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书名：微积分学习指导-典型例题精解
定价：35.0
ISBN：9787030113825
作者：华苏
版次：1
出版时间：2017-08
内容提要：
本书旨在对正在学习微积分和在复习微积分准备参加各种考试的读者提供一些帮助。全书共分九章与一个附录，包括极限与连续、一元函数微分学、一元函数积分学、无穷级数、空间解析几何与向量代数、多元函数微分学、重积分、曲线曲面积分、常微分方程等。达到了理工科微积分课程的基本要求，覆盖了国家研究生入学考试的基本内容。每章通过对典型例题的剖析，将基本概念、常用方法、解题思路以及各种概念与方法之间的相互关系等一一呈现在读者面前，希望这样能达到使读者学会“想”题，从而学会解题的目的。
目录：
目录
**章 极限与连续 1
[内容精讲] 1
1. 极限 1
2. 连续 5
[典型例题] 6
[练习] 17
[答案与提示] 20
第二章 一元微分学 22
[内容精讲] 22
1. 导数的概念 22
2. 导数的计算 23
3. 微分中值定理 25
4. 导数的应用 27
[典型例题] 28
[练习] 39
[答案与提示] 43
第三章 一元函数积分学 46
[内容精讲] 46
1. 不定积分 46
2. 定积分 49
3. 变限积分和微积分基本定理 51
4. 定积分的应用 51
5. 广义积分 53
[典型例题] 55
[练习] 69
[答案与提示] 72
第四章 级数 76
[内容精讲] 76
1. 数项级数 76
2. 函数项级数 79
[典型例题] 82
[练习] 94
[答案与提示] 98
第五章 空间解析几何与向量代数 100
[内容精讲] 100
1. 向量代数 100
2. 空间平面与直线 103
3. 空间的曲面与曲线 105
[典型例题] 106
[练习] 118
[答案与提示] 119
第六章 多元函数微分学 121
[内容精讲] 121
1. 多元函数的概念 121
2. 多元函数的极限与连续 121
3. 偏导数与全微分 122
4. 多元函数的求导法则 123
5. 方向导数与梯度 124
6. 二元函数的犜犪狔犾狅狉公式 125
7. 多元微分学的几何应用 125
8. 多元函数的极值与*值 127
[典型例题] 128
[练习] 148
[答案与提示] 149
第七章 重积分 151
[内容精讲] 151
1. 二重积分 151
2. 三重积分 154
[典型例题] 155
[练习] 176
[答案与提示] 177
第八章 曲线积分与曲面积分 179
[内容精讲] 179
1. **类曲线积分 179
2. 第二类曲线积分 180
3. 格林公式 181
4. 平面上第二类曲线积分与路径无关的条件 182
5. **类曲面积分 182
6. 第二类曲面积分 183
7. 高斯公式 185
8. Stokes公式 185
9. 空间曲线积分与路径无关的条件 185
10. 向量场的散度与旋度 186
[典型例题] 187
[练习] 209
[答案与提示] 211
第九章 常微分方程 213
[内容精讲] 213
1. 常微分方程的有关概念 213
2. 可求解的一阶微分方程 213
3. 高阶方程的可降阶类型 215
4. 线性微分方程解的结构 215
5. 二阶线性常系数微分方程的解法 216
6. 欧拉方程 217
[典型例题] 218
[练习] 230
[答案与提示] 231
附录 233
**学期期中模拟试题(一) 233
**学期期中模拟试题(二) 239
**学期期末模拟试题(一) 243
**学期期末模拟试题(二) 250
第二学期期中模拟试题(一) 257
第二学期期中模拟试题(二) 261
第二学期期末模拟试题(一) 267
第二学期期末模拟试题(二) 272
在线试读：
**章 极限与连续
极限的概念是微积分*基本的概念，它的依据是实数理论。
[内容精讲]
1. 极限
函数极限的概念是微积分*基本的概念，它用来描述在一点的邻域内在自变量的某种趋向下函数（或数列）的变化趋势。数列的极限可看为整标函数的极限，是函数极限的一个特例。
（1）数列的极限
1）定义设有数列{un}和实数A，如果对于任意给定的正数ε>0，存在自然数N∈N，使得当n>N时，恒有|un-A|<ε 成立，则称当n→∞时un的极限为A。
（这个定义的要点是，ε 是任意给定的，N一般是与ε 有关的，一旦n>N，un的所有值都要落入以y=A为中心2ε 宽的带域中。）
2）数列极限的存在性
它可以由数列极限的定义及下面的定理确定：
① 数列极限的四则运算性质
设数列{xn}和{yn}极限分别存在，且，则数列极限存在，其中α，β 为常数，且；数列{xnyn}极限存在，且；当时，数列极限存在，且。
② 夹逼定理
设数列{xn}，{yn}，{un}当n足够大时满足xn≤un≤yn，若，则数列{un}极限存在，且。
③ 单调有界定理
设数列{xn}单调增（减），且有上（下）界，则数列{xn}极限存在。
④ Cauchy收敛准则
数列{xn}收敛的必要且充分条件是，使当，n>N时恒有。
由数列极限得到的*重要的结果是。
另外我们可以证明以下的极限，它们显示了数列趋于无穷的速度。记住它们对今后理解未定型的极限概念会有帮助。
这些极限说明当n增加时，在上面给的条件下，这显示了它们趋于无穷大的速度。
（2）函数的极限
1）定义
① 当x→x0 时函数f（x）以A为极限如果对于任意ε>0，存在δ>0，使当0< x-x0 <δ 时，恒有f（x）-A<ε，则称当x→x0 时，f（x）以A为极限。记为。
（注意：一元函数的极限要求两侧的极限都存在而且相等，如果当0<x0-x<δ 时有f（x）-A<ε，称f（x）当x→x0 时的左极限为A，记为。同样，定义右极限。）
② 当x→∞时函数f（x）以A为极限如果对于任意ε>0，存在G>0，当x>G时，恒有f（x）-A<ε，则称当x→∞时，f（x）以A为极限。记为。
（注意：同样有上面的问题。存在，要求和都存在且相等。）
由极限定义很容易推出
2）函数极限的运算法则设，且，则
（上面各式中，可以是x0，也可以是∞，还可以是单侧的。）
3）判断极限存在可以用极限的定义，还可以用
① 夹逼定理设在x0 的某个邻域（可以去心）内，有φ（x）≤f（x）≤ψ（x）而且
② 单调有界定理
如果函数f（x）在x0 的左邻域（x0-δ，x0）内，单调增（减）有上（下）界，则f（x）在x0 点存在左极限；如果f（x）在x0 的右邻域（x0，x0+δ）内，单调增（减）有下（上）界，则f（x）在x0 点存在右极限。
③ Cauchy准则f（x）当x→x0 时极限存在的必要且充分条件为，ε>0，使当x1，x2∈N0（x0，δ）时，恒有f（x1）-f（x2）<ε。
4）无穷小量和无穷大量的定义若，则称f（x）为x→x0 下的无穷小量（x0 可以是∞，还可以是单侧的）。若，则称f（x）为x→x0下的无穷大量（x0 可以是∞，还可以是单侧的）。无穷大量又根据极限的符号有正无穷大量和负无穷大量。显然无穷大量的倒数是无穷小量。
（注意：无穷小量是对自变量的某种趋向而言，而且无穷小量不是数而是函数，是在某种趋向下极限为零的函数。）
5）无穷小量的性质
① 若f（x）在x的某种趋向下的极限是A，则f（x）=A+α（x），其中α（x）是这种趋向下的无穷小量。
② 无穷小量乘有界量仍为无穷小量。（注意：无穷大量乘有界量，不一定是无穷大量。自己想一想为什么，应该怎样说是正确的。）
③ 有限多个无穷小量的和、差、积仍为无穷小量。
④ 若f（x）在x的某种趋向下为无穷小量，则1/f（x）在这种趋向下为无穷大量。反之亦然。
由这些定理我们可以推出两个重要极限和一系列重要的等价关系：
由于。利用夹逼定理，立得
这个结论还是处理1∞型不定型的常用方法之一。
若，则。
而且这个极限经过一些必要的变换可以推出
由直观的估计和夹逼定理，可得
做适当的变换，可得
这两组极限给出了常用的一些x→0下无穷小量的等价关系：
讲到了无穷小量的等价，实际就涉及到了
6）无穷小量的比较
设f（x）和g（x）都是x→x0 下的无穷小量，则当时，称下的同阶无穷小量；
特别当c=1时，f（x）和g（x）称为等价无穷小量，记为，f（x）~g（x），（x→x0）；
当时，称f（x）是比g（x）高阶的无穷小量，记为
（显然表示f（x）是x→x0 下的无穷小量。）
当时，称f（x）是比g（x）低阶的无穷小量。
无穷小量的阶的实质是无穷小量趋于0的速度，x→x0 时无穷小阶数的标准是（x-x0）的幂次。
顺便介绍表示f（x）/g（x）在x0 的某个空心邻域内有界。
等价无穷小量代换是求极限的一个重要方法！在极限的过程中，由极限的性质和等价无穷小量的定义可得，对于相乘除关系的因子只要极限不为0，随时可做等价代换和求出极限，这样做的结果会大大简化求极限的过程。但相加减的各部分就要当心，一般不能做等价无穷小量代换，因为等价代换会改变原来的主项。关于极限的计算在后面的课程中还会有新的内容和新的方法，例如，求与变上限积分定义的函数有关的极限，用犔′犎狅狊狆犻狋a犾法则求极限，用犜ay犾狅狉公式求极限，用定积分的定义求极限，用级数收敛的必要条件求极限等等。
函数在一点的性质是用极限定义的，因此说极限是微积分的基础。
2. 连续
（1）函数连续的定义
设函数f（x）在x0 的邻域内有定义，如果存在，且，则称f（x）在x0 点连续。
（这个定义有三个要点①f（x）在x0 点有定义；②f（x）在x0 点左极限和右极限要分别存在且相等；③ 极限要等于f（x0）。三条缺一不可。换句话说，缺一就成为间断点。）
函数f（x）在区间D内每一点都连续，则称函数f（x）为D内的连续函数，记作
f（x）∈C（D）。
间断点又以极限是否存在分为两类：左右极限均存在的间断点为**类间断点（其中左右极限相等的，又特别称为可去间断点），否则为第二类间断点。
由于连续是用极限定义的，由极限性质立得，连续函数的有限多次和、差、积、商（分母不为0）仍为连续函数；连续函数有限多次的复合函数仍为连续函数。
可证，基本初等函数在定义域上是连续函数，初等函数在它们定义域的区间上是连续函数。
（2）闭区间上的连续函数的性质
1）有界性定理设函数，则上有界。
2）*值定理设函数，则f（x）在上一定可以取得*大值和*小值。
3）介质定理设函数，且在上*小值为，*大值为，则μ，满足，使。
4）零点定理设函数，且，则，使得f（ξ）=0。
这是几条十分重要的定理。它们是求*值的基础，推导微分、积分中值定理的关键，加上函数的单调性又是讨论函数零点的存在性及个数的根据。
（3）函数一致连续的定义
设函数在区间犐上连续，如果，当且时恒有f（x）-f（x0）<ε，则称f（x）在上一致连续。
一致连续的等价命题是，当时，恒有。
一致连续与逐点连续不同，它不是函数在一点的性质，而是函数在一个区间上的性质。可以推出一致连续的函数具有一些很好的分析性质。
用有限覆盖定理易证，“在有界闭区间上连续的函数必在这个区间上一致连续。”
[典型例题]
例1 用定义证明极限：
请判断下面三种证法的对错。
证 法一，欲使，即。因为所以只须，即。故，使当n>N时，恒有成立，由定义可得。
法二，欲使，即。 因为，所以只须，即可。故，使当n>N时，恒有。由定义可得。
法三做了上一证明之后，有人发现用同样方法，可以证明这个极限为任意实数，譬如极限为1。
证明如下，请你看看问题出在哪儿。
定价：35.0
ISBN：9787030113825
作者：华苏
版次：1
出版时间：2017-08
内容提要：
本书旨在对正在学习微积分和在复习微积分准备参加各种考试的读者提供一些帮助。全书共分九章与一个附录，包括极限与连续、一元函数微分学、一元函数积分学、无穷级数、空间解析几何与向量代数、多元函数微分学、重积分、曲线曲面积分、常微分方程等。达到了理工科微积分课程的基本要求，覆盖了国家研究生入学考试的基本内容。每章通过对典型例题的剖析，将基本概念、常用方法、解题思路以及各种概念与方法之间的相互关系等一一呈现在读者面前，希望这样能达到使读者学会“想”题，从而学会解题的目的。
目录：
目录
**章 极限与连续 1
[内容精讲] 1
1. 极限 1
2. 连续 5
[典型例题] 6
[练习] 17
[答案与提示] 20
第二章 一元微分学 22
[内容精讲] 22
1. 导数的概念 22
2. 导数的计算 23
3. 微分中值定理 25
4. 导数的应用 27
[典型例题] 28
[练习] 39
[答案与提示] 43
第三章 一元函数积分学 46
[内容精讲] 46
1. 不定积分 46
2. 定积分 49
3. 变限积分和微积分基本定理 51
4. 定积分的应用 51
5. 广义积分 53
[典型例题] 55
[练习] 69
[答案与提示] 72
第四章 级数 76
[内容精讲] 76
1. 数项级数 76
2. 函数项级数 79
[典型例题] 82
[练习] 94
[答案与提示] 98
第五章 空间解析几何与向量代数 100
[内容精讲] 100
1. 向量代数 100
2. 空间平面与直线 103
3. 空间的曲面与曲线 105
[典型例题] 106
[练习] 118
[答案与提示] 119
第六章 多元函数微分学 121
[内容精讲] 121
1. 多元函数的概念 121
2. 多元函数的极限与连续 121
3. 偏导数与全微分 122
4. 多元函数的求导法则 123
5. 方向导数与梯度 124
6. 二元函数的犜犪狔犾狅狉公式 125
7. 多元微分学的几何应用 125
8. 多元函数的极值与*值 127
[典型例题] 128
[练习] 148
[答案与提示] 149
第七章 重积分 151
[内容精讲] 151
1. 二重积分 151
2. 三重积分 154
[典型例题] 155
[练习] 176
[答案与提示] 177
第八章 曲线积分与曲面积分 179
[内容精讲] 179
1. **类曲线积分 179
2. 第二类曲线积分 180
3. 格林公式 181
4. 平面上第二类曲线积分与路径无关的条件 182
5. **类曲面积分 182
6. 第二类曲面积分 183
7. 高斯公式 185
8. Stokes公式 185
9. 空间曲线积分与路径无关的条件 185
10. 向量场的散度与旋度 186
[典型例题] 187
[练习] 209
[答案与提示] 211
第九章 常微分方程 213
[内容精讲] 213
1. 常微分方程的有关概念 213
2. 可求解的一阶微分方程 213
3. 高阶方程的可降阶类型 215
4. 线性微分方程解的结构 215
5. 二阶线性常系数微分方程的解法 216
6. 欧拉方程 217
[典型例题] 218
[练习] 230
[答案与提示] 231
附录 233
**学期期中模拟试题(一) 233
**学期期中模拟试题(二) 239
**学期期末模拟试题(一) 243
**学期期末模拟试题(二) 250
第二学期期中模拟试题(一) 257
第二学期期中模拟试题(二) 261
第二学期期末模拟试题(一) 267
第二学期期末模拟试题(二) 272
在线试读：
**章 极限与连续
极限的概念是微积分*基本的概念，它的依据是实数理论。
[内容精讲]
1. 极限
函数极限的概念是微积分*基本的概念，它用来描述在一点的邻域内在自变量的某种趋向下函数（或数列）的变化趋势。数列的极限可看为整标函数的极限，是函数极限的一个特例。
（1）数列的极限
1）定义设有数列{un}和实数A，如果对于任意给定的正数ε>0，存在自然数N∈N，使得当n>N时，恒有|un-A|<ε 成立，则称当n→∞时un的极限为A。
（这个定义的要点是，ε 是任意给定的，N一般是与ε 有关的，一旦n>N，un的所有值都要落入以y=A为中心2ε 宽的带域中。）
2）数列极限的存在性
它可以由数列极限的定义及下面的定理确定：
① 数列极限的四则运算性质
设数列{xn}和{yn}极限分别存在，且，则数列极限存在，其中α，β 为常数，且；数列{xnyn}极限存在，且；当时，数列极限存在，且。
② 夹逼定理
设数列{xn}，{yn}，{un}当n足够大时满足xn≤un≤yn，若，则数列{un}极限存在，且。
③ 单调有界定理
设数列{xn}单调增（减），且有上（下）界，则数列{xn}极限存在。
④ Cauchy收敛准则
数列{xn}收敛的必要且充分条件是，使当，n>N时恒有。
由数列极限得到的*重要的结果是。
另外我们可以证明以下的极限，它们显示了数列趋于无穷的速度。记住它们对今后理解未定型的极限概念会有帮助。
这些极限说明当n增加时，在上面给的条件下，这显示了它们趋于无穷大的速度。
（2）函数的极限
1）定义
① 当x→x0 时函数f（x）以A为极限如果对于任意ε>0，存在δ>0，使当0< x-x0 <δ 时，恒有f（x）-A<ε，则称当x→x0 时，f（x）以A为极限。记为。
（注意：一元函数的极限要求两侧的极限都存在而且相等，如果当0<x0-x<δ 时有f（x）-A<ε，称f（x）当x→x0 时的左极限为A，记为。同样，定义右极限。）
② 当x→∞时函数f（x）以A为极限如果对于任意ε>0，存在G>0，当x>G时，恒有f（x）-A<ε，则称当x→∞时，f（x）以A为极限。记为。
（注意：同样有上面的问题。存在，要求和都存在且相等。）
由极限定义很容易推出
2）函数极限的运算法则设，且，则
（上面各式中，可以是x0，也可以是∞，还可以是单侧的。）
3）判断极限存在可以用极限的定义，还可以用
① 夹逼定理设在x0 的某个邻域（可以去心）内，有φ（x）≤f（x）≤ψ（x）而且
② 单调有界定理
如果函数f（x）在x0 的左邻域（x0-δ，x0）内，单调增（减）有上（下）界，则f（x）在x0 点存在左极限；如果f（x）在x0 的右邻域（x0，x0+δ）内，单调增（减）有下（上）界，则f（x）在x0 点存在右极限。
③ Cauchy准则f（x）当x→x0 时极限存在的必要且充分条件为，ε>0，使当x1，x2∈N0（x0，δ）时，恒有f（x1）-f（x2）<ε。
4）无穷小量和无穷大量的定义若，则称f（x）为x→x0 下的无穷小量（x0 可以是∞，还可以是单侧的）。若，则称f（x）为x→x0下的无穷大量（x0 可以是∞，还可以是单侧的）。无穷大量又根据极限的符号有正无穷大量和负无穷大量。显然无穷大量的倒数是无穷小量。
（注意：无穷小量是对自变量的某种趋向而言，而且无穷小量不是数而是函数，是在某种趋向下极限为零的函数。）
5）无穷小量的性质
① 若f（x）在x的某种趋向下的极限是A，则f（x）=A+α（x），其中α（x）是这种趋向下的无穷小量。
② 无穷小量乘有界量仍为无穷小量。（注意：无穷大量乘有界量，不一定是无穷大量。自己想一想为什么，应该怎样说是正确的。）
③ 有限多个无穷小量的和、差、积仍为无穷小量。
④ 若f（x）在x的某种趋向下为无穷小量，则1/f（x）在这种趋向下为无穷大量。反之亦然。
由这些定理我们可以推出两个重要极限和一系列重要的等价关系：
由于。利用夹逼定理，立得
这个结论还是处理1∞型不定型的常用方法之一。
若，则。
而且这个极限经过一些必要的变换可以推出
由直观的估计和夹逼定理，可得
做适当的变换，可得
这两组极限给出了常用的一些x→0下无穷小量的等价关系：
讲到了无穷小量的等价，实际就涉及到了
6）无穷小量的比较
设f（x）和g（x）都是x→x0 下的无穷小量，则当时，称下的同阶无穷小量；
特别当c=1时，f（x）和g（x）称为等价无穷小量，记为，f（x）~g（x），（x→x0）；
当时，称f（x）是比g（x）高阶的无穷小量，记为
（显然表示f（x）是x→x0 下的无穷小量。）
当时，称f（x）是比g（x）低阶的无穷小量。
无穷小量的阶的实质是无穷小量趋于0的速度，x→x0 时无穷小阶数的标准是（x-x0）的幂次。
顺便介绍表示f（x）/g（x）在x0 的某个空心邻域内有界。
等价无穷小量代换是求极限的一个重要方法！在极限的过程中，由极限的性质和等价无穷小量的定义可得，对于相乘除关系的因子只要极限不为0，随时可做等价代换和求出极限，这样做的结果会大大简化求极限的过程。但相加减的各部分就要当心，一般不能做等价无穷小量代换，因为等价代换会改变原来的主项。关于极限的计算在后面的课程中还会有新的内容和新的方法，例如，求与变上限积分定义的函数有关的极限，用犔′犎狅狊狆犻狋a犾法则求极限，用犜ay犾狅狉公式求极限，用定积分的定义求极限，用级数收敛的必要条件求极限等等。
函数在一点的性质是用极限定义的，因此说极限是微积分的基础。
2. 连续
（1）函数连续的定义
设函数f（x）在x0 的邻域内有定义，如果存在，且，则称f（x）在x0 点连续。
（这个定义有三个要点①f（x）在x0 点有定义；②f（x）在x0 点左极限和右极限要分别存在且相等；③ 极限要等于f（x0）。三条缺一不可。换句话说，缺一就成为间断点。）
函数f（x）在区间D内每一点都连续，则称函数f（x）为D内的连续函数，记作
f（x）∈C（D）。
间断点又以极限是否存在分为两类：左右极限均存在的间断点为**类间断点（其中左右极限相等的，又特别称为可去间断点），否则为第二类间断点。
由于连续是用极限定义的，由极限性质立得，连续函数的有限多次和、差、积、商（分母不为0）仍为连续函数；连续函数有限多次的复合函数仍为连续函数。
可证，基本初等函数在定义域上是连续函数，初等函数在它们定义域的区间上是连续函数。
（2）闭区间上的连续函数的性质
1）有界性定理设函数，则上有界。
2）*值定理设函数，则f（x）在上一定可以取得*大值和*小值。
3）介质定理设函数，且在上*小值为，*大值为，则μ，满足，使。
4）零点定理设函数，且，则，使得f（ξ）=0。
这是几条十分重要的定理。它们是求*值的基础，推导微分、积分中值定理的关键，加上函数的单调性又是讨论函数零点的存在性及个数的根据。
（3）函数一致连续的定义
设函数在区间犐上连续，如果，当且时恒有f（x）-f（x0）<ε，则称f（x）在上一致连续。
一致连续的等价命题是，当时，恒有。
一致连续与逐点连续不同，它不是函数在一点的性质，而是函数在一个区间上的性质。可以推出一致连续的函数具有一些很好的分析性质。
用有限覆盖定理易证，“在有界闭区间上连续的函数必在这个区间上一致连续。”
[典型例题]
例1 用定义证明极限：
请判断下面三种证法的对错。
证 法一，欲使，即。因为所以只须，即。故，使当n>N时，恒有成立，由定义可得。
法二，欲使，即。 因为，所以只须，即可。故，使当n>N时，恒有。由定义可得。
法三做了上一证明之后，有人发现用同样方法，可以证明这个极限为任意实数，譬如极限为1。
证明如下，请你看看问题出在哪儿。