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书名：线性代数与空间解析几何
定价：45.0
ISBN：9787030560261
作者：谭瑞梅，郭晓丽
版次：1
出版时间：2018-02
内容提要：
本书为普通高等教育“十三五”规划教材，是针对当前MOOC、SPOC微课的教学改革背景和普通高等院校的教学实际而编写的一本新形态数字化教材，在原有经典基本内容的基础上，适当增加了数字化时代下需要的新知识，删减了某些陈旧不必要的内容。
全书共有六章，主要内容为行列式及其计算、几何向量空间与几何图形、矩阵、n维向量与线性方程组、矩阵的特征值与特征向量、二次型。 每节后有习题。 每章*后有拓展知识，包括MATLAB数学软件介绍及相关应用程序和数学应用实例，书的*后附有习题和复习题的参考答案。
目录：
目录
前言
第1章 行列式及其计算 1
1.1 n阶行列式 1
1.1.1 二、三阶行列式 1
1.1.2 排列与反序数 4
1.1.3 n阶行列式的定义 5
习题1.1 8
1.2 行列式的性质 9
1.2.1 行列式的性质 9
1.2.2 利用性质计算行列式 13
习题1.2 16
1.3 行列式按行(列)展开 17
1.3.1 余子式、代数余子式的概念 17
1.3.2 行列式按行(列)展开定理 19
习题1.3 24
1.4 克拉默法则 25
1.4.1 克拉默法则 25
1.4.2 齐次线性方程组有非零解的条件 27
习题1.4 28
复习题1 29
1 拓展知识 33
1.5 MATLAB软件介绍及计算行列式的程序 33
1.5.1 MATLAB简介 33
1.5.2 MATLAB桌面 33
1.5.3 命令窗口 33
1.5.4 M文件 34
1.5.5 MATLAB基础知识 35
1.5.6 计算行列式的软件程序示例 38
1.6 行列式的应用模型 38
第2章 几何向量空间与几何图形 40
2.1 几何向量空间 40
2.1.1 向量及其线性运算 40
2.1.2 空间直角坐标系与向量的坐标 42
2.1.3 向量的模、方向角与方向余弦 44
2.1.4 几何向量的投影 48
习题2.1 48
2.2 几何向量的乘法 49
2.2.1 数量积 49
2.2.2 向量积 52
2.2.3 混合积 54
习题2.2 55
2.3 空间的平面与直线 56
2.3.1 平面及其方程 56
2.3.2 直线及其方程 60
2.3.3 距离与平面束 65
习题2.3 67
2.4 空间曲面与曲线 68
2.4.1 球面及其方程 68
2.4.2 柱面及其方程 70
2.4.3 锥面及其方程 72
2.4.4 旋转曲面和一般曲面及其方程 73
2.4.5 空间曲线及其方程 77
习题2.4 82
复习题2 82
2 拓展知识 84
2.5 MATLAB制作空间图形的程序示例 84
2.6 几何上的应用 97
第3章 矩阵 99
3.1 矩阵 99
3.1.1 矩阵的概念 99
3.1.2 几种特殊的矩阵 101
3.1.3 矩阵概念的应用 103
习题3.1 104
3.2 矩阵的运算 105
3.2.1 矩阵的加法 105
3.2.2 矩阵的数乘 106
3.2.3 矩阵的乘法 107
3.2.4 方阵的幂 110
3.2.5 矩阵的转置 112
3.2.6 方阵的行列式 113
3.2.7 共轭矩阵 114
习题3.2 114
3.3 矩阵的初等变换 115
3.3.1 线性方程组的高斯消元法 116
3.3.2 矩阵的初等变换 117
3.3.3 初等矩阵 120
习题3.3 122
3.4 逆矩阵 123
3.4.1 逆矩阵的概念 123
3.4.2 可逆矩阵的判定及求法 124
3.4.3 矩阵方程的解法 129
习题3.4 131
3.5 矩阵的分块 132
3.5.1 矩阵的分块方法 132
3.5.2 分块矩阵的运算 134
习题3.5 138
3.6 矩阵的秩 139
3.6.1 矩阵秩的概念 139
3.6.2 矩阵秩的求法 141
3.6.3 线性方程组解的判定定理 143
习题3.6 148
复习题3 150
3 拓展知识 154
3.7 有关矩阵的MATLAB软件程序示例 154
3.7.1 矩阵乘法的软件程序 154
3.7.2 求矩阵的秩软件程序 156
3.8 矩阵的应用模型 156
3.8.1 矩阵在视图制作中的应用 157
3.8.2 矩阵在密码和解密模型中的应用 158
3.8.3 经济学中的投入产出模型 160
第4章 n维向量与线性方程组 163
4.1 n维向量 163
4.1.1 n维向量的概念 163
4.1.2 n维向量的线性运算 164
4.1.3 向量空间及其子空间 165
习题4.1 166
4.2 向量组的线性相关性 166
4.2.1 向量组的线性表示 166
4.2.2 向量组的线性相关性 171
4.2.3 向量组线性相关性的有关定理 176
习题4.2 179
4.3 向量组的秩 179
4.3.1 向量组的秩与极大线性无关组 179
4.3.2 向量组的秩与矩阵秩的关系 182
4.3.3 求极大线性无关组的方法 183
4.3.4 向量空间的基、维数与向量的坐标 185
习题4.3 187
4.4 齐次线性方程组解的结构 187
4.4.1 齐次线性方程组解的性质 187
4.4.2 齐次线性方程组的基础解系与解的结构 188
习题4.4 192
4.5 非齐次线性方程组解的结构 193
4.5.1 非齐次线性方程组解的性质 193
4.5.2 非齐次线性方程组解的结构 194
习题4.5 198
复习题4 199
4 拓展知识 201
4.6 软件程序示例 201
4.6.1 求矩阵的秩软件程序示例 201
4.6.2 解线性方程组的软件程序示例 202
4.7 应用模型 205
4.7.1 向量组线性相关性的应用模型 205
4.7.2 线性方程组的应用模型 209
第5章 矩阵的特征值与特征向量 212
5.1 n维向量的内积 212
5.1.1 n维向量的内积 212
5.1.2 正交向量组与标准正交向量组 214
5.1.3 施密特正交化方法 215
5.1.4 线性变换与正交变换 216
习题5.1 218
5.2 矩阵的特征值与特征向量 219
5.2.1 特征值与特征向量的概念 219
5.2.2 求特征值与特征向量的方法 220
习题5.2 224
5.3 相似矩阵 225
5.3.1 相似矩阵的概念 225
5.3.2 矩阵的相似对角化 226
5.3.3 实对称矩阵的对角化 228
习题5.3 234
复习题5 235
5 拓展知识 237
5.4 求特征值的软件程序示例 237
5.5 特征值与特征向量的应用模型 239
5.5.1 矩阵的极限 239
5.5.2 离散动态系统的演化 240
第6章 二次型 243
6.1 二次型及其标准形 243
6.1.1 二次型及其标准形 243
6.1.2 化二次型为标准形的方法 246
习题6.1 250
6.2 正定二次型 250
6.2.1 正定二次型的概念 250
6.2.2 正定二次型的判定 251
习题6.2 253
复习题6 253
6 拓展知识 257
6.3 二次型的应用 257
习题参考答案与提示 260
参考文献 283
在线试读：
第1章 行列式及其计算
行列式起源于解n个方程n个未知量的线性方程组，是研究矩阵、线性方程组、向量间的线性关系、特征值和二次型等问题的有力工具，它不仅贯穿于线性代数的始终，在数学的其他分支领域以及经济管理、物理、工程技术等学科中也都有着广泛的应用。本章从解二元与三元线性方程组入手引入二阶与三阶行列式的概念，进而用排列的奇偶性把行列式推广到n 阶，再讨论行列式的性质、计算方法以及用行列式求解线性方程组的克拉默法则。
1.1 n阶行列式
1.1.1 二、三阶行列式
对于二元线性方程组利用消元法可得
当时，可得方程组的*一解
为了便于记忆上述解的公式，引入记号，并给出如下二阶行列式的定义。
定义1.1.1 由2×2个数构成的记号称为二阶行列式，它表示代数和，即 (1.1.1)它的横排称为行，竖排称为列，数称为行列式的元素。元素的第*个下标i称为行标，表明该元素位于第i行；第二个下标j 称为列标，表明该元素位于第j 列。通常用“D”或“det”表示行列式。
二阶行列式(1.1.1)中，等号右端的表示式又称为行列式的展开式。二阶行列式的展开式可以用如下对角线法则来记忆：称上式的实线为主对角线，虚线为副对角线。于是二阶行列式便是主对角线上两元素之积减去副对角线上两元素之积所得的差。
利用二阶行列式，可以把上述方程组的解表示为称D为方程组的系数行列式。
例1.1.1 计算二阶行列式
解
为解三个方程三个未知量的线性方程组我们用类似的方法，引入三阶行列式的概念。
定义1.1.2 由3×3个数构成的记号称为三阶行列式，它表示代数和，即
三阶行列式也可用对角线法则得到。三阶行列式的对角线法则如图1.1.1所示。图中有三条实线可看作平行于主对角线的连线，三条虚线可看作平行于副对角线的连线，实线上三元素的乘积带正号，虚线上三元素的乘积带负号，所得六项的代数和就是三阶行列式的展开式。
图1.1.1
若上述三元线性方程组的系数行列式，则方程组有*一解其中
例1.1.2 计算三阶行列式
解 按对角线法则，有
对角线法则只适用于二阶与三阶行列式。为研究四阶及更高阶的行列式，下面先介绍有关排列的知识，然后引出n 阶行列式的概念。
1.1.2 排列与反序数
定义1.1.3 由正整数1,2,…,(n-1),n组成的一个有序数组，称为一个n级排列。
如2431是一个 4级排列，45123是一个5级排列，12…(n-1)n是一个n级排列，它具有自然顺序，称为自然排列(或标准排列)。
n级排列共有n！个，例如，3级排列共3！个，它们分别是123，132，213，231，312，321，其中只有123 是自然排列，其他的3级排列都或多或少破坏了自然顺序。
定义1.1.4 在一个排列中，如果一个大数排在了一个小数前面，就称这两个数构成一个反序。一个排列的反序总数称为这个排列的反序数。以后用表示排列的反序数。
反序数为奇数的排列称为奇排列，反序数为偶数的排列称为偶排列。
例1.1.3 计算下列排列的反序数，并判断其奇偶性。
(1) 2431； (2) 45132。
解 (1) 在4级排列2431中，共有反序21,43,41,31，故τ (2431)=4，所以2431为偶排列；
(2) 在5级排列45132 中，共有反序 41,43,42,51,53,52,32，故τ (45132)=7，所以45132 为奇排列。
例1.1.4 求排列n(n-1)…321的反序数，并讨论其奇偶性。
解 排列n(n-1)…321的反序数，故当n=4k 或n=4k+1时，排列 n(n-1)…321是偶排列，而当n=4k+2 或n=4k+3时，排列n(n-1)…321是奇排列。
定义1.1.5 在一个排列中，交换其中某两个数的位置，而其余各数的位置不动，就得到一个同级的新排列。对排列施行这样的一个交换称为一个对换，将相邻的两个数对换，叫做相邻对换。
关于对换有如下结论：
定理1.1.1 对换改变排列的奇偶性，即经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列。
证明略。
推论1 任意一个n级排列可经过一系列对换变成自然排列，并且所作对换次数的奇偶性与这个排列的奇偶性相同。
证明 由定理1.1.1 知，对换的次数就是排列奇偶性的变换次数，而自然排列是偶排列，因此结论成立。
推论2 在全部的n级排列中，奇偶排列各占一半，即各有个。
证明 设奇、偶排列各有p,q个，则p+q=n!。将p个奇排列的前两个数对换，则这p个奇排列全变成偶排列，并且它们互不相同，所以p≤q 。同理，将q个偶排列的前两个数对换，则这q个偶排列全变成奇排列，并且它们互不相同，所以q≤p。综上所述有。
1.1.3 n阶行列式的定义
为了给出n阶行列式的定义，先来研究三阶行列式的展开式中项的构成规律。三阶行列式定义为
容易看出：
(1) 它的每一项都是3个元素的乘积，并且这三个元素位于三阶行列式的不同行、不同列；
(2) 每一项的三个元素的行标排成自然排列123时，列标都是1,2,3 的某一排列，这样的排列共有3!=6种，故三阶行列式展开式中含有6项；
(3) 当每一项中元素的行标按自然顺序排列时，带正号的三项的列标排列是123，231，312，它们全是偶排列。而带负号的三项的列标排列是132，213，321，它们全是奇排列。即三阶行列式展开式中每一项的符号是当每一项中元素的行标按自然顺序排列时，如果对应的列标为偶排列时取正号，为奇排列时取负号。
综上所述，三阶行列式的展开式中的一般项可表示为，从而三阶行列式可简写为，其中表示对所有的3级排列求和。类似地，二阶行列式可写成，其中表示对所有的2级排列求和。
由此可归纳出一般n阶行列式的定义。
定义1.1.6 由n×n个数，n排成的n行n列的记号称为n阶行列式。它表示所有取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和，其中是数1,2,…,n的一个排列，且当这n个元素的行标按自然顺序排列时，列标是偶排列时该项带正号，列标是奇排列时该项带负号共有n!项。即，(1.1.2)其中表示对所有的n级排列求和。上述n阶行列式可简记为。
一阶行列式，注意不要与数的绝对值相混淆。
例1.1.5 计算行列式
解 由n阶行列式的定义知，D的一般项为。因为D的第*行元素都是零，即对任意的，所以D的展开式中所有项都为零，从而D=0。
例1.1.6 主对角线(从左上角到右下角的线)以上(下)的元素都是零的行列式叫做下(上)三角形行列式。计算下三角形行列式
定价：45.0
ISBN：9787030560261
作者：谭瑞梅，郭晓丽
版次：1
出版时间：2018-02
内容提要：
本书为普通高等教育“十三五”规划教材，是针对当前MOOC、SPOC微课的教学改革背景和普通高等院校的教学实际而编写的一本新形态数字化教材，在原有经典基本内容的基础上，适当增加了数字化时代下需要的新知识，删减了某些陈旧不必要的内容。
全书共有六章，主要内容为行列式及其计算、几何向量空间与几何图形、矩阵、n维向量与线性方程组、矩阵的特征值与特征向量、二次型。 每节后有习题。 每章*后有拓展知识，包括MATLAB数学软件介绍及相关应用程序和数学应用实例，书的*后附有习题和复习题的参考答案。
目录：
目录
前言
第1章 行列式及其计算 1
1.1 n阶行列式 1
1.1.1 二、三阶行列式 1
1.1.2 排列与反序数 4
1.1.3 n阶行列式的定义 5
习题1.1 8
1.2 行列式的性质 9
1.2.1 行列式的性质 9
1.2.2 利用性质计算行列式 13
习题1.2 16
1.3 行列式按行(列)展开 17
1.3.1 余子式、代数余子式的概念 17
1.3.2 行列式按行(列)展开定理 19
习题1.3 24
1.4 克拉默法则 25
1.4.1 克拉默法则 25
1.4.2 齐次线性方程组有非零解的条件 27
习题1.4 28
复习题1 29
1 拓展知识 33
1.5 MATLAB软件介绍及计算行列式的程序 33
1.5.1 MATLAB简介 33
1.5.2 MATLAB桌面 33
1.5.3 命令窗口 33
1.5.4 M文件 34
1.5.5 MATLAB基础知识 35
1.5.6 计算行列式的软件程序示例 38
1.6 行列式的应用模型 38
第2章 几何向量空间与几何图形 40
2.1 几何向量空间 40
2.1.1 向量及其线性运算 40
2.1.2 空间直角坐标系与向量的坐标 42
2.1.3 向量的模、方向角与方向余弦 44
2.1.4 几何向量的投影 48
习题2.1 48
2.2 几何向量的乘法 49
2.2.1 数量积 49
2.2.2 向量积 52
2.2.3 混合积 54
习题2.2 55
2.3 空间的平面与直线 56
2.3.1 平面及其方程 56
2.3.2 直线及其方程 60
2.3.3 距离与平面束 65
习题2.3 67
2.4 空间曲面与曲线 68
2.4.1 球面及其方程 68
2.4.2 柱面及其方程 70
2.4.3 锥面及其方程 72
2.4.4 旋转曲面和一般曲面及其方程 73
2.4.5 空间曲线及其方程 77
习题2.4 82
复习题2 82
2 拓展知识 84
2.5 MATLAB制作空间图形的程序示例 84
2.6 几何上的应用 97
第3章 矩阵 99
3.1 矩阵 99
3.1.1 矩阵的概念 99
3.1.2 几种特殊的矩阵 101
3.1.3 矩阵概念的应用 103
习题3.1 104
3.2 矩阵的运算 105
3.2.1 矩阵的加法 105
3.2.2 矩阵的数乘 106
3.2.3 矩阵的乘法 107
3.2.4 方阵的幂 110
3.2.5 矩阵的转置 112
3.2.6 方阵的行列式 113
3.2.7 共轭矩阵 114
习题3.2 114
3.3 矩阵的初等变换 115
3.3.1 线性方程组的高斯消元法 116
3.3.2 矩阵的初等变换 117
3.3.3 初等矩阵 120
习题3.3 122
3.4 逆矩阵 123
3.4.1 逆矩阵的概念 123
3.4.2 可逆矩阵的判定及求法 124
3.4.3 矩阵方程的解法 129
习题3.4 131
3.5 矩阵的分块 132
3.5.1 矩阵的分块方法 132
3.5.2 分块矩阵的运算 134
习题3.5 138
3.6 矩阵的秩 139
3.6.1 矩阵秩的概念 139
3.6.2 矩阵秩的求法 141
3.6.3 线性方程组解的判定定理 143
习题3.6 148
复习题3 150
3 拓展知识 154
3.7 有关矩阵的MATLAB软件程序示例 154
3.7.1 矩阵乘法的软件程序 154
3.7.2 求矩阵的秩软件程序 156
3.8 矩阵的应用模型 156
3.8.1 矩阵在视图制作中的应用 157
3.8.2 矩阵在密码和解密模型中的应用 158
3.8.3 经济学中的投入产出模型 160
第4章 n维向量与线性方程组 163
4.1 n维向量 163
4.1.1 n维向量的概念 163
4.1.2 n维向量的线性运算 164
4.1.3 向量空间及其子空间 165
习题4.1 166
4.2 向量组的线性相关性 166
4.2.1 向量组的线性表示 166
4.2.2 向量组的线性相关性 171
4.2.3 向量组线性相关性的有关定理 176
习题4.2 179
4.3 向量组的秩 179
4.3.1 向量组的秩与极大线性无关组 179
4.3.2 向量组的秩与矩阵秩的关系 182
4.3.3 求极大线性无关组的方法 183
4.3.4 向量空间的基、维数与向量的坐标 185
习题4.3 187
4.4 齐次线性方程组解的结构 187
4.4.1 齐次线性方程组解的性质 187
4.4.2 齐次线性方程组的基础解系与解的结构 188
习题4.4 192
4.5 非齐次线性方程组解的结构 193
4.5.1 非齐次线性方程组解的性质 193
4.5.2 非齐次线性方程组解的结构 194
习题4.5 198
复习题4 199
4 拓展知识 201
4.6 软件程序示例 201
4.6.1 求矩阵的秩软件程序示例 201
4.6.2 解线性方程组的软件程序示例 202
4.7 应用模型 205
4.7.1 向量组线性相关性的应用模型 205
4.7.2 线性方程组的应用模型 209
第5章 矩阵的特征值与特征向量 212
5.1 n维向量的内积 212
5.1.1 n维向量的内积 212
5.1.2 正交向量组与标准正交向量组 214
5.1.3 施密特正交化方法 215
5.1.4 线性变换与正交变换 216
习题5.1 218
5.2 矩阵的特征值与特征向量 219
5.2.1 特征值与特征向量的概念 219
5.2.2 求特征值与特征向量的方法 220
习题5.2 224
5.3 相似矩阵 225
5.3.1 相似矩阵的概念 225
5.3.2 矩阵的相似对角化 226
5.3.3 实对称矩阵的对角化 228
习题5.3 234
复习题5 235
5 拓展知识 237
5.4 求特征值的软件程序示例 237
5.5 特征值与特征向量的应用模型 239
5.5.1 矩阵的极限 239
5.5.2 离散动态系统的演化 240
第6章 二次型 243
6.1 二次型及其标准形 243
6.1.1 二次型及其标准形 243
6.1.2 化二次型为标准形的方法 246
习题6.1 250
6.2 正定二次型 250
6.2.1 正定二次型的概念 250
6.2.2 正定二次型的判定 251
习题6.2 253
复习题6 253
6 拓展知识 257
6.3 二次型的应用 257
习题参考答案与提示 260
参考文献 283
在线试读：
第1章 行列式及其计算
行列式起源于解n个方程n个未知量的线性方程组，是研究矩阵、线性方程组、向量间的线性关系、特征值和二次型等问题的有力工具，它不仅贯穿于线性代数的始终，在数学的其他分支领域以及经济管理、物理、工程技术等学科中也都有着广泛的应用。本章从解二元与三元线性方程组入手引入二阶与三阶行列式的概念，进而用排列的奇偶性把行列式推广到n 阶，再讨论行列式的性质、计算方法以及用行列式求解线性方程组的克拉默法则。
1.1 n阶行列式
1.1.1 二、三阶行列式
对于二元线性方程组利用消元法可得
当时，可得方程组的*一解
为了便于记忆上述解的公式，引入记号，并给出如下二阶行列式的定义。
定义1.1.1 由2×2个数构成的记号称为二阶行列式，它表示代数和，即 (1.1.1)它的横排称为行，竖排称为列，数称为行列式的元素。元素的第*个下标i称为行标，表明该元素位于第i行；第二个下标j 称为列标，表明该元素位于第j 列。通常用“D”或“det”表示行列式。
二阶行列式(1.1.1)中，等号右端的表示式又称为行列式的展开式。二阶行列式的展开式可以用如下对角线法则来记忆：称上式的实线为主对角线，虚线为副对角线。于是二阶行列式便是主对角线上两元素之积减去副对角线上两元素之积所得的差。
利用二阶行列式，可以把上述方程组的解表示为称D为方程组的系数行列式。
例1.1.1 计算二阶行列式
解
为解三个方程三个未知量的线性方程组我们用类似的方法，引入三阶行列式的概念。
定义1.1.2 由3×3个数构成的记号称为三阶行列式，它表示代数和，即
三阶行列式也可用对角线法则得到。三阶行列式的对角线法则如图1.1.1所示。图中有三条实线可看作平行于主对角线的连线，三条虚线可看作平行于副对角线的连线，实线上三元素的乘积带正号，虚线上三元素的乘积带负号，所得六项的代数和就是三阶行列式的展开式。
图1.1.1
若上述三元线性方程组的系数行列式，则方程组有*一解其中
例1.1.2 计算三阶行列式
解 按对角线法则，有
对角线法则只适用于二阶与三阶行列式。为研究四阶及更高阶的行列式，下面先介绍有关排列的知识，然后引出n 阶行列式的概念。
1.1.2 排列与反序数
定义1.1.3 由正整数1,2,…,(n-1),n组成的一个有序数组，称为一个n级排列。
如2431是一个 4级排列，45123是一个5级排列，12…(n-1)n是一个n级排列，它具有自然顺序，称为自然排列(或标准排列)。
n级排列共有n！个，例如，3级排列共3！个，它们分别是123，132，213，231，312，321，其中只有123 是自然排列，其他的3级排列都或多或少破坏了自然顺序。
定义1.1.4 在一个排列中，如果一个大数排在了一个小数前面，就称这两个数构成一个反序。一个排列的反序总数称为这个排列的反序数。以后用表示排列的反序数。
反序数为奇数的排列称为奇排列，反序数为偶数的排列称为偶排列。
例1.1.3 计算下列排列的反序数，并判断其奇偶性。
(1) 2431； (2) 45132。
解 (1) 在4级排列2431中，共有反序21,43,41,31，故τ (2431)=4，所以2431为偶排列；
(2) 在5级排列45132 中，共有反序 41,43,42,51,53,52,32，故τ (45132)=7，所以45132 为奇排列。
例1.1.4 求排列n(n-1)…321的反序数，并讨论其奇偶性。
解 排列n(n-1)…321的反序数，故当n=4k 或n=4k+1时，排列 n(n-1)…321是偶排列，而当n=4k+2 或n=4k+3时，排列n(n-1)…321是奇排列。
定义1.1.5 在一个排列中，交换其中某两个数的位置，而其余各数的位置不动，就得到一个同级的新排列。对排列施行这样的一个交换称为一个对换，将相邻的两个数对换，叫做相邻对换。
关于对换有如下结论：
定理1.1.1 对换改变排列的奇偶性，即经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列。
证明略。
推论1 任意一个n级排列可经过一系列对换变成自然排列，并且所作对换次数的奇偶性与这个排列的奇偶性相同。
证明 由定理1.1.1 知，对换的次数就是排列奇偶性的变换次数，而自然排列是偶排列，因此结论成立。
推论2 在全部的n级排列中，奇偶排列各占一半，即各有个。
证明 设奇、偶排列各有p,q个，则p+q=n!。将p个奇排列的前两个数对换，则这p个奇排列全变成偶排列，并且它们互不相同，所以p≤q 。同理，将q个偶排列的前两个数对换，则这q个偶排列全变成奇排列，并且它们互不相同，所以q≤p。综上所述有。
1.1.3 n阶行列式的定义
为了给出n阶行列式的定义，先来研究三阶行列式的展开式中项的构成规律。三阶行列式定义为
容易看出：
(1) 它的每一项都是3个元素的乘积，并且这三个元素位于三阶行列式的不同行、不同列；
(2) 每一项的三个元素的行标排成自然排列123时，列标都是1,2,3 的某一排列，这样的排列共有3!=6种，故三阶行列式展开式中含有6项；
(3) 当每一项中元素的行标按自然顺序排列时，带正号的三项的列标排列是123，231，312，它们全是偶排列。而带负号的三项的列标排列是132，213，321，它们全是奇排列。即三阶行列式展开式中每一项的符号是当每一项中元素的行标按自然顺序排列时，如果对应的列标为偶排列时取正号，为奇排列时取负号。
综上所述，三阶行列式的展开式中的一般项可表示为，从而三阶行列式可简写为，其中表示对所有的3级排列求和。类似地，二阶行列式可写成，其中表示对所有的2级排列求和。
由此可归纳出一般n阶行列式的定义。
定义1.1.6 由n×n个数，n排成的n行n列的记号称为n阶行列式。它表示所有取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和，其中是数1,2,…,n的一个排列，且当这n个元素的行标按自然顺序排列时，列标是偶排列时该项带正号，列标是奇排列时该项带负号共有n!项。即，(1.1.2)其中表示对所有的n级排列求和。上述n阶行列式可简记为。
一阶行列式，注意不要与数的绝对值相混淆。
例1.1.5 计算行列式
解 由n阶行列式的定义知，D的一般项为。因为D的第*行元素都是零，即对任意的，所以D的展开式中所有项都为零，从而D=0。
例1.1.6 主对角线(从左上角到右下角的线)以上(下)的元素都是零的行列式叫做下(上)三角形行列式。计算下三角形行列式