，使对一切x∈X都满足x≤c(c≤x)，则称集合X是上（下）有界集．此时数c就称为X的一个上（下）界．既有上界又有下界的集合叫做有界集．